(全國通用)2020版高考數(shù)學(xué)專題三立體幾何第2講空間位置關(guān)系的判斷與證明講義

1、第2講 空間位置關(guān)系的判斷與證明全國卷3年考情分析年份全國卷I全國卷n全國卷出2019線囿平行及點(diǎn)到平囿的距離計算 T19面囿平行的判定及充要條件 T7兩直線位置關(guān)系的判斷 T8線面垂直的證明及體積計算 T17翻折問題、向向 垂直的證明及 四邊形面積計算 T192018直線與平囿所成的角、長方體體積的計算 T10求異面直線所成的角 T9卸圓垂直的證明及線面平行的存在性問題 T19線面翻折及面面唾直的證明、三棱錐體積白計算 T18線面垂直的證明及點(diǎn)到平面的距離計算T192017線面平行白判定 T6線面平行的證明、四棱錐體積的a- T18空間中線線垂直的判定T10面面垂直的證明、四棱錐體積及側(cè)面積

2、的計算 T18線線垂直的判定、四面體體積的計算 T19(1)選擇題、填空題多考查線面位置關(guān)系的判斷、空間角、表面積及體積的計算，此類試題難度中等偏下，考查次數(shù)較少.(2)解答題的第(1)問考查空間平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證明，而第 (2)問多考查面積、體 積的計算，難度中等偏上.解答題的基本模式是“一證明二計算”.考點(diǎn)一空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系例1 (1)(2019 全國卷n )設(shè) “，3為兩個平面，則 a / 3的充要條件是()A. a內(nèi)有無數(shù)條直線與 3平行B. a內(nèi)有兩條相交直線與 3平行C. a , 3平行于同一條直線D. a , 3垂直于同一平面(2)(2019 全國卷出)如圖，點(diǎn)N為正

3、方形 ABCD勺中心，AECD為正三角形，平面 ECD_平面ABCD Ml是線段ED的中點(diǎn)，則()I!,VA.B陣ENN且直線BMEN是相交直線B.BW ENN且直線BMEN是相交直線C.BM ENN且直線BMEN是異面直線D.BW ENN且直線BMEN是異面直線解析若a于同一條直線，則 a與3則a內(nèi)有無數(shù)條直線與 3平行，反之不成立；若 a , 3平行可以平行也可以相交；若a , 3垂直于同一平面，則 a與3可以平行也可以相交，故A、C D均不是a / 3的充要條件.根據(jù)平面與平面平行的判定定.因此理知，若一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，則兩平面平行，反之也成立B中條件是a / 3

4、的充要條件.故選B.(2)取CD的中點(diǎn)F, DF的中點(diǎn) G連接EF, FN, MG GB BDD BE點(diǎn)N為正方形 ABCD勺中心，點(diǎn)N在BD上，且為BD的中點(diǎn).EC* 正三角形，EF CD平面ECDL平面 ABCD. EF，平面 ABCD. . EF FN不妨設(shè) AB= 2,則 FN= 1, EF= . EN= FN2+ EF=2. E陣 MD D生 GFMG EF,. .Md平面 ABCD MHBG1 3.MGr EF= /B CG+ BC 7 (|f+22=|, .B陣 M& BG 7.BW EN.BM EN是DBE勺中線， BM EN、相交.故選B.答案(1)B(2)B解題方略判斷與空

5、間位置關(guān)系有關(guān)命題真假的 4種方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷;（2）借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié) 合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或否定；（3）借助于反證法，當(dāng)從正面入手較難時，可利用反證法，推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相 矛盾的命題，進(jìn)而作出判斷；（4）判斷空間兩條直線是否相交，首先判斷兩直線是否共面 跟蹤訓(xùn)練1. （2019 沈陽市質(zhì)量監(jiān)測一）已知mi n是空間中的兩條不同的直線，口 ,3是空間中的兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若 m/ n, m/ a ,貝U n/ aB.若 a / 3 , mV/

