直角坐標系解決立體幾何問題

1、在立體幾何中引入向量之前，求角與距離是一個難點，在新課標中，從 向量的角度來研究空間的點、線、面的關系，我們只要通過兩個向量的數量 積運算、運用向量的模、平面的法向量就可以解決常見的角與距離的問題。 而且，運用向量來解題思路簡單、步驟清楚，對學生來說輕松了很多。重點：用空間向量數量積及夾角公式求異面直線所成角。難點：建立恰當的空間直角坐標系關鍵：幾何問題轉換為代數問題及正確寫出空間向量的坐標。I、空間直角坐標系的建立平面直角坐標系空間直角坐標系空間向量的數量積公式(兩種形式)、夾角公式和空間向量的數量積的 幾何性質。(用媒體分步顯示下列內容)1 .向量的數量積公式(包括向量的夾角公式)：若 a

2、 與 b 的夾角為 9 (0 < 9 < tt ),且2=僅1,丫 i,z 1, b =x2,y 2,z 2,則 a ' b=| a| b |cos 0 或a b = x iX2+yiy2+ziZ2若a與b非零向量cos 0 =X1X2 y1y2 Z1Z222222y Z1. X2 y2Z22,向量的數量積的幾何性質：兩個非零向量a與b垂直的充要條件是a- b =0兩個非零向量a與b平行的充要條件是a b=±| a| b |利用空間向量知識求異面直線所成角的一般步驟：(1)根據圖形建立合理的空間直角坐標系；(2)確定關鍵點的坐標；(3)求空間向量的夾角；D(4)得

3、出異面直線的所成角。用向量解決角的問題 兩條異面直線a、b間夾角 在直線a上取兩點A B,在直線b上取兩點G D,若直線a與b的夾角為AB CDuuu uur則 cos | cos AB,Cd |注意，由于兩向量的夾角范圍為0 ,180 ,而異面直線所成角的范圍為90 ,若兩向量夾角 為鈍角，轉化到異面直線夾角時為180°A例 1:在長方體 ABCD-XBCD 中，AB=BC=4 AA=6, 求異面直線DA與AC的所成角；分析：在此題的解答中，設計如下問題貫穿整個過程以期共同解高。問題1:此題在立體幾何中我們應該如何解決？（異面直線平移相交，求相交直線的交角）問題2:利用空間向量求解

4、，對幾何體如何處理？（求向量DA與AC的數量積，當然應先建立空間直角坐標系）問題3:如何建立空間直角坐標系？并說明理由。（以DA為X軸，以DC為Y軸，以DD為Z軸）問題4:建立空間直角坐標系后，各相關點的坐標是多少？（請學生個別回答）例2.直棱柱ABCD-AiGD,底面是邊長為 4 的菱形，且/DAB=60 , AA=6, AC與 BC交于E, A1C1與BQ交于Ei,（1）求：DA與AG的所成角；（2）若F是AE的中點，求：BE與FD的所成角；直線a與平面 所成的角 （如圖1 1）可轉化成用向量a與平面 的法向量n的夾角 表示，由向量平移得：若z圖1 1圖1 2圖13平面 的法向量n是向量的

5、一個重要內容，是求直線與平面所成角、求點到平面距離的必備工具.由n可知，要求得法向量n ,只需在平面 上找出兩個不共線向量a、b ,最后通過解方程組a n 0得到n .bn 0例4、在直三棱柱ABC AB1C1中，底面是等腰直角三角形， ACB 90,側棱AA1 2, D、E分別是CG與A,B的中點，點E在平面ABD上的射影是 ABD的重心G ,求直線AB與平面ABD所成角正弦值.x例 8.三棱柱 OAB 01ABi ,平面 OBB1O1 平面 OAB , O1OB 60 ,A0B 90且0B 001 2, 0A J3 ,求：二面角01 AB。的余弦值大小.B1z .01A1/2->X例

6、9.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD 中，ADBC , /ABC=90°,1 AD=-2求側面SCD與面SBA所成的二面SA±W ABCD, SA=- , AB=BC=1 2角的余弦值大小。用向量解決距離問題兩點A, B間距離| AB |由AB2AB AB可算出;22a b ,y若AB a b ,則由數量積得A若已知兩點坐標，則可直接用兩點間距離公式點P到直線AB的距離過點P作直線AB的垂線PD ,垂足為D ,則由PD AB且點A,B,D共線得PD?AB 0, AD AB ,解出D點后再求| PD |。例1、直角坐標系中的三點 A 0,1,V3 , B <3

7、,0,0C 0,2,0，求點A到直線BC的距離。解：過A作AH BC,垂足為H設BHBC, BC3,2,0二 BH3,2,0,2 ,0 ,則H點坐標為近3 ,2 ,0二 AH.33 ,21,0,33 ,又; AH? BC 0,52 3 3 c一,A AH ,-,4377 7AH24:7異面直線a、b的距離a EF 0可先設a、b的公垂線段EF ( E a、F b ),再由垂直向量性質得b EF 0從而得到E、F的坐標，最后算出所求EF例2、正方體ABCD A1B1C1D1的邊長為1,求異面直線A1C、BD的距離?分析：從正方體條件得，運用坐標向量的方法較好建立直角坐標系，設EF是所求的公垂線，

8、令BEBD、AFkAC ,則 BE 1,1,0、E 的坐標為 1, ,0 ,同理 Fk,k,1 k ,再由 EF BD 0、EF A1C 0,算得12-> k 2最后算出EF、23EF這個方法不但能求出直線上的點的坐標，也能求出空間向量的表示式，是 向量運用中常用的一個小技巧.點P到平面的距離h先設平面 的斜線為PA A ，再求 的法向量n ,運用向量平移，不PA n難得至時t論“ h等于PA在法向量n上的射影PA2的絕對值”，即hn最后由此算出所求距離.例 3、正四棱柱 ABCD AB1C1D1, AB 1,AA1 2, E是CG的中點，求點D1到平面BDE的距離.分析：如圖建立直角坐

9、標系，得各點坐標，設平面BDE的法向量為n (x, y, z),由n DEn DB0yz 0；令y 1,得法向量,1) 0D1E在n上的投影為D1E -n 生3, 點D1到平面BDE的距離為 也. n 33此類題目，是在立體幾何學習中的必須解決的重點題和難題，傳統(tǒng)的解題方法很多，也很復雜。運用平面法向量的知識，能直接算出所求距離，避免繁復的 邏輯推理。兩平行平面，之間的距離由平行平面間的距離定義知道，平面上任意一點A到的距離就是到 的距離，因此，我們也可把 到 的距離轉化為A到 的距離，運用求點與面距 離的方法來求。1、(2011年高考陜西卷理科 16)(本小題滿分12分)如圖：在 VABC中，ABC=60, BAC=90,AD是BC上的高，沿AD把VABD折起,底面使 BDC=90(I)證明：平面 ADB 平面BDC ;uur uur(n)設E為BC的中點，求AEfDB夾角的余弦值。2、(2011年高考北京卷理科 16)(本小題共14分)如圖，在四棱錐 P ABCD中，PA 平面ABCD ,ABCD 是菱形，AB 2, BAD 60o.(I)求證：BD 平面PAC;(n )若PA AB,求PB與AC所成角的余弦值;(m)當平面 PBC與平面PDC垂直時，求PA的長.3、(2011年高考全國新課標卷理科18)(本小題滿分1