概率論與數理統(tǒng)計龍永紅習題答案

1、本文檔為精品文檔，如對你有幫助請卜.栽支持，如有問題請及時溝通，謝謝支持!第一章1.(1)4=(口),(1,2)(1,3).(6,6)(2) =xx, <x<x2%:當日最低價 當日最高價(3) 4 =0,1,23(4) 4 =1,2,3,2. (1) (3)3. % = 1,234,5,64. (5) ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC(8) ABC + ABC + ABC + ABC(10) AB + BC + AB(11) A + B + C9. P(A-B) = P(A-AB) = P(A)-P(AB) = 0.25又 P(A)

2、= 0.4 P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)丁 P(B A) = P(B AB) P(AB) = P(A U B) = 1-P(A U B)10. v P(A + B + C) = 1 - P(ABC)而 P(A) = 1-P(A) = 1-0.4 = 0.6又 P(A) = P(AB + AB)又 AB = ABC + ABC11. A= "其中恰有K件”Kn-k©/. P(A)= % 尸B二 "其中有次品”B= "一件次品也沒有”C= "其中至少有兩件次品”c= "只有一件次品，或沒有”12. :A=

3、"男生比女生先到?！盉二 ”李明比王先到學校”13. C= "至少兩人生日同一天”C= "每個人生各不同”14. 人=“第2站停車”A= “不停車”B= "第i和第J站至少有一站停車方="第i站到J站都不?！?= "第i站有人下車（停車）"A,= "第j站有人下車”D= "在第i站有3人下車”產（0Y 夕（療（貝努里試驗）15. （1） A= "前兩個郵筒沒有信”（2） B= “第一個郵筒恰有一封信”16. A= "前1次中恰好有取到k封信”17. A = "第三把鑰匙可以開

4、門"A,= "第二把鑰匙可以開門” p（ 4）=尸（A 4 &+A 4 4 + A 4 4 + A 4 A）A = "第三把鑰匙才可以開門”c= "最多試3把就可以開門”18 .貝努里試驗A=”其中三次是正面”19 .A= "恰有一紅球，一白球，一黑球”20 .尸/32.2.2=史 13!13!21 .幾何概型A= "等待時間不超過3分鐘”X到達汽車站的時間22 . A= "需要等零出碼頭的概率”x_第1條船到達時刻第2條船到達時刻23 . A= "第一次取出的是黑球”B= "第二次取出的是黑球”

5、4 (4 1)P =SB) =+=”1尸(A) a a + b-1a + b(2)P(A|3)=P(AB) P(B)=aa-1a + b。+ 6-1= "1aa-Ib a a+b-l+-a + b a + b-1 a + b a+ b-l19（3） A= "取出兩個球，有一個是黑球" B= "兩個都是黑球”24.(1) P(BA)=P(AB)P(A)（2） P （B1 + BJA） =PA"） = P（砥）1 JP （A）P （A）25. （1）之=（男，男），（男，女）（女，男）（女，女）A= ”已知一個是女孩，” =（男，女）（女，男）（女

6、，女）C= "兩上都是女孩” =（女，女）(2)解略 P (AJA) =14= "第i個是女孩”226. A= "點數為4”27. A= “甲抽難簽" B= “乙抽難簽" C= “丙抽難簽” =10 P(AB) = P(A) - P(B A) P(ABC) = P(A) PC(BA)- P(AB)28. A= "試驗成功，取到紅球”B0= “從第二個盒子中取到紅球”與二”從第三個盒子中取到紅球”29. A= “廢品" Bl= “甲箱廢品"B,= “乙箱廢品”(1) P(A) = P(AB + AB2)(2) P(A

7、) =3000x0.06 + 2400x0.05 30x100 + 20x12030、 5,= "第二次取球中有1個新球”i=0. 1,2,34= "第一次取球中有j個新球“ j=o23(1)尸(約)=P(B2Aq + 52Al + 62A2 + B2AJJ J號尸陽4)二足裊J = 0,1,2,3J = 0,l,2,3分別對應代入該式中，可得:(2)P(4 怛 2)=P(462)_P(A)P(8A)P(區(qū))ZW將，代入該式，可得：31、 A= "確實患有艾滋病”B= "檢測結果呈陽性”由題知：尸(44) = 0.950(6 %) = 0.01P(A)