6、 a ,則 m/ 3C.若 mil n, n? a ,則 mil aD.若 miLa, m? 3,則 a 3解析：選D對于選項A,m/n,m/a ,則n/ a或n?a , A錯；對于選項B,a /3 ,mi/a ,則m/3或m?3 , B錯；對于選項C,mL n,n?a ,不能推出mL a , C錯;對于選項D,面面垂直的判定定理，正確 .故選D.2. （2019 沈陽市質(zhì)量監(jiān)測一）如圖，在正方體 ABCDABGD中，下 面結(jié)論中正確的是 .（寫出所有正確結(jié)論的序號 ）BD/平面CBD;AC,平面CBD;異面直線 AC與A1B成60角；AC與底面ABC所成角的正切值是 近解析：對于，BD/ B

7、D, BD?平面CBD, BD?平面CBD,，BD/平面CBD,正確； 對于，: AAL平面 ABiGD, .AA1XBD1,連接 AC,又 ACXBD, . BDL平面 AAC, .BDAC,同理Bid AC,，AC，平面CBD,正確；對于，易知 AC/ A1C1,異面直線AC與AB所成的角為/ BAC,連接BC,又 AGB為等邊三角形，二. / BAC = 60。，異面直線AC與AB成60角，正確；對于，AC與底面ABC所成的角的正切值是 w點(diǎn),故不正確.故正確的結(jié)論為.答案：考點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系的證明經(jīng)典母題例 2 如圖，在四棱錐 P-ABC珅，AB/ CD AB!ADD CD= 2

8、AB, 平面PADL底面ABCD PAL AD E和F分別是 0口 PC的中點(diǎn)，求證：(1) PAL底面 ABCD(2) BE/ 平面 PAD 平面BEFL平面PCD證明(1)二.平面PADL底面ABCD且PA垂直于這兩個平面的交線 AD PA?平面PAD . .PAL底面 ABCD(3) . AB/ CD CD= 2AB E 為 CD的中點(diǎn)， .AB/ DE 且 AB= DE.四邊形ABE泗平行四邊形. BE/ AD又. B巴平面PAD AD?平面PAD .BE/平面 PADABIAQ且四邊形ABEM平行四邊形. BE1 CD AD CD 由知PAL底面ABCD .PALCD. PAn AD

9、= A, PA) 平面 PAD AD?平面 PAD CDL平面PAD又PD?平面PAD . CDL PD.E和F分別是C/口 PC的中點(diǎn)，PD/ EF, . CDL EF 又 BEL CD且 EFA BE= E, 二CDL平面 BEF 又CD?平面PCD平面BEFL平面PCD 母題變式1 .在本例條件下，證明平面 BEFL平面ABCD證明：如圖，連接AE AC設(shè)A(T BE= Q連接FO. AB/ CD CD= 2AB 且 E 為 CD的中點(diǎn)， .AB觸 CE，四邊形ABC電平行四邊形.1，O為AC的中點(diǎn)，貝U FO2PA又PAL平面ABCD .FOL平面 ABCW FO?平面 BEF 平面B

10、EFL平面 ABCD2 .在本例條件下，若 AB= BC,求證：BE1平面PAC 證明：如圖，連接 AE, AC設(shè)A6 BE= O. AB/ CD CD= 2AB 且 E 為 CD的中點(diǎn).，AB觸 CE又.AB= BC，四邊形 ABCE菱形，BE! AC又.PAL平面 ABCD BE?平面ABCD .PAL BE又 PAO AC= A, PA?平面 PAC AC?平面 PAC.BE1平面 PAC1 .直線、平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：a?”，b? , (2)線面平行的性質(zhì)定理：a/ “，a?(3)面面平行的判定定理：a? 3 , b?面面平行的性質(zhì)定理：a / 3 , a2 .直

