浙教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)冪的運(yùn)算提高講義

1、冪的運(yùn)算提高講義【重點(diǎn)梳理】重點(diǎn)一、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)am an am n （其中m, n都是正整數(shù)）.即同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.重點(diǎn)詮釋?zhuān)海?1） 同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式 .（ 2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，即am an a p am n p （ m, n, p都是正整數(shù)）.（ 3） 逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來(lái)的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來(lái)的冪的指數(shù)。即am n am an （ m, n都是正整數(shù)）.類(lèi)型一、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)例1、（2019秋.長(zhǎng)春期中）已知2a=5,

2、2b=1,求2a+b+3的值.【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪的乘法【專(zhuān)題】整式【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可【解答】解：2a=5,2b= 1,.2a+b+3 = 2ax2bx23= 5 X1 X8=40 .【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加（ 1 ）同底數(shù)冪相乘時(shí)，底數(shù)可以是多項(xiàng)式，也可以是單項(xiàng)式（b a）n（n為偶數(shù)）（b a）n（n為奇數(shù)）（ 2）在冪的運(yùn)算中，經(jīng)常用到以下變形：（a）nan（n為偶數(shù)）,（a b）nan（n為奇數(shù)），舉一反三：(2019秋.永春縣期末)若 2n+ 2n + 2n+2n=26,則n=(A 2B 3C 4D 5【

3、考點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪的乘法【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力【分析】根據(jù)乘法原理以及同底數(shù)冪的乘法法則解答即可【解答】解：= 2n+ 2n+2n +2n=4X 2n= 22X 2n= 22 + n= 26, - 2 + n = 6,解得n= 4.故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加重點(diǎn)二、冪的乘方法則(am)namn ( 其中 m, n 都是正整數(shù)). 即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.重點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)公式的推廣：(am)n)p amnp( a 0, m, n, p均為正整數(shù)) nm( 2)逆用公式：amn aman ，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將

4、某些冪變形，從而解決問(wèn)題.類(lèi)型二、冪的乘方法則例 2、計(jì)算：2332235( 1)(a b) ；( 2) (y ) (y ) 2y g y ；2m 2 4 m 1 23 23 4( 3) (x ) (x ) ；( 4) (x ) (x ) 【答案與解析】解： ( 1)(a b)23(a b)2 3 (a b)6(2)6666y 2y 2y 2y(3)/ 2m 2 4/ m 1 24(2 m 2)(X ) (X ) X2(m 1) 8m 8 2m 2X X X10m 6X/ 3、2 / 2、356(y ) (y ) 2y y y(4)3 32 3 3461218(x ) (x ) XX X【總結(jié)

5、升華】（1）運(yùn)用哥的乘方法則進(jìn)行計(jì)算時(shí)要注意符號(hào)的計(jì)算及處理，一定不要將哥的乘方與同底數(shù)哥的乘法混淆.（2）哥的乘方的法則中的底數(shù)仍可以為單個(gè)數(shù)字、字母， 也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.舉一反三：（2019秋.南崗區(qū)期末）若2m=a,32n= b,m,n為正整數(shù)，則23m+ 10n的值等于（）A. a3b2B. a2b3C. a3+b2D. 3a+2b【考點(diǎn)】同底數(shù)哥的乘法；哥的乘方與積的乘方.【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力.【分析】根據(jù)am an = a m+n（m,n是正整數(shù)）,（am）n=amn（m,n是正整數(shù)）進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】 解：32n=b,.-25n=b,.-210n=b2 ,c3m+ 1

6、0nm3 10n 3 2.2= （2 ） 2 = a b ,故選：A.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同底數(shù)哥的乘法和哥的乘方，關(guān)鍵是掌握計(jì)算法則.例3、（2019春？南長(zhǎng)區(qū)期中）已知 2X= 8尸2, 9y=3X 9,求工x + 2y的值.3【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)原題所給的條件，列方程組求出x、y的值，然后代入求解.【答案與解析】解：根據(jù) 2x=23（y+2）, 32y=3X 9,列方程得:解得:則 x+2y=11 .【總結(jié)升華】本題考查了哥的乘方，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用哥的乘方運(yùn)算法則.舉一反三【變式】已知 a3m2,b2m3,則a2m3bm6a2b3m bm =【答案】一5； 入 23 32 22 2提

7、示：原式 a3m b2m a3m b2m.琳=2,歐加=3，原式=22 33 22 32 = 5.重點(diǎn)三、積的乘方法則(ab)n an bn (其中n是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方， 再把所得的哥相乘.重點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)公式的推廣：(abc)n an bn cn( n為正整數(shù)).(2)逆用公式：anbnab n逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊?jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更簡(jiǎn)便.如：-10221。io1.類(lèi)型三、積的乘方法則例4、計(jì)算：242 /4. 3.3,3(1) (2xy )(2) a ( a b )【思路點(diǎn)撥】 利用積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算【答案與解析】2 44

8、42 44 8解：(1) (2xy )( 1) 2 x (y )16x y .2 / 4. 3.3.3/ 2.3 / 12. 9.36 ,36 . . 2742. 27(2) a ( a b ) (a )( a b ) a ( a ) b ab.【總結(jié)升華】(1)應(yīng)用積的乘方時(shí)，特別注意觀(guān)察底數(shù)含有幾個(gè)因式，每個(gè)因式都分別乘方.(2)注意系數(shù)及系數(shù)符號(hào)，對(duì)系數(shù)1舉一反三：【變式1】下列等式正確的個(gè)數(shù)是(). 2x2y3 36x6y9 a2m 3 5 1057 10735 1035 A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3【答案】A；3提示：只有正確；2x2y3不可忽略.36m 與 c 69 9a

