拉普拉斯變換在微分方程中的應(yīng)

1、 拉普拉斯變換在微分方程中的應(yīng)用王彥朋（寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 寶雞 721013）摘 要： 利用了拉普拉斯變換及其它的性質(zhì),討論了它在線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)和電路分析中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：拉普拉斯變換；微分方程；電路分析隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的方法發(fā)生了革命性的變化.原來用傳統(tǒng)的模擬系統(tǒng)來進(jìn)行的許多工作，現(xiàn)在都可能用數(shù)字的方法來完成.因此，數(shù)字電路、離散系統(tǒng)的分析方法就更顯得很重要了.其中，拉普拉斯變換是分析這類系統(tǒng)極為有效的方法，從而給學(xué)習(xí)使用者在應(yīng)用上帶來很大的方便.1 拉普拉斯變換的定義定義：設(shè)函數(shù)是定義在上的實(shí)值函數(shù)，如果對于復(fù)參數(shù)，積分在復(fù)平面的某一域內(nèi)收斂，則稱為

2、的拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換），記為；相應(yīng)地，稱為的拉普拉斯逆變換（簡稱拉氏逆變換），記為.有時(shí)我們也稱與分別為象原函數(shù)和象函數(shù).2 拉氏變換存在定理若函數(shù)滿足下列條件：（1）在的任何有限區(qū)間上分段連續(xù)；（2）當(dāng)時(shí)，具有有限的增長性，即存在常數(shù)及，使得 （其中稱為的增長指數(shù)）.則象函數(shù)在半平面上一定存在，且是解析的.3 拉普拉斯變換的性質(zhì)（1） 線性性質(zhì)：若 為任意常數(shù)，則有.（2） 微分性質(zhì)：若則.（3） 積分性質(zhì)：若則.（4） 位移性質(zhì)：若則.（5） 延遲性質(zhì)：若則當(dāng)有.（6） 卷積性質(zhì)：若則有.（7） 初值定理與終值定理: 初值定理: 若且存在,則 或. 終值定理: 若且存在,則 或.4

3、 拉普拉斯變換的應(yīng)用4.1 利用拉普拉斯變換方法解線性微分方程這是拉普拉斯變換的一個(gè)最基本的應(yīng)用.含有未知數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的方程稱為微分方程.如果及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，則稱之為線性微分方程.例 解微分方程解 方程兩端同時(shí)進(jìn)行拉氏變換，得整理得 的反拉普拉斯變換就是原方程的解，即.從以上分析可知，所謂用拉普拉斯變換解決問題的方法，實(shí)質(zhì)上就是把時(shí)間域里的問題變換到域去求解，最后通過反變換再返回時(shí)間域.上述拉普拉斯變換中的復(fù)數(shù)（或域）常常稱為復(fù)頻率（或復(fù)頻域）.4.2 利用拉普拉斯變換求解線性系統(tǒng)的響應(yīng)這里討論的范圍，只限于線性系統(tǒng).所謂系統(tǒng)，是用來處理各種輸入信號的裝置，這種處理可以用硬件來實(shí)現(xiàn)，

4、如由各種電器元件組成的電路網(wǎng)絡(luò)，機(jī)械元件組成的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，都稱為系統(tǒng).這些系統(tǒng)的規(guī)律也可以用某中數(shù)學(xué)方法來描述，如電路方程，微分方程，硬件系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（網(wǎng)絡(luò)函數(shù)）等.這時(shí)，我們也稱這些數(shù)學(xué)表達(dá)方式為系統(tǒng).也就是說，系統(tǒng)也可以是指從實(shí)際物理元件組合中抽出來的數(shù)學(xué)規(guī)律.系統(tǒng)可以用軟件表示，因?yàn)橹灰堰@些規(guī)律掌握了，對實(shí)際系統(tǒng)的特性也就能充分地了解了.關(guān)于信號，在電路網(wǎng)絡(luò)中就是指電壓和電流.一般通指系統(tǒng)中一些變量和機(jī)械系統(tǒng)的位置、速度、壓力和流量等等.設(shè)一個(gè)系統(tǒng)，在輸入信號為和時(shí)的輸出信號為和，若輸入信號為時(shí)，其輸出信號為（為常數(shù)），則這個(gè)系統(tǒng)為線性系統(tǒng).如果系統(tǒng)的參數(shù)（如電阻、電容值等）是不隨時(shí)間