11、線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理：m? a , n?(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a a , b1(3)面面垂直的判定定理：a? 3 , a， (4)面面垂直的性質(zhì)定理： a _L 3 , a,a/ b? a/ a .3 , a n 3 = b? a / b.4 , an b=P, a/ “ ， b/ ” ？ ” ， n y = a, 3 n y = b? a / b.a,mAn= P,lnln?l aa?a /b.? ? a _L 3 .n3= l, a?a,al?a3 .解題方略跟蹤訓(xùn)練1.(2019屆高三鄭州模擬)如圖，四邊形 八8。四四邊形ADEFMtiC均為平行四邊形，

12、M N, G分別是AB, AD EF的中點(diǎn).求證：(1) BE/平面DMF(2)平面BDE/平面MNG證明：如圖，連接 AE則AE必過DF與GN的交點(diǎn)Q連接MO則 M6 ABE勺中位線，所以 BE/ MO又BE?平面DMF MO平面DMF所以BE/平面DMF(2)因為N, G分別為平行四邊形 ADEF勺邊AD EF的中點(diǎn),所以DB GN又D曰平面MNG GN?平面MNG所以D日平面MNG又M為AB的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn)，所以MMABD勺中位線，所以 BD/ MN又BD?平面MNG MN?平面MNG所以BD/平面MNG又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線,所以平面BD日平面MNG2. (20

13、19 廣東省七校聯(lián)考)如圖，在四麴t P-ABC珅，PAL平面ABCD四邊形 ABC師正方形，PA= AB= 2, E是AB的中點(diǎn)，G是PD 的中點(diǎn).(1)求四棱錐P-ABCD勺體積；(2)求證：AG/平面PEC求證：平面 PCDL平面PEC1解:PA= -X 2X 2X2 = -.33(1)易知V四棱錐P- ABCD= 3s正方形ABCD(2)證明：如圖，取 PC的中點(diǎn)F,連接EF和FG，r-1則易得 AE/ FG 且 AE= 2CD= FG四邊形AEF的平行四邊形，EF/ AGEF?平面 PEC AG?平面 PEC.AG/平面 PEC 證明：易知CDL AD, CDL PA.PAHAD=

14、A, PA?平面 PAD AC?平面 PAD. CDL平面 PAD又 AG 平面 PAD CDLAG易知 PDL AGPE CD= D, PD? 平面 PCD CD? 平面 PCD.AGL平面 PCD EF，平面 PCD又EF?平面PEC 平面PECL平面PCD考點(diǎn)三平面圖形中的折疊問題例3 (2019 全國卷出)圖是由矩形 ADEB RtABC菱形BFGC1成的一個平面 圖形，其中 AB= 1, BE= BF= 2, / FBC= 60 .將其沿 AB BC折起使得 BE與BF重合，連接 DG如圖.(1)證明：圖中的 A, C, G, D四點(diǎn)共面，且平面 ABCL平面BCGE所以AD/ CG

15、(2)求圖中的四邊形 ACGD)面積.解(1)證明：由已知得 AD/ BE CG/ BE故AD CGt定一個平面，從而A, C, G D四點(diǎn)共面.由已知得 ABI BE ABL BC故AB，平面BCGE又因為AB?平面ABC所以平面 ABCL平面BCGE(2)取CG勺中點(diǎn) M 連接EM DM因為AB/ DE ABL平面BCGE所 以DEL平面BCGE故DEI CG由已知，四邊形BCG是菱形，且/EBC= 60 ,得EML CG故CGL平面DEM因止匕DML CG在 RtADEMfr, DE= 1, EM=有故DM= 2.所以四邊形ACGDJ面積為4.解題方略平面圖形折疊問題的求解方法(1)解決

16、與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線 段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口(2)在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形跟蹤訓(xùn)練(2019 湖南省湘東六校聯(lián)考)如圖，將矩形 ABCD&對角線AC折起，使得平面 ABD 平面ABC(1)求證：AD 平面BCD ;(2)當(dāng)AB=小,AD= 1時，求點(diǎn)B到平面AD C的距離.解：(1)證明： BCL AB平面 ABD 平面 ABC 平面ABD n平面ABC= AB BCL平面 ABD ,. AD ?平面 ABD ,.BCLAD ,又 AD，D

