浙教版七年級數(shù)學下冊因式分解的應用

1、第九講因式分解的應用思維導圖閃式分家田應用解 元二次方程.一次不處方程多項式的除也重難點分析重點分析：因式分解的應用極其廣泛，因式分解的實質是把和或差化成積的一種代數(shù)變換.應用因式分解解決數(shù)學問題或實際問題是一種常用的數(shù)學基本方法和運算技巧，對后續(xù)分式、一元二次方程等知識有很大幫助.本節(jié)中主要涉及數(shù)的計算、多項式除法、代數(shù)的求值或恒等變形以及解一 些簡單的二次方程等. 難點分析：因式分解法解方程主要是將方程分解為“ A-B=0'的形式， 即“若A-B=0,則有A=0或B=0' 應用因式分解法解決數(shù)學問題或實際問題時要注意結合換元法、配方法、待定系數(shù)法等重要的數(shù)學方法.例題精析例

2、1、計算：(1) (m+n 2-4 (m-n) 2 + ( 3n-m); (a-2b) 2-4 (a-2b) +4 + ( a-2b-2 ).思路點撥：關鍵在于對被除式進行因式分解，分解后與除式之間的關系就顯而易見解題過程：(1)原式=(m+n+2m-2r) (m+n-2m+2n + (3n-m) = ( 3m-n) (3n-m) + (3n-m) =3m-n. (2)原式=(a-2b-2 ) 2+ ( a-2b-2 ) =a-2b-2.方法歸納：我們現(xiàn)在所接觸的多項式除以多項式都是利用因式分解來解決的，都是能整除的情況.易錯誤區(qū)：因式分解時，注意應用去括號或添括號法則時符號的變化例2、解方程

3、：(1) 2x2-3x=0 ;(2) x (2x-3) =4x-6 ;(3) 16 (x+1) 2=25 (x-2 ) 2.思路點撥：借助因式分解來解一元二次方程，把所有項移到等式左邊進行因式分解，再依據“如果若干個數(shù)之積為零，那么至少有一個數(shù)為零”這一性質求解.事實上就是把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，達到降次的目的，實現(xiàn)從未知到已知的轉化 解題過程：(1) .,2x2-3x=0,，x ( 2x-3 ) =0.n 3 .x1=0, x2=.2. x (2x-3) =4x-6 , - x (2x-3) -2 (2x-3) =0.3(x-2) (2x-3 ) =0. 1-x 1=2, x2

4、=.2(3) 16 (x+1) 2=25(x-2) 2,16 (x+1) 2-25 (x-2) 2=0.(4x+4+5x-10) (4x+4-5x+10 ) =0.( 9x-6 ) (14-x) =0. 1. x 1 = , x2=14.2方法歸納：因式分解在解一元二次方程或一元高次方程中有很好的應用.對于第(3)題也可以直接用開平方的方法，這時會出現(xiàn)兩種情況：4 (x+1) =5 (x-2)或4 (x+1) =-5 (x-2).一般情況下，一元二次方程要有解就會有兩個解，分別用xi和x2表示.易錯誤區(qū)：對于方程(3),不能簡單地兩邊同時除以 2x-3得到x=2,這樣會造成沒有考慮2x-3=0

5、這一情況而導致漏根.例 3、在學習中，小明發(fā)現(xiàn)：32-12=9-1=8=1X8 ; 5 2-1 2=25- 1=24=3X8 ; 112-1 2=121-1=120=15X 8; 17 2-1 2=289- 1=288=36X 8,于是小明猜想：當n為任意正奇數(shù)時，n2-1的值一定是8的倍數(shù)，你認為小明的猜想正確嗎？ 請簡要說明你的理由.思路點撥：用2k+1表示奇數(shù)，再對 n2-1因式分解，分析因式分解結果中的因式，判斷是不是8的倍數(shù).解題過程：小明的猜想正確.理由：.丁為奇數(shù)，可設 n=2k+1 (k為自然數(shù)).n2-1= (2k+1) 2-1= (2k+1+1) (2k+1-1 ) = (

6、2k+2) x 2k=4k ( k+1).k為自然數(shù)，k, k+1是兩個相鄰的自然數(shù). .k, k+1中必有一個是偶數(shù)，一個是奇數(shù). .k ( k+1)必定是2的倍數(shù).，4k ( k+1)必定是8的倍數(shù).故當n為任意正奇數(shù)時，n2-1的值一定是8的倍數(shù).方法歸納：本題考查了因式分解的應用，先猜想結論，再進行驗證.數(shù)的奇偶性判斷是本題的難點.易錯誤區(qū)：k與k+1是相鄰的兩個整數(shù)，必定是一奇一偶，所以 4k (k+1)不僅僅是4的倍數(shù) 還是8的倍數(shù).例4、如圖，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為 m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為 n寬為n的小長方形， 且

7、 m> n.(1)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2m+5mn+2K可以因式分解為；(2)若每塊小長方形的面積為 10,四個正方形的面積之和為 58,試求圖中所有 裁剪線(虛線部分)長之和.思路點撥：(1)據圖由長方形面積公式將代數(shù)式2m+5mn+2K因式分解即可；(2)根據四個正方形的面積之和為 58,以及每塊小長方形的面積為 10,得出等式求出 m+n進一步得到圖中 所有裁剪線(虛線部分)長之和即可.解題過程：(1) 2m+5mn+2K可以因式分解為(m+2n) (2m+ri).(2)依題意，得 2m+2n2=58, mn=1Q . .m 2+n2=29.( m+n) 2=n2+2mn+K,