8、= 0.0012緲)=誕=3郵)P(B) 尸(A). p(即A) + p(A). p(BA)c二 "高感染群體確實患有艾滋病”32. 解：不能說明“襲擊者確為白人的概率”為0.8設 A= "被襲擊者正確識別襲擊者種族”A= "錯誤識別襲擊者種族”B= "襲擊者為白人”8= "襲擊者為非白人”根據已知條件，有因P(BA)與玖率)未給出，因而不能斷定33. 解：P(A) = P(B) = P(C) = - P(AB) = P(BC) = P(AC) = L 2A民。兩兩獨立，又 P(ABC)=豐 P(A)P(B)P(C)=- 48.46,C不相互獨

9、立，只是兩兩獨立。34. P(A) = 0= 2 有 p(AB) = 0 = P(A)P(B) .A,8獨立P(4) = l VBqO 有才與8獨立 .A6獨立35. P(A)>0且 P(B)0且A, B互不相容則A, B不可能相互獨立因為 P(A5) = (0) = 0 但因為 P(A)>0 P(5)036. A, B, C相互獨立，證明 豆旦C亦相互獨立證：P (ABC) =P (A) P (B) P (C) JLP (AB) =P (A) P (B)則 P (AB) =P (AUB) = 1-P (A + 6)同理可證 P(AC) = P(A)P(C) P(BC) = P(B

10、)P(C)下證 P(ABC)=尸(A + B + C) = 1 - P(4 + 5 + C)相互獨立37. 證略，可用數學歸納法38. a= "第一道工序出品”B= "第二道工序出廢品” c= "第三道工序出廢品”39. A= "雷達失靈”B= ”計算機失靈”P(AB)=尸(才)x P(豆)(因為獨立)40. B= "擊落”A, B, C分別代表三收炮彈Aj =，發(fā)炮彈擊中敵機，=1,2,3習題二(A)1 .解：X:甲投擲一次后的賭本。Y：乙2 .解(1)(2 )3 .解4 .解C1 7(1 ) X:有放回情形下的抽取次數。P (取到正品)=二

11、一 C。io3P (取到次品)=(2 ) Y:無放回情形下。5 .解6 .解(1)根據分布函數的性質(2)尸(0.5 <X <0.8) = F(0.8)-尸(0.5) = 0.82 -0.52 =0.397 .解：依據分布滿足的性質進行判斷： (1 ) -8VXV+S單調性：£ <三二> 尸(七)< 尸(0).在0cx <*0時不滿足。(2) 0<X<4-oO,不滿足單調性。(3 ) -oo <x<Ot滿足單調性，定義尸(x) = ,£三，一 8<X<0是可以做分布函數 6,0 < X <0

12、0的.所以，/能做分布函數。1 +廣8解(1 ) F (x)在x=0,x=l處連續(xù)，所以X是連續(xù)型。(2 ) F (x)在x=0處連續(xù)，但在X= 1處間斷，所以X不是連續(xù)型。9解：(1 )i )求a,由 iii)ii ) F(x) = P(X- -V)當 x<0, F(x) = fJ-當 x20, F(x)=，o1<2 1Y2+所以F(x) =1rc-e , x <0 2x>0 2iii)(2) i )求 a:ii ) F(x) = P(X <x)=f(x)dx J-XX<0,F(X)=0.0WXV1, F (a) = xdx = x21 WxV2, , F

13、(x) = xdx +(2 - x)dx = g X>2,F(x)=l.所以：尸(x) =0,1 22x- - x2 -1,21,0<x<l1 <x<2x>2P(-l<X<) = l.()2-0 = lP(<x<V2) = 2xV2-i«(V2)2-l-1=2V2-P(X>1) =1-1-(12) = j ,10.= 1,因 f(x)關于 X=U 對稱=> /(H -x) = f(ll + x)J-X=> /(2w -x) = f(ii + (11- x)= f(ii - (t( - x) = /(x)下面