17、 C, B6 D C= C, . AD 1平面 BCD .(2)由知AD 平面 BCD ,又BD ?平面BCD , . AD，BD ,從而 BD =小， 設(shè)點(diǎn)B到平面AD C的距離為h,、/曰 1oJ 1O”由V三棱錐 BADC= V 三棱錐GADB) 彳導(dǎo)m SL ADC * hl= ；tSa ADB BC33gp1x-x 1X/3X h=-x-x 1X.J2X 1,得 h = R6,即點(diǎn) B到平面 AD C的距離為 463 23 233考點(diǎn)四空間線面關(guān)系的探究性問題ABC所在平面與半圓弧CD所例4(2018 全國卷出)如圖，矩形在平面垂直，M是CDt異于C, D的點(diǎn).(1)證明：平面 AM

18、D_平面BMC(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC/平面PBD說明理由解(1)證明：由題設(shè)知，平面 CMD平面 ABCD交線為 CD因為BCL CD BC?平面ABCD所以BCL平面CMD所以BC DM因為M為CDh異于C, D的點(diǎn)，且DC為直徑,所以DM- CM又B6 CM= C,所以DML平面BMC因為DM平面 AMD所以平面 AMD_平面BMC(2)當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時,MC/平面PBD連接AC交BD于O凡”因為四邊形 ABCDJ矩形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).連接OP因為P為AM中點(diǎn)，所以MC/ OP又MG平面PBD OP?平面PBD所以M。平面PBD解題方略解決立體幾何中探索性問題的基本

19、方法(1)通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在 (或結(jié)論成立)，然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理，若 能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說明假設(shè)成立，并可進(jìn)一步證明；若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論，則說明假設(shè)不成立.(2)探索線段上是否存在滿足題意的點(diǎn)時，注意三點(diǎn)共線條件的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練(2018 河南名校壓軸第二次考試 )如圖，在梯形ABC珅,AB/ CDAD= DC= CB= a, Z ABC= 60。，四邊形 ACF契矩形，且平面 ACFEL E平面ABCD點(diǎn)M在線段EF上.J.(1)求證：BCL平面ACFE)(2)當(dāng)EM為何值時，AM/平面BDR證明你的結(jié)論.解：(1)證明：在梯形 ABCDK 因

20、為 AB/ CDAD= DC= CB= a, Z ABC= 60 ,所以四邊形ABCD1等腰梯形，且/ DCA= / DAC= 30 , / DCB= 120 ,所以/ ACB= / DCB- / DCA= 90 ,所以 ACL BC又平面 ACFEL平面 ABCD平面 ACF的平面 ABCaAC BC?平面ABCD所以BCL平面ACFE(2)當(dāng)E陣 普-a時，AM/平面BDF理由如下:在梯形ABC由，設(shè) AS BD= N,連接FN由(1)知四邊形 ABC師等腰梯形，且/ ABC= 60所以 AB= 2BC= 2DC 貝U CN： NA= 1 ： 2.易知EF= AC= 啊,因為E陣22 3所

21、以 MF= -EF= U-a, 33又易知A2=a,所以M暇AN3所以四邊形ANFM1平行四邊形，所以 AM/ NF,又NF?平面BDF AM?平面BDF所以AM/平面BDF考點(diǎn)五空間角例5 (1)(2018 全國卷n )在正方體 ABCCAB1GD中，E為棱CC的中點(diǎn)，則異面直線AE與C而成角的正切值為()7D.萬b.衛(wèi)C. 2(2)(2019 福州市質(zhì)量檢測)已知長方體 ABCCABCD的外接球體積為32兀，且AA= BC=2,則AC與平面BBCC所成的角為 3解析 如圖，連接BE因為AB/ CD所以AE與C所成的角為/ EAB在RtABE中，設(shè)AB= 2,則BE= & 則tan Z EA

