高中數(shù)學第七章三角函數(shù)7.1任意角的概念與弧度制7.1.2弧度制及其與角度制的換算教案新人教B版

1、7.1.2弧度制及其與角度制的換算(教師獨具內容課程標準：了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.教學重點：1.弧度制的意義.2.角度與弧度的互化.3.弧度制下，弧長和扇形面積公式的 運用.教學難點：弧度制的概念及角度與弧度的互化核心概念常提【知識導學】知識點一角的單位制(1)把圓周等分成360份，其中每一份所對應的圓心角為1度，這種用卬度作單位來度量角的制度稱為角度制，規(guī)定 1° =02 60' , 1' = 03 60 .(2)稱凹弧長與口5半徑比值的這個常數(shù)為圓心角的弧度數(shù).長度等于寸半徑長的圓弧所對的凹圓心角口U做1弧度的角，記彳乍，

2、1 rad.以T弧度作為單位來度量角的制度稱為弧度制.在用弧度制表示角時，“弧度”二字或rad可以略去不寫.(3)弧度數(shù)的計算知識點二弧度與角度的換算(1)弧度制與角度制的換算(用理化城出孤嗖化侑叱(2) 一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0兀"6兀彳兀至兀"22兀33兀45兀6兀知識點三扇形的弧長及面積公式設扇形的半徑為r,弧長為l, a (0< a <2兀)為其圓心角的弧度數(shù)，n為圓心角的角度數(shù)，則扇形的弧

3、長：1=篙=凹”,扇形的面積：S=喋，=011=1a - r2. 18036022【新知拓展】(1)無論是以“度”還是以“弧度”為單位，角的大小都是一個與“半徑”大小無關的定值，僅僅是為了能使概念描述更具體的一個“過渡量”而已.(2)用弧度為單位表示角的大小時，“弧度”兩字可以省略不寫，如 sin2是指sin(2弧度)，兀= 180°是指 ?；《?180° ;但如果以度為單位表示角時，度就不能省去.(3)用弧度為單位表示角時，常常把弧度數(shù)寫成多少兀的形式，如無特殊要求，不必把 兀-.、兀寫成小數(shù)，如45 =彳弧度，不必寫成 45 =0.785弧度.、.一一 兀(4)角度制和

4、弧度制表小的角不能混用.如 a =30 + 2kTt , ke Z; B =4+k 90 , kCZ,都不正確.(5)弧度制是十進制，而角度制是六十進制.G徐口的1.判一判(正確的打“，”，錯誤的打“X”)(1)大圓中1弧度角比小圓中1弧度角大.()(2)圓心角為1弧度的扇形的弧長都相等.()(3)用弧度表示的角都是正角.()(4) “度”和“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位.()答案 (1) X (2) X (3) X (4) V2.做一做(1)在半彳全為5 cm的圓中，圓心角為周角的 2的角所對的圓弧長為()320 71A. cm3cmB.50兀33C.學 cm 3,、11(2) 135

5、。化為弧度為 ,二一化為角度為 3答案 (1)B(2) -4- 660°核心素養(yǎng)形成題型一弧度制的概念例1下列命題中，假命題是()A. “度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位、，一 一一，11B. 一度的角是周角的 -一弧度的角是周角的 3602 兀C. 1弧度是長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角，它是角的一種度量單位D.不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們均與圓的半徑長短有關解析根據(jù)角度和弧度的定義，可知無論是角度制還是弧度制，角的大小與圓的半徑 長短無關，而是與弧長與半徑的比值有關，所以 D是假命題.選項 A, B, C均為真命題.答案D金版點睛角度制和弧度制的比較(1)弧

6、度制是以“弧度”為單位來度量角的單位制，而角度制是以“度”為單位來度量角的單位制.1(2)1弧度的角是指長度等于半徑長的弧所對的圓心角，而 1度的角是指圓周角的二的360角，大小顯然不同.(3)無論是以“弧度”還是以“度”為單位來度量角，角的大小都是一個與“半徑”大小無關的值.(4)用“度”作為單位度量角時，“度”(即“?！?不能省略， 而用“弧度”作為單位度量角時，“弧度”二字或“ rad”通常省略不寫.但兩者不能混用，即在同一表達式中不能出 現(xiàn)兩種度量方法.跟蹤訓練1下列敘述中正確的是()A. 1弧度是1度的圓心角所對的弧B. 1弧度是長度為半徑的弧C. 1弧度是1度的弧與1度的角之和D.