5、改變的，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)或線性時(shí)不變系統(tǒng).利用拉普拉斯變換求線性系統(tǒng)的響應(yīng)是其重要的應(yīng)用之一.下面通過舉例說明高階微分方程的復(fù)頻域解與狀態(tài)方程的復(fù)頻域解.4.2.1 高階微分方程的復(fù)頻域解對于線性系統(tǒng)，將微分方程的全解分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng).其中，零輸入響應(yīng)是指沒有外加激勵(lì)信號的作用，僅由系統(tǒng)的儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能所引起的響應(yīng)，用表示. 零狀態(tài)響應(yīng)是指系統(tǒng)初始條件為零（即系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能為零）時(shí)，由外加激勵(lì)信號產(chǎn)生的響應(yīng)，用表示.系統(tǒng)的完全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的和，即.例 系統(tǒng)的方程為求零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和完全響應(yīng).解 由于是因果信號，且用拉普拉斯變換求解.設(shè)則

6、系統(tǒng)方程兩邊同時(shí)進(jìn)行拉普拉斯變換，有求得 零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換為 則零狀態(tài)響應(yīng)為 零輸入響應(yīng)的拉氏變換為 則零輸入響應(yīng)為完全響應(yīng)的拉氏變換為完全響應(yīng)為 通過上述例題分析可知：利用拉普拉斯變換求系統(tǒng)響應(yīng)，需首先將描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的高階微分方程逐項(xiàng)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到復(fù)頻域的代數(shù)方程，求出代數(shù)方程的解答后，經(jīng)過反變換即可得到時(shí)域解.4.2.2 狀態(tài)方程的復(fù)頻域解法 線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為 （1） 系統(tǒng)的輸出方程為 （2）式中，為系數(shù)矩陣；分別為狀態(tài)變量、輸出變量和系統(tǒng)的輸入變量.對狀態(tài)方程式兩邊作拉普拉斯變換，得式中，上式經(jīng)整理得 （3）對輸出方程式作拉普拉斯變換，將式代入其中，得

7、（4） 其中，為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)；為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng).式經(jīng)拉氏反變換后，得到時(shí)域形式的解 （5） （6）比較式與狀態(tài)方程的時(shí)域解，即可見，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 （7）式中，是的伴隨矩陣；是的特征多項(xiàng)式.利用式可以較方便地計(jì)算出從而可以求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng).例 已知狀態(tài)方程和輸出方程中的各矩陣分別為輸入矢量為初始狀態(tài)為求輸出解 首先求的拉普拉斯變換.由式有由得系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的復(fù)頻域解，即系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的復(fù)頻域解因此得系統(tǒng)全響應(yīng)的時(shí)域解為 由上例可見，矩陣的特征值決定了系統(tǒng)的自由響度.實(shí)際上它們就是系統(tǒng)的固有頻率，因此可根據(jù)的特征值來判斷系統(tǒng)的特性.4.3 拉普拉斯變換在電路分析中的應(yīng)用 4.

8、3.1 關(guān)于線性動(dòng)態(tài)電路的域分析法動(dòng)態(tài)電路的域分析法，是指應(yīng)用拉普拉斯變換的電路模型法.其關(guān)鍵在于正確作出動(dòng)態(tài)電路的域模型.作電路的域模型和進(jìn)行域分析.應(yīng)明確如下幾點(diǎn).1. 域中的電壓和電流在域模型中，時(shí)域電源激勵(lì)函數(shù)變換為象函數(shù)，各支路電壓用象函數(shù)表示.通常時(shí)域激勵(lì)函數(shù)由查拉氏變換表得出它的象函數(shù).電路中的電壓和電流用它的象函數(shù)表示，如，等.2.，元件的域形式及其模型（1）電阻元件的域形式為，或域模型如圖1,所示. （2）電感元件的域形式為或域模型如圖2,所示.其中稱為復(fù)頻域感抗，稱為復(fù)頻域感納.是由電感元件初始狀態(tài)產(chǎn)生的附加電壓源復(fù)頻域電壓，與為非關(guān)聯(lián)參考方向；是由電感元件初始狀態(tài)產(chǎn)生的附