22、B=囂=乎，所以異面直線 AE與C所成 角的正切值為-25.(2)如圖，設(shè)長方體 ABCDABGD的外接球半徑為R,則長方體 4. 32ABCDAiBiCD的外接球體積為F3=% ,所以R= 2, 33即 AiC= MaA+BC+AB = 2R= 4.因為 AA= BC= 2,所以 AB= 2yJ2.連接BC,因為AB,平面BBCC,所以AiC與平面BBC1C所成的角為/ AiCB,在 RtBBC中，BB= BC= 2,所以 BC= 2j2 = AB,所以/ AiCB=-4.、兀答案(i)C (2)解題方略i.求異面直線所成角的步驟代移的方法 般有三種類型“1)利用圖中已有的; W-平行線平移

23、2 利用特殊點(diǎn)t線段的螭點(diǎn)或小點(diǎn)) 一 停F行級T移補(bǔ)形平移：I1血一證明所作的你是牙而如斤成的用氣比補(bǔ)用 I 旦n茬,承同先吐尋找或作出含有此價的一價形.| 因為一面直線所成角8的取值圍是。JR A |-聽以所作的角為鈍ffi時,應(yīng)取它的補(bǔ)角作為界面 3：線所成的吊j2.求直線和平面所成角的步驟(i)尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；(3)把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形，求出該角跟蹤訓(xùn)練1.（2018 全國卷I ）在長方體 ABCDABGD中，AB= BC= 2, AC與平面BBGC所成的角為30

24、,則該長方體的體積為（）B.6 , 2D.8 3A.8C.8 2解析：選C如圖，連接AC, BC, AC-ABL平面BBGC,/ACB為直線 AC與平面BBGC所成的角，ACB= 30 .又AB= BC= 2,在 RtABC中，AC=目意。=4.在 RtACC中，CC= =AC- AC/7L廠二伙=.42- （ 22+ 22） = 2/,a bV長方體= ABX BCK CC=2X2X2 2 = 82.故選 C.2. （2019 湖南省五市十校聯(lián)考 ）已知E, F分別是三棱錐 P-ABCJ：麥AP, BC的中點(diǎn)，AB =6, PC= 6, EF= 3 則異面直線 AB與PC所成的角為（）A.1

25、20B.45C.30D.60解析：選D設(shè)AC的中點(diǎn)為G,連接GF EG - E, F分別是三棱錐 RABC5：麥AP, BC 的中點(diǎn)，PC= 6, AB= 6, . EG/ PG GF/ AB EG= 3, GF= 3.在 EFGF, EF= 3 . . cos9 + 9271/EGF=一 =，EGF= 120。，.異面直線 AB與PC所成的角為60。.故選D.2X3X52邏輯推理一一轉(zhuǎn)化思想在平行、垂直證明中的應(yīng)用典例 如圖，在三棱錐 A-BC計，ABL AD BCL BQ平面 ABDL 平面BCD點(diǎn)E, F（E與A, D不重合）分別在棱 AD BD上，且EF AD求證：（1） EF/平面A

26、BC（2） ADL AC證明（1）在平面ABDrt,因為 ABL AD, EFL AQ 所以 EF/ AB,又因為EF?平面ABC AB?平面ABC所以EF/平面ABC（2）因為平面 ABDL平面BCD平面 ABDT 平面 BCD= BD BC?平面 BCD BCL BD所以BCL平面ABD因為AD?平面ABD所以BC AD又 ABL AD BCT AB= B, AB?平面 ABCBC?平面ABC所以ADL平面ABC又因為AC?平面ABC所以ADL AC素養(yǎng)通路本題（1）證明線面平行的思路是轉(zhuǎn)化為證明線線平行， 即證明EF與平面ABS的一條直 線平行，從而得到 EF/平面 ABC （2）證明線