9、3a3a1001011000.521010.5 22個(gè) D. 4個(gè)c 692m 36m 八 6 32 188x y ; a a ; 3a 27a ;5 1 057 1 0735 1 0123.5 1 013【變式2】（2019春？泗陽(yáng)縣校級(jí)月考）計(jì)算:(1) a4? (3a3)(2) (21) 203【答案】(1) a4? (3a3)2+ (- 4a5) 2e21 -2+ (- 4a5) 2=a4?9a6+16a10 =9a10+16a10 =25a10;20=1椅3x2m=2,求(2x3m) 2- (3xm) 2 的值.=一.例5、（2019秋？濟(jì)源校級(jí)期中）已知可得已知條件，根【思路點(diǎn)撥】

10、 根據(jù)積的乘方等于每個(gè)因式分別乘方，再把所得的哥相乘, 據(jù)已知條件，可得計(jì)算結(jié)果.【答案與解析】解：原式=4x6m-9x2m=4 （x2m） 3 - 9x2m=4X23- 9X2 =14.【總結(jié)升華】 本題考查了哥的乘方與積得乘方，先由積的乘方得出已知條件是解題關(guān)鍵.【綜合探究】1.（ 2019秋.雨花區(qū)校級(jí)月考）規(guī)定兩數(shù) a, b之間的一種運(yùn)算，記作（a, b）,如果ac=b,則 （a, b） = c.我們叫（a, b）為“雅對(duì)”.例如：因?yàn)?3= 8,所以（2,8） =3.我們還可以利用“雅對(duì)”定義說(shuō)明等式（3,3）+（3,5）= （3, 15）成立.證明如下：設(shè)（3, 3） =m,（ 3

11、, 5） =n,則 3m=3, 3n=5,故3m?3n = 3m+n=3X5=15 ,則(3, 15) =m+n,即(3, 3) +(3, 5) =(3, 15).(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：(2,4)=22;( 5,1) = 00; ( 3,27)=33.(2)計(jì)算(5, 2) + (5, 7) = (5, 14)( 5, 14),并說(shuō)明理由.(3)利用“雅對(duì)”定義證明：(2n,3n) =(2,3),對(duì)于任意自然數(shù)n都成立.【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算；同底數(shù)哥的乘法.同底數(shù)哥的乘法【專(zhuān)題】規(guī)律型.( 1 )根據(jù)上述規(guī)定即可得到結(jié)論；(2)設(shè)(5,2) = x,( 5,7)=y,根據(jù)同底數(shù)哥的乘法

12、法則即可求解；(3)設(shè)(2n,3n) =x，于是得到(2n)x= 3n，即(2x) n=3n根據(jù)“雅對(duì)”定義即可得到結(jié)論.【解答】解：(1) - 22 = 4, (2,4) = 2;,.50= 1, (5,1) = 0； 33 = 27, .(3,27) = 3;故答案為：2, 0, 3;(2)設(shè)(5,2) = x,( 5,7) =y, 則5x= 2, 5y = 7,5x y = 5x - 5y= 14 ,(5,14) =x+ y,. .(5,2) + (5,7) =(5, 14),故答案為：( 5, 14);(3)設(shè)(2n, 3n) =x,則(2n)x=3n,即(2x) n = 3n所以 2

13、“=3,即(2,3)=x,所以(2n, 3n) =(2, 3) .【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵.2.（2018春.開(kāi)福區(qū)校級(jí)期中）閱讀材料：n個(gè)相同的因數(shù) a相乘，可記為an,如2X2X2= 23=8,此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為log_（2）8（即log28 = 3）. 一般地，若an = b（a0且aw 1,b0）,則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為log_（ a） b（即logab= n）.如34 = 81 , 則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為log_（3）81 （即log381 =4）.根據(jù)以上材料，解決下列問(wèn)題：（1）計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：log24=

14、22,log216=44,log264 = 66;（2）根據(jù)（1）中的計(jì)算結(jié)果，寫(xiě)出log24, log216, log264滿(mǎn)足的關(guān)系式；（ 3）根據(jù)（2）中的關(guān)系式及4, 16, 64 滿(mǎn)足的關(guān)系式猜想一般性結(jié)論：logaM + logaN=logaMNlogaMN（a 0且 aw1, M0, N0）;（ 4）根據(jù)冪的運(yùn)算法則說(shuō)明（3）中一般性結(jié)論的正確性【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法吳曉莉同底數(shù)冪的乘法【專(zhuān)題】常規(guī)題型【分析】（1IOan=b（a。且aw，b0）,則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為log_（a）b（即 logab=n）,進(jìn)而得出答案；（ 2 ）利用（1 ）中所求進(jìn)而得出答案；（ 3 ）利用（2）中所求規(guī)律進(jìn)而得出答案；（ 4）利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)而分析得出答案【解答】解：（1） log24 = 2, log216=4, log264 =6;故答案為：2, 4 , 6;（2）由（1）得：