14、證明L* /(yMy =J(z)dz,令 z+y =2u=>y=2u-z=/(2h- z)dz =/a (由式有 f(2u-z)=f(z) Ju-xJm-x又 f /(Z)dz+/(Z)dz=/(z)dz = l,由于式 J-8Jlt-XJ-OC11 .解(1 )第 2 題(2 )：(2 )第3題：由分布律得：12 .解：ER=1%XO. 1+2% X0. in-+6%X0. 1=3. 7%,若投資額為10萬元，則預期收入為10X (1+3. 7%) =10. 37 (萬元)DR=ER：-(ER)：=15. 7X10-L 7),Xl()-=2. 01X10-1ER：=(1%)：XO. 1

15、+(2%)2XO. 1+(3%)2XO. 2+(4%)：X0. 3+(5%)：X0. 2+(6%)：X0. 1 =10"+4X 10-5+18X 10-5+48X 10"+50X lO+SGX 10"=15.7X10-13 .解：題意不清晰，條件不足，未給出分期期類.解一.設現在擁用Y,收益率k時假設現在至1100時僅一期，則“ 1100-Y 1100 t vK% =1=>Y =1100三10011100EY = Jupp1.051100= 22000111 )4100/ = 22000x1111.05 1073.4 元71.05解二，由于0WxW5題意是否

16、為五期呢？由貼現公式1100-Y 一 11005K%=>Y =1 + 5K%<x）=/；a>2o（-1）14 .證明：E(X-EX)215 .證明：(2.31)(2.32)L (C)=E(X-C)2=E16 .連續(xù)型。普照物"50 -Th2.3證明過程Eh(x) = f(x)dx = £(心N 屋 + (y, h(x)fxdx >，以 J?(x)/*Xr> 52 ff (x)dx = s2.p(h(x) > £2)Jh(x)>£-于是有附a） n屋«牛"（*）將h（x）二（x-ex）2代入（*

17、）得卜«生二等2 ="（證畢）. £ £離散型。于是（七）之一包冬 同理將h （x）二（x-EX）2代入得p（|x 上目5）! £ £17.解:設 P 表示能出廠。P=0. 7+0. 3X0. 8=0. 94q表示不能出廠。0=0. 3X0. 2=0. 06（DXb （n, 0. 94） X:能出廠數P（X 二心二。：（0.94尸（0.06尸(2) P (X=n) = C； (0.94/ (0.06)"'" = (0. 94)R(3)Y-b(n,0. 06) Y:不能出廠數。1 -P (Y=0) -P (Y

18、=l) =1- C (0.06)1 (0.94),-1 - Cn° (0.06)°(0.94)n(4)EY=nX0. 06, DY=nX0. 06X0. 9418 .解19 .解：已知XP（4）EX=DX=A =1ex2=（ex）2+dx=2 2+A20 .解：P:等車時間不超過2mm的概率，X:等車時間 再會Y：等車時間不超過2分鐘的人數21 .解：設Y:利潤X:理賠保單如：Xb （8000, 0.01） Y=500X8000-40000X由 EX=np=8000X0.0k80EYM000000-40000 X 80=80000022 .解所以：F（x）= (1 ) X/

19、(X)=x>0x<0x>0x <0EX,DX推導見原習題解。23 .證明x>0Xe (2)>F(x) = <0,x<024 .解：設X:表示元件壽命，X e(-)1000Y:1000h不損壞的個數，當Y為2以上時系統(tǒng)壽命超過1000h, y仇3,p)P:1000h不損壞的概率。q = l- p = l-el,多元件獨立工作25 .解：XN(,b)26 .解n=100Y:誤差絕對值大于19.6的次數Yb(100, 0. 05)a 二P (Y23) =1-P (Y=0) -P(Y=1)-P (Y=2)用泊松分布近似計算：2=/ip = 100x0.0

20、5 = 5a=l-p(Y=O)-P (Y=1)-P(Y=2)27 .解：設c：損壞，則由題意：p(cx <200) = 0.1所以：P(C)=0.2119X0. 1+0. 5762X0. 01+0. 2119X0. 2=0. 06931 而由貝葉斯定理有：28 .解：設數學成績?yōu)椋篨, XN(70,100),由題意：即 lp(X <)= 5%n p(X < a) = 0.95”70=1.645103=70+10X1.645=86. 45 分令 Y=aX+B29 .30 .解：,ax + p < y <bx+ p ba-aa0,其它也即Y在aa + B,ba + B