27、線垂直可轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，由平面 ABDL 平面BCD根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得 Bd平面ABD則可證明ADL平面ABC再根據(jù)線面 垂直的性質(zhì)，得到 ADL AC考查了邏輯推理這一核心素養(yǎng) .A組一一“6+ 3 + 3”考點(diǎn)落實(shí)練一、選擇題1 .已知E, F, G, H是空間四點(diǎn)，命題甲：E, F, G H四點(diǎn)不共面，命題乙：直線 EF和GHF相交，則甲是乙成立的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選B若E, F, G H四點(diǎn)不共面，則直線 EF和GHW定不相交，但直線 EF和GH 不相交，E, F, G, H四點(diǎn)可以共面，例如 EF/ GH故甲是

28、乙成立的充分不必要條件.故選B.2 . （2019 福州市第一學(xué)期抽測）已知m為一條直線，“，3為兩個不同的平面， 則下列 說法正確的是（）A.若 ml a , a / 3 ,則 ml 3B.若 ml a , a，3 ,則 m“ 3C.若 m/ a , a / 3 ,則 m/ 3D.若 m/ a , a，3 ,則 ml 3解析：選A 對于A,利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理、 面面平行的性質(zhì)定理，可得ml 3 , A正確；對于B,若ml a , a，3 ,則m與3平行或 m在3內(nèi)，B不正確；對于C,若 m/ a , a / 3 ,則m與3平行或 m在3內(nèi)，C不正確；對于 D,若m/ a , a，3

29、 ,則m可以在 3內(nèi)，D不正確.故選A.3 .在正三棱柱 ABCA1B1C中，| AB=42| BB| ,則AB與BC所成角的大小為（）A.30 B.60 D.90C.75解析：選 D 將正三棱柱 ABCABG補(bǔ)為四棱柱 ABCDAiBiCD,連接 CD, BD則CD/BA, / BCD為所求角或其補(bǔ)角.設(shè) BB=W，則 BC= CD= 2, Z BCD- 120。，BD= 2又因為BC= GD q6,所以/ BCD= 90 .故選D.4 . （2019 長沙市統(tǒng)一模擬考試 ）設(shè)2, b, c表示不同直線，”，3表示不同平面，下列 命題：若 a/ c, b/ c,貝U a/ b;若 a / b

30、, b / a ,貝U a/ a ;若 a/ a , b/ “，則 a/ b；若 a? a , b? 3 , “ / 3 ,則 a/ b.真命題的個數(shù)是（）A.1B.2D.4C.3解析：選A由題意，對于，根據(jù)線線平行的傳遞性可知是真命題；對于，根據(jù) a/ b, b/ & ,可以推出a/ “或a? ”，故是假命題；對于，根據(jù) a/ ”，b/ “，可 以推出a與b平行、相交或異面，故是假命題；對于，根據(jù)a? “，b? 3 , “ / 3 ,可以推出a / b或a與b異面，故是假命題.所以真命題的個數(shù)是 1.故選A.5 .如圖，以等腰直角三角形 ABC勺斜邊BC上的高AD為折痕，把 AB麗 AC斯成

31、互 相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論：BDAGBAB等邊三角形；三棱錐D ABB正三棱錐；平面ADCL平面ABC其中正確的結(jié)論是（）A.B.C.D.解析：選B由題意知，BD1平面ADC故BDL AC正確；AD為等腰直角三角形 ABC 的斜邊BC上的高，平面 ABDL平面ACD所以AB= AC= BC BAB等邊三角形，正確；易知DA= DB= DC結(jié)合知正確；由知不正確.故選B.6 . （2019 湖南省湘東六校聯(lián)考）一個正四面體的側(cè)面展開圖如圖所示，G為BF的中點(diǎn)，則在正四面體中，直線EG與直線BC所成角的余弦值為（）解析：選C該正四面體如圖所示，取 AD的中點(diǎn)H,連接GH EH則