9、加電流源電流，與中電流參考方向相同. （3）電容元件的域形式為 或其中，稱為復(fù)頻域容納,是由電容元件初始狀態(tài)產(chǎn)生的附加電壓源復(fù)頻域電壓，與參考方向一致，是由電容元件初始狀態(tài)產(chǎn)生的附加電流源電流，與為非關(guān)聯(lián)參考方向. 由于，元件阻抗和導(dǎo)納兩種域模型，故一個(gè)時(shí)域動(dòng)態(tài)電路便可以作出兩種域模型.電路分析時(shí)宜采用哪一種域模型呢？應(yīng)視電路的結(jié)構(gòu)而定.一般而言，串聯(lián)電路宜采用阻抗域模型，并聯(lián)電路則宜采導(dǎo)納抗域模型.3.基爾霍夫定律的域形式基爾霍夫定律包括基爾霍夫電流定律（KCL）和電壓定律（KVL）.（1）KCL：在域中沿任一節(jié)點(diǎn)處各支路電流象函數(shù)的代數(shù)和為零，即.（2）KVL：在域中沿任一閉合回路各支路電

10、壓象函數(shù)的代數(shù)和為零，即.4. 域阻抗與域?qū)Ъ{（1）零狀態(tài)RLC串聯(lián)電路的域阻抗，是各元件阻抗之和，即（2）零狀態(tài)RLC并聯(lián)電路的域?qū)Ъ{，是各元件導(dǎo)納之和，即（3）域阻抗與域?qū)Ъ{，是互為倒數(shù)的關(guān)系，即，或（4）域阻抗與域?qū)Ъ{兩端電壓和通過電流象函數(shù)，符合歐姆定律，稱為歐姆定律的域形式，即或 下面舉例來說明線性動(dòng)態(tài)電路的域分析法.例 應(yīng)用域分析法求一般二階電路的階躍響應(yīng),如圖-4所示電路,求階躍響應(yīng)和. 圖4.3.1-4解 （解題思路）本題是一般直流二階電路求階躍響應(yīng)，即零狀態(tài)響應(yīng).作域模型中沒有附加電源.域分析計(jì)算的步驟是，首先做出時(shí)域電路的域模型，然后應(yīng)用節(jié)點(diǎn)分析法求解出待求量的象函數(shù)，并將

11、其展開為部分分式，最后反變換為時(shí)域響應(yīng).（解題方法）（1）作出時(shí)域電路的域模型如圖4所示.其電壓源的象函數(shù)是復(fù)頻域感抗復(fù)頻域容抗.（2）求電壓應(yīng)用節(jié)點(diǎn)分析法，列出節(jié)點(diǎn)方程為化簡整理得計(jì)算待定常數(shù)進(jìn)行拉氏變換得出(3)求電路的域阻抗為 故 計(jì)算待定常數(shù)進(jìn)行反拉氏變換得出本文通過討論了拉普拉斯變換在線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，對復(fù)頻域求解代數(shù)方程，得出待求響應(yīng)量的復(fù)頻域函數(shù)，最后經(jīng)拉氏反變換為所求解的時(shí)域響應(yīng).這種變換分析方法，其實(shí)質(zhì)就是時(shí)域問題變換為復(fù)頻域來求解，使分析計(jì)算易于進(jìn)行.應(yīng)用拉普拉斯變換分析動(dòng)態(tài)電路，把時(shí)域電路直接變換為復(fù)頻域電路，即域模型.根據(jù)域模型進(jìn)行分析計(jì)算，得出響應(yīng)量的域形式，

12、最后反變換為時(shí)域響應(yīng).這種分析方法易于對任意函數(shù)激勵(lì)的動(dòng)態(tài)電路進(jìn)行分析計(jì)算，是一種具有廣泛意義的分析方法. 除了以上所述內(nèi)容之外，拉普拉斯變換還有許多應(yīng)用，例如數(shù)學(xué)上還可以用來解一類積分方程，偏微分方程等等.致謝：本文在撰寫過程中得到常莉紅老師的悉心指導(dǎo)，在此表示衷心的感謝！參考文獻(xiàn)：1 華中理工大學(xué)數(shù)學(xué)系編著.復(fù)變函數(shù)與積分變換M.北京：高等教育出版社1997：210-211.2 姜建國，曹建中，高玉明編著.信號與系統(tǒng)分析基礎(chǔ)（第二版）M.北京：清華大學(xué)出版社，2006：27-28. 3 馬金龍，胡建萍，王苑蘋編著.信號與系統(tǒng)M.北京：科學(xué)出版社，2006：222-223.Laplace t

