二次函數(shù)根的分布專題

1、一元二次方程根的分布專題一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容。 這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及, 但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達 定理)的運用。下面我們將主要結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分兩種情況系統(tǒng)地介紹一元二次 方程實根分布的充要條件及其運用。.一元二次方程根的基本分布一一零分布所謂一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相對于零的關(guān)系。比如二次方程有一正 根，有一負根，其實就是指這個二次方程一個根比零大，一個根比零小，或者說，這兩個根 分布在零的兩側(cè)。設(shè)一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的兩個不等實根為x1 , x22-b 4a

2、c 0方程有兩個不等正根x1 Q x2 0 x1 x2b 0ac cx1x20a方程兩根一正一負：x1 0 x2,則£ 0 a .2_b 4ac 0方程有兩個不等負根：xi 0, x2 0 xi x2- 0ac 八x1x20a即時應(yīng)用：2(1)若一元二次方程1)x2(m 1)x m 0有兩個不等正根，求m的取值范圍(2) k在何范圍內(nèi)取值,元二次方程 kx23kx k 3 0有一個正根和一個負根?二、一元二次方程的非零分布一一k分布設(shè)一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的兩不等實根為x1, x2 , k為常數(shù)。則一元二次方 程根的k分布(即"，x2相對于k的位置)如下

3、表所示：根的分布 x1 < x2 < kD k < x< < x2D x1 < k < x2圖象充要條件 根的分布b<2af (k)>? b、 j - > k 2 2a?f (k)> 0 k1 < x1 < x2 < k2 k1V x1 < k2 < x2 < k3兩根有且僅有一根在(Kk)內(nèi)圖象充要條件D > 0 f(ki)> 0 f(k2)> 0的 V/Vf K或K2Vb2aVK=0b < k1 + k22a 2/(f?f*2)= 0或?ki+ k2 一.<

4、-< k? 2 2a即時應(yīng)用：(1)若方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0的兩根都大于1,則求m的取值范圍. 方程x2+2px+1=0有一個根大于1, 一個根小于1,求p的取值范圍.二、典型例題2例 1 若一元二次方程kx (2k 1)x k 3 0有一根為零，則另一根是正根還是負根？例 2若方程x2(k 2)x 4 0有兩負根，求k 的取值范圍.例3.若關(guān)于x的方程x2 (k 2)x 2k 1 0的兩實根中，一根在0和1之間，另一根在1和2 之間，求實數(shù)k 的取值范圍例4.已知關(guān)于x的方程2x2 3x 2m 3 0的兩根都在1, 1 上.求實數(shù)m的取值范圍.例5.方程mX+2(m+

5、1)x+m+3=0C有一個負根，求 m的取值范圍拓展提升：已知集合Ax2 (2 a)x 1 0 ,若 A x Rx 0 ,求a的取值范圍一元二次方程根的分布鞏固作業(yè)1.對于二次函數(shù)y22x 8x ,下列結(jié)論正確的是(A.當x 2時，y有最大值8 B.當x2時，y有最大值8C.當x 2時，y有最小值8 D.當x2時，y有最小值 82 .二次函數(shù)y x2 ax 1在區(qū)間0 , 3上有最小值一八 10A. 2B. 4C.33 .設(shè)函數(shù)f(x) 2x2 3ax 2a(x,a R)的最小值為2,則實數(shù)a的值為()D. 2m (a),當m (a)有最大值時a的值為(A.4 .函數(shù)A.43 f(x) 3,5

6、 .設(shè)二次函數(shù)A.正數(shù)2ax0f (x)2(a8. 343)x 1在區(qū)間B.2x,3a, 若 f(C.2,C.89上遞減,3,0m)0,則 f(mD. 98則實數(shù)a的取值范圍是(D. -2, 0D的值為()C.正、負不定，與6 .已知x1,x2是方程x( )m有關(guān)(k2)xA. 19B. 187 .設(shè)函數(shù) f(x) ax2 bx c(aB.D.(k2 3kC.負數(shù)正、負不定，與 a有關(guān)5) 0 (k5590),對任意實數(shù)t為實數(shù))的兩實數(shù)根，則D.不存在都有 f(2 t) f (2x2x2的最大值為t)成立，則函數(shù)值f(A. f(-1)B. fC. f(2)D. f(5)8. 一兀二次方程x2，2(a 1)x (a 2) 0的一根比1大，另一根比一1小，則實數(shù)a的取值范圍是 一9.函數(shù)f (x)2axax 1,若f(x) 0在R上恒成立，則a的取值范圍是1), f(1), f (2), f(5)中，最小的一個不可能是(10 .函數(shù)f xax2 2ax 2 b a 0在2,3上有最大值5和最小值2,求a,b的值。11 . (1)方程x2- 2ax + 4 = 0的兩根均大于1,求實數(shù)a的范圍.(2)方程x2- 2ax + 4 = 0的兩根一者大于1