21、上服從均勻分布。31.解：令丫=X X f (X)= <1-26尸 ，<- X <- 11 -0萬01 其他即:7 (3')=訴0 < y < 1其他o, y <0Jy即：6()') =號，0<y <1L y>i32 ,解:x>0x <0Y=ax+P33 .解：令 X:直徑f(x)-ib-a 0 其他4 YY：體積 X = -7t (-)33234 .解：一 VV=-e 2 -1 = 1-e 2 . (y > 0 )所以:dF (v)1 -所以： -l = fy(y)= e 2(y>0)ay2所以：所

22、以:丫#2(2)g(),)=人(y) = *M y>o o, y<o.35 .解Xe(2)所以：fx (x)=2e-", x>00, x <1 0G(x) =1-e'0,x>0x<036.解：由已知參考()知fx W =X0,x > 0x<0x> 0x<0當前價格X° = 10元。依據 Pci -eg2.311(In.v-“產/ /、 Jb九(#=后G0,x>0x<0b- =ln229ln225其中14 = ln225In 2292連續(xù)愛合年收益率i-liix-hix ° =lnx-l

23、n 10(Inx-廠所以：注：對數正態(tài)分布與對數正態(tài)分布的矩，包括中心矩，原點矩等，如EX, DX均不作要求 屬于超綱內容，Black-Scholes期權定價公式一般是作為研究經濟現象工具也屬于超綱內 容，因而本題不作要求。37 .證明：顯然當yWO時，尸(JT«y) = 0,所以 fY(y) = Oy>0 時，4(y)=p(X <)/) =f(x)dx（夏合函數求導方法）人"）=竽=嗎處=少/（歹）ayay所以：38 .解:X密度函數久,（x）, Y=ax+b1 y.bFY（y） = P（y <y）= p（aX+b<y）= p（X <fx （

24、x）dx , a 0a J-*1y b固當 a>0 時，fY （y） = - - fx （-） aa當 aV。時，/y（），）= L./x（T）aa習題三答案i.證明：F（&,y2）尸（占，%）一尸（占，%）+尸（占，yJ= P（X<x<X2，Hy«y2）之。由概率的非負性，知上式大于等于零，故得正.2.解：,0101/565/563/28110/5620/5615/28210/5610/565/143/85/81. PX = 0, X?工 0 = (1 - Px2 = 01 /=0)(演=o)3.解：由概率的性質又 J7 J 也(為 yHxdy = J r

25、 f 7k2eTfdxdy = lnk'=2143="，-"-"辦=叱3/ = 36-" x>0當 y>0 時 gx M=f dx =) x>Q當 x>0 時g"y)= j k2e-5x-4ydx = le-7yy>0r( I ,0<x<2,0< y <14.解： fy)=20,其他 /x(x)=f ；力=；0<x<2； /y(y)=0<y< 1?x(x)= b20py<x2=j J/ 、 f2f _fy 0<y<l其他；4()Ho"

26、; = fo其它J0 < x < v < 15./IM刃=jo其0,其它 ,V-V-1o<x<2, 1 < y <2 26' F(x,y) =-,0<x<2, y>22y-l,x>2, 1 < y < 2l,x>2, y >2 G(x,y)=px2 <x,Y2 <y = p- <X<討論如下：它J?其它 2 0<x<2,l<>-W&S <yy px VI, y= W ；dxdy = l/47.證明：PxL<X < x2 py

27、i<Y< y2 =(Fv)- Fx)Fy (y2)- Fy (>)=PxL<X < x2,y,<Y< r 故獨立得證.8.01P9 .解： pi)=p；pp&=匕=2p；p為: rH 1£ Pi 勺r10 .解：7=0442P2 P12',Pin21，22,，”2 由：獨立n P1P2,Pm/不小,/不小,Pml，Pm2，.，Pnut0，2,，12.證明：必要性:P2 Pl2，-，P"01，12，-一"八21，。22，.一，P2秩為1 =>21，22，一，2”Pnd，Pr2，. .，P mnPm，P，