13、ransform and Its Application in the differential equationsWANG Yan-peng（Department of Mathematics, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji 721013, Shaanxi, China）Abstract: Laplace transform and other application are utilized in the article,and then it is discussed to a linear not change the dom

14、ain of the system and circuit analysis.Key words: Laplace transform; Differential equation;Circuit analysis寶雞文理學(xué)院本科畢業(yè)論文任務(wù)書課題條件： 隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的方法發(fā)生了革命性的變化.原來用傳統(tǒng)的模擬系統(tǒng)來進(jìn)行的許多工作，現(xiàn)在都可能用數(shù)字的方法來完成.因此，數(shù)字電路、離散系統(tǒng)的分析方法就更顯得很重要了.其中，拉普拉斯變換是分析這類系統(tǒng)極為有效的方法。通過對拉普拉斯變換的介紹,討論了它在線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)和電路分析中兩方的應(yīng)用，給學(xué)習(xí)使用者在應(yīng)用上帶來很大的

15、方便。畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）主要內(nèi)容：本文首先介紹了拉普拉斯變換的定義和性質(zhì),然后討論了它在線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)和電路分析中的應(yīng)用。 論文主要內(nèi)容如下：1 拉普拉斯變換的定義2 拉氏變換存在定理3 拉普拉斯變換的性質(zhì)4 拉普拉斯變換的應(yīng)用4.1 利用拉普拉斯變換方法解線性微分方程4.2 利用拉普拉斯變換求解線性系統(tǒng)的響應(yīng)4.2.1 高階微分方程的復(fù)頻域解4.2.2 狀態(tài)方程的復(fù)頻域解法4.3 拉普拉斯變換在電路分析中的應(yīng)用 4.3.1 關(guān)于線性動(dòng)態(tài)電路的域分析法注：課題性質(zhì)分為理論型實(shí)踐應(yīng)用型。下同。主要參考文獻(xiàn)：1 華中理工大學(xué)數(shù)學(xué)系編著.復(fù)變函數(shù)與積分變換M.北京：高等教育出版社1997：2

16、10-211.2 姜建國，曹建中，高玉明編著.信號與系統(tǒng)分析基礎(chǔ)（第二版）M.北京：清華大學(xué)出版社，2006：27-28. 3 馬金龍，胡建萍，王苑蘋編著.信號與系統(tǒng)M.北京：科學(xué)出版社，2006：222-223.指導(dǎo)教師意見：1通過； 2完善后通過；3未通過 簽 名： 年月日注：以上各項(xiàng)內(nèi)容由學(xué)生填寫，指導(dǎo)教師審核后簽署意見。寶雞文理學(xué)院本科畢業(yè)論文中期檢查報(bào)告學(xué)生撰寫情況：第1周：查閱和整理資料，根據(jù)整理的資料初步擬定論文方向。第2周：根據(jù)所選論文方向進(jìn)一步查閱收集相關(guān)資料，確定論文題目為拉普拉斯變換在微分方程中的應(yīng)用。第3-7周：撰寫論文并交指導(dǎo)老師指導(dǎo)和修改。指導(dǎo)教師： （簽名）教師指

17、導(dǎo)情況：1召開動(dòng)員大會(huì)，主要向?qū)W生講述撰寫論文的重要性和必要性，指導(dǎo)學(xué)生如何查閱資料，并對撰寫論文的有關(guān)要求等作了詳細(xì)說明。2檢查學(xué)生查閱資料的情況，與學(xué)生交流論文的方向，確定論文方向。3根據(jù)學(xué)生確定論文題目為拉普拉斯變換在微分方程中的應(yīng)用，交系審查后下達(dá)任務(wù)，同時(shí)布置學(xué)生撰寫論文。4學(xué)生查找資料，基本形成論文初稿。5針對初稿存在的問題進(jìn)行指導(dǎo)，學(xué)生修改后形成第二稿。檢查人： （簽名）系主任： （簽名） 注：學(xué)生撰寫情況由指導(dǎo)教師填寫，教師指導(dǎo)情況由檢查人填寫。寶雞文理學(xué)院本科畢業(yè)論文指導(dǎo)教師指導(dǎo)記錄表指導(dǎo)的具體時(shí)間及指導(dǎo)內(nèi)容（由學(xué)生分次填寫）： 3月31日：召開小組動(dòng)員會(huì)議，明確撰寫論文的重