7、大圓中1弧度的圓心角與小圓中 1弧度的圓心角一樣大答案 D解析 弧度是度量角的大小的一種單位，而不是長度的度量單位，1弧度是長度等于半徑的圓弧所對圓心角的大小，與圓的半徑無關，故選 D.題型二弧度制與角度制的換算例2把下列各角用另一種度量制表示出來：112° 30' ; 36° ; 52; 3.5.解112° 30'225 兀 5兀T X =.21808兀360 =36x W0 =7t55兀725兀X121807t= 75°1803. 5 = 3.5 X 一 兀= 3.5X57.3° =200.55° (或 200&#

8、176; 33').金版點睛用弧度制表示角時“弧度”二字可以省略不寫，而用角度制表示角時要特別注意單位不能丟，因為 1°與1是完全不同的兩個角跟蹤訓練2(1) -300°化為弧度是(4兀A. -Z-3B.5兀C.7兀4D.7兀(2)號化為度數(shù)是()5B. 280D. 318A. 278°C. 288°答案(1)B(2)C兀5北解析 (1) -300 = - 300X -1803(2)亭=8X180° =288° . 55題型三用弧度制表示角的集合例3 已知角a =2020° .(1)將a改寫成§ +2kTt

9、(kC Z,0W § <2兀)的形式，并指出a是第幾象限的角;(2)在5兀，0)內找出與a終邊相同的角.解(1)2020 ° = 2020X e rad =109L rad11=+5X271 rad ,11 Tt 3 兀"92 '-,11 角a與工一終邊相同，是第三象限的角. 9(2)與a終邊相同的角為11+2卜兀(kC Z),9由一5ttW 11-+2k% <0,卜62知卜=1, 2, 3. 9 在5兀，0)內與a終邊相同的角是7兀 25 Tt 43 兀9,9，9.金版點睛用弧度制表示終邊相同的角a +2kTtkCZ時，其中2k兀是兀的偶數(shù)倍

10、，而不是整數(shù)倍，還要注意角度制與弧度制不能混用跟蹤訓練3 (1)將一 1125°表不'成 a + 2k.Tt , 0W a <2兀，k C Z的形式為 ;(2)用弧度表示終邊落在陰影部分內(不包括邊界)的角的集合.答案 (1) 74 8兀(2)見解析解析(1) . 1125° = 1125X 卷=-25,以一8兀，即一1125。= 2一8兀.4445兀兀(2)因為終邊落在 oa處的角e =2- + 2kTt, ke z,終邊落在o瓚的角e= E+zkTt, ke Z,所以終邊落在陰影部分的角的集合為e -6 + 2kTt< e <52 + 2kTt

11、, kez .題型四扇形的弧長及面積公式的應用例4 (1)已知扇形的周長為 8 cm,圓心角為2,則扇形的面積為 cm2;(2)已知一半徑為 R的扇形，它的周長等于所在圓的周長，那么扇形的圓心角是多少弧度？面積是多少？解析(1)設扇形的半徑為r cm,弧長為l cm,由圓心角為2 rad ,依據(jù)弧長公式可 得l =2r,從而扇形的周長為 l +2r = 4r = 8,解得r = 2,則l =4.112故扇形的面積 S= 21r =2X4X2= 4(cm ).(2)設扇形的弧長為l ,由題意得2兀R= 2R+ l，所以l =2(兀一1)R,所以扇形的圓心角是g= 2（兀- 1）,扇形的面積是；l

12、R =（兀- 1） R2.R2答案（1）4（2）見解析金版點睛弧度制下涉及扇形問題的解題策略11（1）明確弧度制下扇形的面積公式是S= 21r =2| a | r=X4 兀 X 6= 12 % . （其中l(wèi)是扇形的弧長，r是扇形的半徑，a （0< a <2兀）是扇形的圓心角）.（2）涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算，關鍵是先分析題目已知哪些量求哪（組）求解.跟蹤訓練4已知扇形AOB勺圓心角為120° ,半徑為6,求:些量，然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程AB勺長;(2)扇形所含弓形的面積（即陰影面積）.(1) 120°2兀AB勺長1

13、= - x6=4Tt .(2)1S 扇形 aob= 21r如圖所示，過點O作ODL AR交AB于D點,于是有 S/ OAB=2AB OD= 2X 2X3弓形的面積為 S 扇形 AOB- S/AOB 12% - 9 .13.隨堂水平達標32B.1 21 . 2145°轉化為弧度數(shù)為（）16A. 一 3C 16兀D 143 兀答案 D解析 2145° =2145X 總 rad =T rad. 180122 . a =- 2 rad ,則a的終邊在（）B.第二象限D.第四象限A.第一象限C.第三象限答案 Ca的終邊在第三象限.解析 1 rad =57.30° , 2 r

14、ad =114.60° .故3 .在 ABC4若A： B： C= 3 ： 5 ： 7,則角A, B, C的弧度數(shù)分別為答案解析 A： B： C= 3： 5： 7,則A占總度數(shù)的d 7 = 1； B占總度數(shù)的C占 3+5+ 7 53+5+7 3總度數(shù)的丁.又三角形的內角和為兀，則A為2 B為I C為二.3+5 + 71553154 .用弧度制表示終邊落在第二象限的角的集合為 .兀答案 a 十 2kTt<a<7t + 2kTt, kC Z,.一 一. 兀解析 若角a的終邊落在第二象限，則 -2 + 2kTt< a<7t + 2kTt, k C Z.5 . （1）把310°化成弧度；（2）把篝rad化成角度；已知a = 15 ,兀10，丫 =1, e =105。，7 兀、6 =彳2，試比較 a ,的大小.(2)(1)3105兀-rad12兀180180一x兀rad x 310=日展 rad.5兀12= 75°解法一（化