二次函數(shù)與方程根的討論

1、二次函數(shù)與方程根的討論函數(shù)與方程的思想，是數(shù)學高考考查的熱點，也最能反映學生的綜合素質(zhì)，有利于發(fā)展學 生的創(chuàng)新思維能力。二次函數(shù)與方程的根的討論也貫穿于函數(shù)問題考查的始終。1 .已知含參數(shù)的一元二次方程的根在某區(qū)間，求參數(shù)范圍，可借助二次函數(shù)的圖像。設(shè) f(x)=ax2+bx+c (a>0),方程 ax2+bx+c = 0 的兩根為 a, P(o( < P) , m, n 為常數(shù)且n < m。a, P分居兩區(qū)間時，只需考慮端點函數(shù)值符號。如：a w (00,m) , Pw(m, +8)= f(m)<0第3頁共3頁Pw(m, +8)u f (n) < 0且 f (m

2、) < 0a, P位于同一區(qū)間時，不但要考慮端點函數(shù)值符號，還要考慮之0及-2的范圍。2af(m) >0如:，I；二(m,二)二m2a=b2 -4ac 一 0f (m) > 0f (n) >0，口,Bw(n,m),仁 <A = b2_4ac2bn < 一一 < m2af(n) >0b% P 匚(-°0,n)=< n,2a:=b2 - 4ac - 02 .確定方程的實根個數(shù)或?qū)嵏秶?，注意?shù)形結(jié)合，往往起到事半功倍的效果。22例1：已知關(guān)于x的萬程(1 -m )x +2mx1 =0的根在區(qū)間0, 1內(nèi)，求實數(shù)m的取 值范圍。分析：函

3、數(shù)與方程的有機統(tǒng)一是解決本題的關(guān)鍵，而數(shù)形結(jié)合思想的應用則是解決本題的突破口。解：本題是含有字母 m的方程，可能是一次方程，也可能是二次方程，對m討論如下:當1 m2 =0,即m = ±1時，原式為一次方程。1 m =1 時，x = 2 = 0, 1,二 m = 1 是解(m = 1 舍去)。1 _m2 #0時，原式為二次方程。，22、 =4m +4(1-m )=4>0,則萬程有兩個不等的實根，以下的解法有兩種:、，一、一，11方法一： 原方程根為：x1 =, x2 =m 1 m -110 < <1 xW0, 1,. m m +1解得 m 之210 一 _1m -

4、1由、知 m的取值范圍為 m之2或m = 1。方法二：0 >0 ,結(jié)合二次函數(shù)圖象使其兩根在0, 1內(nèi),分圖象開口向上、向下兩種情況加以研究。L 21 - m > 0f (0)至 0當開口向上時：4 f (1) > 0cb d0 < 一<1L2a當x=0代入方程，有f(0) = 1 <0與f (0)之0矛盾,，此種情況不成立。當開口向下時:*2_1 - m <0f (0) < 04 f (1) <0b2a得 m >2 o例2:已知二次函數(shù)f (x) = ax2 + bx +1(a,bw R,a >0),設(shè)方程 “*)=*的兩個實

5、由、知m之2或m =1。數(shù)根為x1和x2。如果x1 <2 <x2 <4,設(shè)函數(shù)f ( x)的對稱軸為x = x0 ,求證：x0如果Xi <2, X2 Xi =2,求b的取值范圍。分析：本題主要考查函數(shù)與方程的思想，利用數(shù)形結(jié)合考查根的分布等綜合運用所學知識的能力。2解：設(shè) g(x) = f(x)x =ax +(b1)x+1 (a>0)由條件 x1 <2 < x2 <4得，g(2)<0, g(4) > 04a 2b -1 :二 016a 4b -3 03一 ，1八4a ： b ： 2a423 11顯然必有3 -4a <-2a，得a

6、>,4 283b1b1+ (-2a)得：4 -一 > >1 -，故x0= >1 - A1,結(jié)論成立。1-x2 => 0 , . . x1, x2 同號a8a2a4a2a4a由方程 g(x) =ax2+(b1)x+1 =0可得 x110若0<x1<2,同x2x1=2 (負根舍去)二 x2 =x1 +2>2 二 g(2) <0,即 4a +2b-1< 0又(x2 -x1)2 =91)4 = 4, a a: 2a +1 = J(b-1)2 +1(. a >0,負根舍去)代入式可得，2J(b -1)2 +1 <3-2b解得b c1。420 若2 < x1 < 0 ,則 x2 =x1 2 < -2 (正根舍去)二 g(-2) <0 ,即 4a -2b +3 <0 ,又2a +1 = J(b