18、要性和必要性及需要注意的事項(xiàng)；安排查閱、搜集文獻(xiàn)資料等有關(guān)事宜。4月8日：根據(jù)學(xué)生搜集文獻(xiàn)資料的情況，確定論文題目，指導(dǎo)撰寫論文計(jì)劃進(jìn)度和寫作提綱。4月16日：指導(dǎo)教師對論文的框架和內(nèi)容做了認(rèn)真詳細(xì)的指導(dǎo)。尤其是對拉普拉斯變換的定義和論文中出現(xiàn)的名詞給予了補(bǔ)充和修改。4月28日：指導(dǎo)教師要求對論文中的數(shù)學(xué)公式和推理過程必須理解和熟練推理，并且對正確引用參考文獻(xiàn)給予了說明。5月6日：基本完成論文，提出進(jìn)一步完善建議，并通知進(jìn)行一次論文答辯訓(xùn)練。5月15號：布置學(xué)生撰寫答辯提綱，并提出具體意見，對其進(jìn)行輔導(dǎo)。5月16日：我們進(jìn)行了一次答辯訓(xùn)練。指導(dǎo)教師針對答辯過程中出現(xiàn)的問題給我們提出了改善的建議

19、，并強(qiáng)調(diào)答辯過程中應(yīng)注意的有關(guān)事項(xiàng)，積極準(zhǔn)備答辯.對第一稿提出的修改意見：拉普拉斯變換的定義不夠精準(zhǔn)，論文中出現(xiàn)的名詞要給予解釋，微分方程的例題選取的不夠典型，有待于繼續(xù)修改。對第二稿提出的修改意見：大體框架已完成，要對論文中的數(shù)學(xué)公式和推理過程必須理解和熟練推理，并且正確引用參考文獻(xiàn)。英文摘要語法不對，語句不通順，最大的問題是格式。 指導(dǎo)教師： （簽名）學(xué) 生： （簽名）注：指導(dǎo)的具體時(shí)間及指導(dǎo)內(nèi)容由學(xué)生分次填寫，對第一、二稿提出的修改意見由指導(dǎo)教師填寫。寶雞文理學(xué)院本科畢業(yè)論文結(jié)題報(bào)告本課題完成情況，包括研究過程、結(jié)果、存在的問題等：1. 研究過程：拉普拉斯變換是一種重要的積分變換，通過拉

20、普拉斯變換的定義和性質(zhì)，分析了它線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)和電路分析中的應(yīng)用。2. 研究結(jié)果：本文通過討論了拉普拉斯變換在線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，對復(fù)頻域求解代數(shù)方程，得出待求響應(yīng)量的復(fù)頻域函數(shù)，最后經(jīng)拉氏反變換為所求解的時(shí)域響應(yīng)。這種變換分析方法，其實(shí)質(zhì)就是時(shí)域問題變換為復(fù)頻域來求解，使分析計(jì)算易于進(jìn)行。應(yīng)用拉普拉斯變換分析動(dòng)態(tài)電路，把時(shí)域電路直接變換為復(fù)頻域電路，即域模型。根據(jù)域模型進(jìn)行分析計(jì)算，得出響應(yīng)量的域形式，最后反變換為時(shí)域響應(yīng)。這種分析方法對于任意函數(shù)激勵(lì)的動(dòng)態(tài)電路進(jìn)行分析計(jì)算，是一種具有廣泛意義的分析方法。3. 存在問題：除了本文所述內(nèi)容之外，拉普拉斯變換還有許多應(yīng)用，例如數(shù)學(xué)上還可以用來解一類積分方程，偏微分方程等等，這些方面還沒有涉及到，此項(xiàng)工作有待繼續(xù)完成。通過這篇論文的寫作，使對我拉普拉斯變換的應(yīng)用有了較深的認(rèn)識，為以后的論文撰寫奠定了一定的基礎(chǔ)。盡管在