28、2，.充分性，若本文檔為精品文檔，如對你有幫助請下載支持，如有問題請及時溝通，謝謝支持!= x2|y = yj = % b=%) = (x =b=%). = =xiy = %)=&=/卜=弘)=&=占卜=%)= (1=占卜=)'3)一=& 二七|)'=打) (x = x/y = %) = (x=x/y =乃)=(x=卜=居)從上式可得x與y獨立.13 .解: X2 + Bx + c = O,有實根的概率 B2 - 4c > 0,2力-4C>01911836 PB2 - 4C = 0= P2,1+ P4,4=14 .解：Ai y (a y)=女

29、,£ ( Ke-"T,' f3e- x>0當胃。時，如小，加彳二？ = o其它C3當 y(0時，/Vi|?. (x| y) = 0 x£(8,+8)當 xno時，/xM(y|x)=/；a,y)/&(x) = ( n ' - u,)' < u當 x0 時/Vi|ri(x|y)= 0 ooVyV + sI ”0時,)=鐺斗x"fy2 y) I 0 XY)，0 y y 4 x其它YVO 時，/小.(x,y) = 0 x = (-s,+8)當XM時，人人（如）=/式'%,（x）= f /a-4A）當 x<

30、o 時，/v小二（）3）=0, y =（一*+8）15 .解1.由 S(D)=4-l/2 = %2/7020得X與Y的聯(lián)合密度函數為/（X,），）=(x, y) e D其它本文檔為精品文檔，如對你有幫助請卜.栽支持，如有問題請及時溝通，謝謝支持!302.,(2/7由于 OWyWl 時，/(x,y)=0<x<y+l其它從而OWyWl 時,/,()，)=匚 /(x,y)aY =%dx = %(y + l)又0W3時，內人朽)'一："20 具匕從而 lyW3 時，4(y) = J2y)dx = Lh2/7i/x = I(3- y)；又當 YVO 時,Y>3 時,f

31、 (x, y)=O,從而 fy(y) =f(X,y)dx=O綜上得:2()，+ 1)/7 fv(y) = < 2(3 - >)/7 00 < y < 11 < y < 3其它此外，OWXW1 時，/(x, y)=% 0<y<x+l0 其它從而 0WXW1 時，fx (x) = r/(x, y)dx =%辦=5(X +1)當 1WXW2 時，內)=彳 X-1LX+1 U省c匕從而 iwxw2 時,o(x)=匚/(兀 J”，=；：%)' = % 當 XV0 或 x>2 時,f (x, y) =00<x<ll<x<

32、2其它從而 AW =0/。，y)dy =。2(x+l)/7綜上得：AU)= %016.證明:f(x9y) = < Yda Gx£b又(p (x) Yy y(x)其它故/小(對)')為均勻分布, 於“J巴*3又九二外力1Da <x<b其它17.解：/(X, )，) = f巾 6卜)<.(x)故 人i,(x，y)=/巾()忖/(工)J U f(x, y)dxisAW- /；()')故獨立g(x，V)Wgx(X)gy3不獨立19. f(y)fxMfy(y) 不獨立20.f(x)=0 YX Y1其它21 .若(x,y)服從二元正態(tài)分布，則因為/'

33、;(x)J(y)均無參數p，故可見，/(x,y)不能由/x(x)Jly)決定 尸+曠22 .解：2 (1 + sill x sill/x(x)/G)均服從正態(tài)分布，但是/(x,y)不服從正態(tài)分布.23.401234p771/904/914/920-10-2p3/92/91/92/91/901234-2-1012001/90001/901/901/901/901/901/901/90001/9001/92/93/92/91/91/92/93/92/91/9124.234567891011121/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/3625 .證明:當

