函數的傅里葉級數展開ppt課件

1、第一節(jié)函數的傅里葉級數展開第一節(jié)函數的傅里葉級數展開 前面所研究的冪級數是前面所研究的冪級數是18世紀初英國數學家泰勒世紀初英國數學家泰勒建立的，在分析學中，函數的泰勒展開起著很重建立的，在分析學中，函數的泰勒展開起著很重要的作用，但是它對函數的要求很高，而且只能要的作用，但是它對函數的要求很高，而且只能作局部逼近。作局部逼近。19世紀法國數學家傅里葉研究熱傳世紀法國數學家傅里葉研究熱傳導方程時建立了把函數展為三角級數的方法，其導方程時建立了把函數展為三角級數的方法，其要求為函數黎曼可積或在反常積分意義下絕對可要求為函數黎曼可積或在反常積分意義下絕對可積，并且它可以整體逼近函數。積，并且它可以

2、整體逼近函數。一、傅里葉級數的引進一、傅里葉級數的引進在聲學、光學、熱力學中有非常重要的作用在聲學、光學、熱力學中有非常重要的作用在偏微分方程的研究中有著非常重要的應用在偏微分方程的研究中有著非常重要的應用物理學中最簡單的波物理學中最簡單的波_諧波諧波sin()At _,_,_.A振幅角頻率初相位振幅角頻率初相位在電子信號處理技術中常見的方波在電子信號處理技術中常見的方波,鋸齒波鋸齒波,三角三角波等波等,它們的合成和分解都大量用到三角級數它們的合成和分解都大量用到三角級數.非正弦周期函數非正弦周期函數:矩形波矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(當當當當不同頻率正弦波逐個疊加不同頻率正

3、弦波逐個疊加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt tusin4 )3sin31(sin4ttu )5sin513sin31(sin4tttu )7sin715sin513sin31(sin4ttttu )7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu)0,( tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 01( )sin()nnnf xAAn x若若有有 一般地，一般地，01(cossin)nnnAan xbn x ( )()f xFourier稱稱右右端端級級數數為為所所確確定定的的傅傅里里葉葉級級數數(1)什什

4、么么條條件件下下可可以以把把一一個個周周期期函函數數展展開開為為傅傅里里葉葉級級數數？(2)如如何何展展開開？問題：問題： 10)sin()(nnntnAAtf1.1.三角級數三角級數 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb ,xt 三角級數三角級數2.2.三角函數系的正交性三角函數系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.)2 , 0,2:上的積分等于零上的積分等于零或或（通常取為（通常取為度為度為任意兩個不同函數在長任意兩個不同函

5、數在長正交正交 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函數系三角函數系, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos nmnmnxdxmx. 0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中1.1.傅里葉系數傅里葉系數01( )(cossin),2( )kkkaf xakxbkx 若若有有且且右右端端級級數數一一致致收收斂斂于于f f x x.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk )sincos(2)(10 ,220 a01( )af x dx.)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxb

6、nxdxkxaknk nxdxan2cos, na nxdxxfancos)(1), 3 , 2 , 1( n.)3(nb求求 nxdxxfbnsin)(1), 3 , 2 , 1( n nxdxanxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxaknk, nb ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或或傅里葉系數傅里葉系數傅里葉級數傅里葉級數 10)sincos(2nn

7、nnxbnxaa問題問題: : 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf條件條件四四. .傅里葉級數的收斂判別法傅里葉級數的收斂判別法 ( (1 1) ) 當當x是是)(xf的的連連續(xù)續(xù)點點時時, ,級級數數收收斂斂于于)(xf; ;( (2 2) ) 當當x是是)(xf的的間間斷斷點點時時, , 收收斂斂于于2)0()0( xfxf; ;則則f(x)f(x)的傅里葉級數在的傅里葉級數在x x點收斂點收斂, ,并且并且都存在都存在xxfxxfxxfxxfxx )0()(lim,)0()(lim00注注: :函數展開成傅里葉級數的條件比展開成函數展開成傅里葉級數的條件比展開成冪級數的

8、條件低的多冪級數的條件低的多.01Fourier:(1)f(x),(cossin)2(3)nnnaanxbnx nnnn1.1.把周期函數展為級數步驟把周期函數展為級數步驟找出的間斷點 求出收斂于?找出的間斷點 求出收斂于?(2)(2)按公式算出a ,b ,寫出Fourier級數按公式算出a ,b ,寫出Fourier級數根據逐點收斂定理指出級數的收斂情況根據逐點收斂定理指出級數的收斂情況例例 1 在在為為上展開函數上展開函數xxf )(, 傅立葉級數傅立葉級數. 例例 2 以以 2為周期的矩形脈沖的波形為周期的矩形脈沖的波形 0,0,)(tEtEtumm 將其展開為傅立葉級數將其展開為傅立葉

