數(shù)學(xué)建模之因子分析法

1、因子分析因子分析就是一種降維、簡化數(shù)據(jù)的技術(shù)。它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依 賴關(guān)系，探求觀測數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個“抽象”的變量來表示其基 本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這幾個抽象的變量被稱作“因子”，能反映原來眾多變量的主要 信息。原始的變量是可觀測的顯在變量，而因子一般是不可觀測的潛在變量。1 .因子分析法的應(yīng)用汽車行業(yè)業(yè)績評價研究（下載文檔）， 上市公司盈利能力及資本結(jié)構(gòu)實證分析, 生育率影響因素分析。2 .步驟對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理用XX2，L ,Xm表示因子分析指標(biāo)的m個變量，評價對象有n個，aj表示第i個評價對象對應(yīng)于第j個指標(biāo)的取值。將每個指標(biāo)值aj轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)郵,式中：jaj%

2、j -,(|sj1,2,L ,n;j 1,2,L ,m)Sj(aij1j)2相應(yīng)地，標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)變量為xjj / .,(Jsj1,2,L ,m)計算相關(guān)系數(shù)矩陣RR (rj)mmr"ijn% %k,(i,j1,2,L ,m)n 1式中：rii1,rijrji ,rj是第i個指標(biāo)和第j指標(biāo)之間的相關(guān)系數(shù)計算初等載荷矩陣解特征方程| I R 0,得到特征值i(i 1,2,L ,m) 12 L, m 0,再求出相對應(yīng)的特征值i的特征向量Ui(i 1,2,L ,m),其中%(Uj,U2j,L ,Umj)T,得到初等載荷矩陣為1.1u1,L , ' mum 確定主因子的個數(shù)k(k m)k

3、m一般選取使得累計貢獻(xiàn)率i / i 85%的這k個主因子，對k個因子載荷i 1 i 1矩陣作旋轉(zhuǎn)，用，表示1的前k列，T表示正交矩陣，則得矩陣2(k)T ,建立因子模型，即%11F1 LM%m1F1 LmkFk.計算因子得分，作出綜合評價求出單個因子的得分函數(shù)F?,用耳表示第i個樣本對第j個因子的得分估 計值，Y表示原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣，則總得分為F? (Fj)nk YR1 k例題我國上市公司贏利能力與資本結(jié)構(gòu)的實證分析已知上市公司的數(shù)據(jù)見表表1上市公司數(shù)據(jù)1裝司帝科存利* 5一. pl、凈般產(chǎn)收靛聿工I埼若毛利牛蚯產(chǎn)，利率髯* 1直線42 317.匏8_7354.391S.35渣17.11

4、12.1317 2344.25-2969用款件21 116.03V39. 371S,82公發(fā)的業(yè)：9.55氏二.14.53浙江團元1L8.4111 S525. Z225.心姐ft方中17 6315. M15.4136.4410.03乒正科技之普4, 32U. 169.96注這tl河光明Z9,ll1 U56 M9.K丁什加F3. 4812 97a:.zsZ&733.994. &49.3j19.0450 13自星發(fā)悔32. 6511.1114. 3M.5121.54伊利撾伊4,招7329.CHU/74聲更南不ST3.3工二弘65. jJ1湖北宜化7.2. 795.2419 7940

5、. £9靠北爾19.8220. S31日，巧由37.1橫幅由陶7.262, 996 f 金前55試用因子分析法對上述企業(yè)進(jìn)行綜合評價模型的建立對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理用Xi,X2,L ,Xm表示因子分析指標(biāo)的m個變量，評價對象有n個，aj表示第i個評價對象對應(yīng)于第j個指標(biāo)的取值。將每個指標(biāo)值aj轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)0%,1,2,L ,n;j 1,2,L ,m)式中：jnc1i1(aij j)相應(yīng)地，標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)變量為Xjj-j,(J 1,2,L ,m) sj計算相關(guān)系數(shù)矩陣R (rj)mmrrijn% %U,(i,j 1,2,L ,m)n 1式中：rii1,rijrjirj是第i個指標(biāo)和第

6、j指標(biāo)之間的相關(guān)系數(shù)。計算初等載荷矩陣 解特征方程| I R般選取使得累計貢獻(xiàn)率85%的這k個主因子，對k個因子載荷0,得到特征值i(i 1,2,L ,m) 12 L， m 0,再求出相對應(yīng)的特征值i的特征向量Ui(i 1,2,L ,m),其中uj 伍可上，Umj)T,得到 初等載荷矩陣為11U1,L ,m um 確定主因子的個數(shù)k(k m)矩陣作旋轉(zhuǎn)，用 ;表示1的前k歹I，T表示正交矩陣，則得矩陣2(k)T , 建立因子模型，即11F1 L 1kFk,模型的求解：我們選取兩個主因子2,因子載荷陣見表3。m1F1L mkFk.利用MATLAB序計算得旋轉(zhuǎn)后的因子貢獻(xiàn)及貢獻(xiàn)率見表表2貢獻(xiàn)率數(shù)據(jù)

7、國于艮*業(yè)融舉船*：加帛11.二射41. 4944. 4321. 66T341. 68M.17表3旋轉(zhuǎn)因子分析表指標(biāo)工國F1主囪子2娟白浮利率也招0.熊史有聲凈利率fl. 37;Q. SEad洋債產(chǎn)收益聿F.0期的彷的它利率G. 3SK0 JCTM計算因子得分，作出綜合評價我們用回歸方法求單個因子得分函數(shù)Fjbji% LbjmX%, j1,2,L ,k用耳表示第i個樣本對第j個因子的得分估計值,耳bji% Lbjm%，(i1,2,L,n； j 1,2,L ,k)b bLb1b21 b22 L b2mLLLLbk1xk2LxkmR 1B用Y表示原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣，則總得分為F? (Fj)nk

8、 YR1B計算得出各個因子得分函數(shù)為F1 0.531% 0.1615% 0.1831% 0.5015X%F20.045% 0.5151% 0.581% 0.0199%總得分為44.49F1 41.8F286.17計算出16家上市公司贏利能力的綜合得分見表4表4 16家上市公司贏利能力的綜合得分排名1二£gfi8FO 8門CL ”做d0日-0. OMi1. 279 11/JL弱-77F1.46HL U770. WS9L 2577-0.1 9Y. 59UT.g：的Fa. raw也 7016配區(qū)潮0. M8S0. 62T70, SBI7D. 501.40.17350白萬隼曾蒯丁仃F有二在注丁A A的時燈拓力找甲士依-擇3g10111 二13MISieFM>.QSS10. 9313PMMr 9mW會-1.2 SOT