8、(m+n) 2=29+2X 10=49.m+n> 0, I- m+n=7.，圖中所有裁剪線(虛線部分)長之和為2(m+2n)+2(2m+n)=6(m+n)=42.方法歸納：本題主要考查了因式分解的應用、列代數(shù)式以及完全平方公式的應用，根據已知圖 形得出是解題關鍵.易錯誤區(qū)：解題時要注意(m+n)2=49時，m+n是49的平方根，結果有兩個，但涉及實際問題，要將負的值舍去，要明確平方根與算術平方根的區(qū)別與聯(lián)系例5、如果把一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字，與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同，我們就把這樣的自然數(shù)叫做“和諧數(shù)”.例如：自然數(shù)64746從最高位到個

9、位排出的一串數(shù)字是6, 4, 7, 4, 6,從個位到最高位排出的一串數(shù)字也是6, 4, 7, 4, 6,所以64746是“和諧數(shù)” .再如：33, 181 , 212, 4664等都是“和諧數(shù)”.(1)請你直接寫出3個四位數(shù)的“和諧數(shù)”，猜想任意一個四位數(shù)的“和諧數(shù)”能否被 11整除，并說明理由；(2)已知一個能被11整除的三位數(shù)的“和諧數(shù)”，設個位上的數(shù)字為x (1<x<4, x為自然數(shù))，十位上的數(shù)字為 V,寫出y與x之間的關系式(用 x表示y).思路點撥：(1)根據“和諧數(shù)”的定義寫出3個四位數(shù)的“和諧數(shù)”；設任意四位數(shù)的“和諧數(shù)”的形式為：abba (a, b為自然數(shù))，

10、則這個四位數(shù)為 aX103+bx 102+bx 10+a=1001a+110b通過提取公因式可判斷任意四位數(shù)的“和諧數(shù)”都可以被 11整除；(2)設能被11整除的三位數(shù)的"和諧數(shù)"為：xX 102+yX 10+x=101x+10y,由于 101x_l£y =9x+y+2xy ,根據整數(shù)的 1111整除性得到2x-y=0,于是可得y與x之間的關系式.解題過程：(1)四位數(shù)的“和諧數(shù)”：1221, 1331, 1111 , 6666.任意一個四位數(shù)的“和諧數(shù)”都能被 11整除，理由如下：設任意四位數(shù)的“和諧數(shù)”的形式為：abba ( a , b為自然數(shù))，則 ax 1

11、03+bx 102+bx 10+a=1001a+110b.1001a+110b=11(91a+10b),.四位數(shù)的“和諧數(shù)” abba能被11整除.任意四位數(shù)的“和諧數(shù)”都可以被11整除.(2)設能被11整除的三位數(shù)的“和諧數(shù)”為： xyx ,則xX102+yX10+x=101x+10y,101x 10y c 2x y貝U = =9x+y+L .,. Kx< 4, 101x+10y 能被 11 整除,2x-y=0.1. y=2x (1<x<4).方法歸納：本題考查了因式分解的應用：利用因式分解解決求值問題；利用因式分解解決證明問題；利用因式分解簡化計算問題.靈活利用整數(shù)的整除

12、性.易錯誤區(qū)：一要注意十進制多位數(shù)的正確表示方法，二要注意x, y的取值.探究提升例、已知整數(shù)a, b滿足6ab=9a-10b+16 ,求a+b的值.思路點撥：運用因式分解法把原來的等式變形為(3a+5) (2b-3) =1,再根據兩個整數(shù)的乘積是1,只有1X1和(-1 ) x ( -1 )兩種情況，再進一步解方程組即可.解題過程： 由 6ab=9a-10b+16 ,得 6ab-9a+10b-15=16-15.(3a+5) (2b-3) =1.3a 5 1,3a 5 -1,.3a+5, 2b-3都為整數(shù)，或2b-3 12b-3 -1.3或a -2,b 1.a -2,. a, b 為整數(shù)，故 a

13、+b=-1.b 1.方法歸納：因式分解法是解高次不定方程的重要方法，要注意本題的方法與因式分解解一元二次方程的方法的區(qū)別，解一元二次方程一般方程右邊變?yōu)榱?，而解不定方程的右邊只要為整?shù)，然后分析整數(shù)的約數(shù)即可.易錯誤區(qū)：A-B=1且A和B均為整數(shù)，則有 A=1, B=1或A=-1 , B=-1 ,不要漏掉兩個都是-1 這種情況.專項訓練走進重高1 .【杭州】設a, b是實數(shù)，定義 勺一種運算如下：ab=(a+b) 2- (a-b) 2,則下列結論： 若 ab=0 則 a=0 或 b=0;a( b+c) =ab+a<©不存在實數(shù) a, b,滿足 ab=0+5b2;設 a, b是長

14、方形的長和寬，若長方形的周長固定，則當 a=b時，ab<大.其中正確的是()A.B.C.D.2 .數(shù)348-1能被30以內的兩位數(shù)(偶數(shù))整除，這個數(shù)是.3 .【遂寧】閱讀下面的文字與例題.將一個多項式分組后，可提取公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法.例如：(1) am+an+bm+bn=(am+bm + (an+bn) =m (a+b) +n (a+b) = (a+b) (m+力；(2) x2-y2-2y-1=x 2- (y2+2y+1) =x2- (y+1) 2= (x+y+1 ) (x-y-1 ).試用上述方法分解因式：a2+2ab+ac+bc+b2=.4.【杭州】設y=kx ,是否存在實數(shù) k,使得代數(shù)式(x2-y 2) (4x2-y 2) +3x2 (4x2-y2)能化簡為 x4?若能，請求出所有滿足條件的k的值；若不能，請說明理由.高分奪冠1 .已知a2(b+c)=b2(a+c)=2015,且 a, b, c互不相等，貝Uc2(a+b