34、n=2 時，PXx+X2=k= PXx = /X2 =k-i i=0=m)/+&), k=o, i, 2,kn-l- 1由數學歸納法，設對n-l成立，即£Xj服從參數為£4的泊松分布，因為Xn服從參數為<=1r=lTn-l人的泊松分布，故工乂, + 乂服從參數為£4 +4的泊松分布，即對口成立. /=1»=i26./ X . > 0力(%)= n n 尸 12，z=x1+x?0 xz < 0,Z>0 時，f o, z<0所以上二九七力/匹，z>。27 .由題意知XiN(4,3), XrN(2,l).且兩者相互獨

35、立.人/日 XI+X,由 Xi=X+Y, X，=X-Y 得 X=-2乜工丫 EX1 + EX. 4 + 2 2故 EX =322EY尸一 EX： 1 22故 XN(3,1),YN(L1)1即fx ( r)=力乃e 2，V V,丫=仝上，且X和Y服從正態(tài)分布2DY = -DX1 + -DX. =144-GT)，28 .用數學歸納法進行推廣，與25題類似.XrN( / i,of),i=l,2n.29 .f(x,y) = < 29 a'y)£G 0 (x, y) g G 當0Vz<2時，z <00<z<2z > 22o <- 2<-z

36、 > z < zoo 1 - 41 -z2當 z>2 時，Fz(z) = l-1 z故Fz(z) = .1-1Z30.=0X0. 6+0. 4 X 1+(-1) =0.4X0. 4+0X0. 2+131 由題意、知 fx (x) =l<x<2,其它o/ 粒 4(%fy(y) =14”2,其它所以:32 .證明:P(X=a： ,Y=b ,尸Pi,j=l,2P(X=aj=Pz.P(Y=bj)=P .Fl,233.34.因為可以看成是9重見利試驗，EX=np=9Y0121920P35.參考課本P84的證明過程.36.Cov(xi, x：)=E Xi Xz-Exi X E

37、x：_ 15_35 35 28 56 28=_ 15224x>0,y>0其它所以:因為/(x, y) = fx - A 00，所以x，y獨立.故 yj = EXZ EXZ = 038. Xl = X + Y,DXl = DX+ DY + 2cov(X,Y)cov(X1?K!) =DXDX-DY 3-1-1因為Xi,與獨立。所以 Cov(Xi,Yi)=0(也可以計算：Cov(XbYir Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X.X-Y)+Cov(YX-Y)=Cov(X.X)-Cov(X,Y)-rCov(y,x)-Cov(Y,y)=1+1 =0)2 2所以：f(.x,y)fx(x)fyly

38、所以：x,y不獨立。cov(x, y) _ EXY EX EY =px'y /dx/dy -/dx/dycovQ/小)阿匹 V16.V9 22o i no當x = ±時，。最小為9一二=13 里1313當 13/-6x<(M,即 0 W x <5時，D,伊 < nmi( DrDlB)42 .解設投資組合的收益率為1，則D。=+ 2xQt)皿可- PAB + (1 XT Db 熱口 + (l-x)2 Dh-(1-x)2 DbPa；當 x=l 時，Dp = Da>0X。見寸，同| Hi以/< L 即一夕 j > 0,由Db > 0得Dp

39、之(1 xf DbQ 一夕%)> 0所以，對任意X,有DpO,所以，任意組合P都有風險。若|0=L當時設投資組合中數為X,則即.Fl J - X =_ - 77 yH yA此時Dp =0當夕八8 二一3寸，Dp = x2Da +(1-x)- Dr - 2x(1- x)y/DyD選投資組合中權數x,使得x= 72Z_ , 1_x= MDp = oRd. +DbDa +Dr不賣座即OVxVl,能在OVxVl上得到比證券A和B的風險都小的投資組合,意味著Dp 的最小值在OVxVI達到。8=°由黑= 2xDa 2，）5 + （2 4、）屬回回所以Dr -"。八Db Pab與 十 5 - J% Pab所以Da + Db-2yDyDpAH = DA + D/i-2yDyD + 2DyD(l-pAli)故為使0<xVl則解得：Pab V河且F則上述等價于。"世則上述等價于。羽將綜上:J°A當pAB < -皿恐，唯)時，可在不賣座的情況下獲得比Da和Db都小的風險投資組合。43 . Er=O. 1 X (-3%)+1% X 0. 105+2% X 0. 175+3% X 0.