32、GH AB所以/ HGE直線EG與直線BC所成白角.設(shè)該正四面體的棱長為2,則HE= EG= GH= 1.在HEG43,由余弦定理，得 cos / HGEhG+ eG he3 =2HG EG =、故選 C.二、填空題7 .（2019 北京高考）已知l , m是平面”外的兩條不同直線.給出下列三個論斷:l，mi m/ a； l，a.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：解析：？.證明如下： m/ a，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，知存在n? a ,使得 m/ n.又l，a , l n,l m？.證明略.答案：？（或？）8 .若P為矩形ABC而在平面外一點(diǎn)，矩形對角線的交

33、點(diǎn)為 Q M為PB的中點(diǎn)，給出以 下四個命題： OM/平面PCDOM平面PBCOMT平面PDAOM平面PBA其中正 確的個數(shù)是.解析：由已知可得 OMT PD，OMT平面PCD! OMT平面PAD故正確的只有.答案：9 .（2018 全國卷n ）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA SB所成角的余弦值為7, SA與圓錐8底面所成角為45。，若 SAB勺面積為5比，則該圓錐的側(cè)面積為 .解析：如圖，: SA與底面成45角，.SAO等腰直角三角形.設(shè) OA= r,則 SO= r, SA= SB- 2r.4.7在SA即,cosZASB-國力工一、8B15sin / ASEB=-,-1 . S SA戶 SA-

34、 SEB- sin Z ASB1215= 2*(4)2x%=5g解得r = 2和,SA= #r = 44，即母線長1=445, S圓錐側(cè)=兀rl =兀x 2M x 44=40嫄兀.答案：40夜兀三、解答題10.如圖，側(cè)棱與底面垂直的四棱柱ABCDAB1GD的底面是梯形,AB/ CD ABLAQ AA=4, DG= 2AB, AB= AD= 3,點(diǎn) M在菱 AB上,-1- _且AM= AB.已知點(diǎn)E是直線GD上的一點(diǎn)，AM/平面BGE.3(1)試確定點(diǎn)E的位置，并說明理由；(2)求三棱錐M- BGE的體積.解：(1)點(diǎn)E在線段GD上且EG= 1,理由如下.在GD上取點(diǎn)N,使彳導(dǎo)DN= AM= 1

35、,連接MN DN圖略)，又DN/ AM 所以MNI A1D統(tǒng)AD所以四邊形AMND;平行四邊形，所以 AM/ DN因為GE= 1,所以易知 DIN/ EG,所以AM/ EG,又AM?平面BGE, EG?平面BGE,所以AM/平面BGE故點(diǎn)E在線段 GD且EG= 1.(2)由(1)知，AM/平面 BGE,11所以V三棱錐 MBGE= V三棱錐 ABGE= V三棱錐 G-ABE= 3X jx3X3jx 4=6.11. (2019 石家莊市模擬一)如圖，已知三棱錐 P-ABO43, PG! AB AABG 是邊長為2的正三角形，PB= 4, Z PBG= 60 .(1)證明：平面 PAGL平面ABG

36、(2)設(shè)F為棱PA的中點(diǎn)，在AB上取點(diǎn)E,使得AE= 2EB,求三棱錐F-AGE 與四棱錐GPBE前體積之比.解：(1)證明：在 PBC43, / PBG= 60 , BC= 2, PB= 4,由余弦定理可得PG= 2 3, 222,PG+ BG= PB,PGL BG又 PGL AR ABH BC= B,PGL平面 ABG.PG?平面PAG 平面 PAGL平面 ABG(2)設(shè)三棱錐F-ACE勺高為hi,三棱錐P-ABC勺高為h,1則 Vf-ac匚X SaaceX hi3=3 X Sa abcX 3 X h X 萬11=X Sa abcX h X 33 1=-X V- ABC 3三棱錐F-ACEW四B隹CPBEF勺體積之比為1 ： 2.12. (2019 重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研 )如圖所示，在四錐 P-ABCW,/CAD= Z ABO 90 , ZBAO / AD仔 30 , PAL平面 ABCD E為 PD的中點(diǎn)，AC= 2.(1)求證：AE/平面PBC3(2)若四面體PABC勺體積為 求 PCD勺面積.解：(1)證明：如圖，取 CD的中點(diǎn)