初中七年級數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練(奧數(shù))專題12數(shù)余的擴充

1、初中七年級數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（奧數(shù)）專題12 數(shù)余的擴充實數(shù)的概念與性質(zhì)閱讀與思考人類對數(shù)的認識是在生活中不斷加深和發(fā)展的。數(shù)系的每一次擴張都源于實際生活的需要，在非負 有理數(shù)知識的基礎(chǔ)上引進負數(shù)，數(shù)系發(fā)展到有理數(shù)，這是數(shù)系的第一次擴張；但隨著人類對數(shù)的認識不 斷加深和發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中確實存在不同于有理數(shù)的數(shù)一一無理數(shù)。在引人無理數(shù)的概念后， 數(shù)系發(fā)展到實數(shù)，這是數(shù)系的第二次擴張.理篇無理數(shù)是學(xué)好實數(shù)的關(guān)鍵，為此應(yīng)注意：1 .把握無理數(shù)的定義：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分數(shù)9的形式（這里p, q是互質(zhì)的P整數(shù)，且p W0）;2 .掌握無理數(shù)的表現(xiàn)形式：無限不循環(huán)小數(shù)，與 n相關(guān)的數(shù)，開

2、方開不盡得到的數(shù)等；3 .有理數(shù)對加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)；無理數(shù) 對四則運算不具有封閉性，即兩個無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù)；4 .明確無理數(shù)的真實性.克菜因認為：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作，音樂能激發(fā)或撫慰情 懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以 上的一切.”想一想：下列說法是否正確？帶根號的數(shù)是無理數(shù)；兩個無理數(shù)的和、差、積、商一定還是無理數(shù)；一個無理數(shù)乘以一個有理數(shù)，一定得無理數(shù)；一個無理數(shù)的平方一定是有理數(shù) .例題與求解【例1】已知a 2 （b 4）2

3、Ja b 2c 0,則（ac）b的平方根是.（湖南省長沙市“學(xué)用杯”競賽試題）解題思路：運用式子的非負性，求出 a, b, c的值.【例2】若a, b是實數(shù)，且a2 b 1 0, 2 2b 0,求出b = 1 .代入原式中可得 a = 2. 由算術(shù)平方根的定義可得到算術(shù)平方根的雙非負性：7a中a 0； Ja 0.運用算術(shù)平方根的雙非負性是挖掘隱含條件的常用方法【例3】已知實數(shù)m, n, p滿足等式m199n J199 m n 4r3m5n2p v2m3n p ,求 p 的值.(北京市競賽試題)解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)(m 199 n), (199 m n)互為相反數(shù)，由算術(shù)平方根定義、性質(zhì)探尋解 題

4、的切入點.【例4】已知a, b是有理數(shù)，且(1 )a (-)b 21 19.3 。，求a , b的值.32412420解題思路：把原等式整理成有理數(shù)與無理數(shù)兩部分，運用實數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于a , b的方程組.實數(shù)有以下常用性質(zhì)：若a , b都是有理數(shù)，Cc為無理數(shù)，且a bVc 0 ,則a = b =0；若a , b , c , d都是有理數(shù)， JC ,品為無理數(shù)，且“ a JC b Jd ,則a = b , c d .要證一個數(shù)是有理數(shù)，常證這個數(shù)能表示成幾個有理數(shù)的和、差、積、商的形式；要證一個數(shù)是無 理數(shù)，常用反證法，即假設(shè)這個數(shù)為有理數(shù)，設(shè)法推出矛盾 想一想怎樣證明72是無理數(shù)？【例5】

5、一個問題的探究問題：設(shè)實數(shù)x, y , z滿足xyzw。.且x y z 0 .一 111111求證：2!22 xyzxyz在上述問題的基礎(chǔ)上，通過特殊化、一般化，我們可編擬出下面兩個問題：111(1)設(shè)a, b , c為兩兩不相等的有理數(shù)， 求證：I2 2 2為有理數(shù).,(a b)2 (b c)2(c a)2設(shè)S 1 1212221 20082120092 求S的整數(shù)部分解題思路：從公式（a b c）2 a2 b2 c2 2（ab bc ac）入手.1111c【例 6】設(shè) S112 ,S21-22, S31222223211Q 1_， n2/ 八2，n (n 1)求vS 怎tSn的值（用含n的

6、代數(shù)式表示,其中 n為正整數(shù)）（四川省成都市中考試題）解題思路：解答此題的關(guān)鍵是將 Sn變形為一個代數(shù)式的平臺。能力訓(xùn)練A級r-r-o r 1 、1 .在實數(shù)一4, 73, 0, 42 1, V64 ,劃27 ,力中，共有 個無理數(shù).（貴州省貴陽市中考試題）3232.設(shè)a 3/3, b是a的小數(shù)部分，則（b 2）的值為.（2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）3.已知 a 4 3b 92.2.,則2Hk的值為（山東省濟南市中考試題）4.觀察下列各式：J1123412311 ,V234522321,*345632331,(A B):(A B) (2x y): (x y)猜測：V1 2005 2006

7、2007 2008 （遼寧省大連市中考試題）5.已知有理數(shù) A, B, x, y滿足AB 0, (A B):(AB)(2x y): (x y),那么A. 3x:(2x y) B. 3x:(4x 2y)C. x:(x y)D. 2x:(2x y)（2013年“實中杯”數(shù)學(xué)競賽試題）6 .若x, y為實數(shù)，且x 2 7 y 20 ,則(？)2009的值為(yA. 1B. - 1C. 2D. -2)（天津市中考試題）7 . 一個自然數(shù)的算術(shù)平方根為2A. aB. aa,則和這個自然數(shù)相鄰的下一個自然數(shù)是（1C. 4a1D. Va 1)（山東省濰坊市中考試題）8 .若 x 1布x （x y）2 ,則x

8、 y的值為（)A. 1B. 1C. 2D. 3（湖北省荊門市中考試題）9.已知xa bm是m的立方根，而yVb 6是x的相反數(shù)，且m 3a和的立方根.（廣西競賽試題）10 .計算：1111 222 .Y 2n個1n個211.若a,b滿足34G 5b 7,求S 2A 3 b的取值范圍.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）B 級21. x與y互為相反數(shù)，且 x y 3 .那么x 2xy 1的值為（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）2 .若2x 1 4x 128 ,則x的值為（海南省競賽試題）3.已知實數(shù)a滿足2004 a aa22005 a ,則 a 2004 =4. 5的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為則G5 a） b的值為（

9、廣東省競賽試題）5.已知非零實數(shù)b滿足2a 4.2. 一3)b4 2a ,則 ab等于（）.B. 0C.D. 2（“數(shù)學(xué)周報杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）6.已知a . 2,6C的大小關(guān)系是（）.A.a b c7.已知：1 aaB. a c bF ，一，11 ,那么代數(shù)式,C.bacD.b c a的值為（）.5A .2B.C.75D.（重慶市競賽試題）8 .下面有3個結(jié)論：存在兩個不同的無理數(shù)，它們的差是整數(shù)；存在兩個不同的無理數(shù)，它們的積是整數(shù)；存在兩個不同的非整數(shù)的有理數(shù)，它們的和與商都是整數(shù)其中，正確的結(jié)論有（）個.A.0B. 1C. 2D.（江蘇省競賽試題）a的和.9 .已知va2 2005是整數(shù)，求所有滿足條件的正整數(shù)(CASIO杯”武漢市競賽試題）