9、級數. ntdttuancos)(1), 2 , 1 , 0(0 n ntdttubnsin)(1 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm ntdttuancos)(1 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm), 2 , 1 , 0(0 n ntdttuancos)(1 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm ntdttubnsin)(1), 2 , 1 , 0(0 n ntdttuancos)(1 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm),

10、2 , 1 , 0(0 n ntdttuancos)(1 ntdttubnsin)(1), 2 , 1 , 0(0 n ntdttuancos)(1 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm ntdttubnsin)(1), 2 , 1 , 0(0 n ntdttuancos)(1), 2 , 1 , 0(0 n ntdttuancos)(1 ntdttubnsin)(1), 2 , 1 , 0(0 n ntdttuancos)(1 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm ntdttubnsin)(1), 2 , 1 ,

11、 0(0 n ntdttuancos)(1otumEmE otumEmE 和函數圖象為和函數圖象為所求函數的傅氏展開式為所求函數的傅氏展開式為 1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2, 0;( tt例例 3 在在為為上展開函數上展開函數xxf )(2 , 0 傅立葉級數傅立葉級數. 22000112 , cos0naxdxaxxdx 解：解：2012 sinnbxnxdxn 11222 02 0 2( ) sinsinsin,f xxxkxkxxx該函數傅里葉級數圖形？該函數傅里葉級數圖形？ 11sin202kxkxkx 作業(yè)：作業(yè)：P126 2; 3; 5; 6; 例例 4 4

12、 將函數將函數)0(1)( xxxf分別展開成分別展開成正弦級數和余弦級數正弦級數和余弦級數. . 解解(1)(1)求正弦級數求正弦級數. .,)(進行奇延拓進行奇延拓對對xf 0sin)(2nxdxxfbn正弦級數和余弦級數正弦級數和余弦級數 , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn當當當當3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x(2)(2)求余弦級數求余弦級數. .,)(進進行行偶偶延延拓拓對對xf 00)1(2dxxa, 2 0cos)1(2nxdxxan , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 202nnn當當當當5cos513cos31(

13、cos412122 xxxx)0( x15 (0,)2( )cos(1) ()nnf xanxx 例例應應當當如如何何把把區(qū)區(qū)間間內內的的可可積積函函數數延延拓拓后后，使使它它展展開開成成的的傅傅里里葉葉級級數數的的形形如如設設f(x) 周期為周期為T,在在(-T/2,T/2)可積和絕對可積可積和絕對可積,01( ) (cossin)2nnnaf xan xbn x 設設/2/2/2/22( )cos,2( )sin.TnTTnTaf xn xdxTbf xn xdxT 其其中中階諧波階諧波角頻率，角頻率，nxnbxnaTnn sincos22Tx 令令，( )()( )22Tff x 則則為

14、為周周期期的的周周期期函函數數，例例 6 6 設設)(xf在在)2 , 2 上的表達式為上的表達式為 20020)(xkxxf, 將其展成傅氏級數將其展成傅氏級數. 并求其傅氏級數的和函數并求其傅氏級數的和函數.,sincosxixeix ieexeexixixixix2sin2cos則則稱為稱為歐拉公式歐拉公式. .歐拉公式歐拉公式揭示了三角函數和復變量指數函數之揭示了三角函數和復變量指數函數之間的一種關系間的一種關系. .,sincosxixeix 也稱為也稱為歐拉公式歐拉公式. .五、傅里葉級數的復數形式五、傅里葉級數的復數形式 2/2/2/2/), 2 , 1(,sin)(2), 2

15、, 1 , 0(,cos)(T2TTnTTnnxdxnxfTbnxdxnxfa 其中傅里葉系數公式其中傅里葉系數公式由函數的傅立葉級數由函數的傅立葉級數01( )(cossin)2nnnaf xan xbn x將歐拉公式代入得將歐拉公式代入得1( ),2in tnnf xc e就是就是f(x)的傅里葉級數復數形式的傅里葉級數復數形式.其中其中 ,nnnnnncaib caib互互 為共軛復數為共軛復數. 222( ),(0, 1, 2,)Tin tTncf t edtnT 傅里葉級數復數形式的系數傅里葉級數復數形式的系數也稱為傅里葉級數的復振幅也稱為傅里葉級數的復振幅.22=|nnnnnAab

16、c 階階諧諧波波的的振振幅幅在在實實數數形形式式中中為為：ncn復復振振幅幅 的的模模恰恰為為 階階諧諧波波的的振振幅幅作業(yè)：作業(yè)：P127 4; 7; 8; 9; 11六、收斂判別法的證明六、收斂判別法的證明1、狄利克雷積分、狄利克雷積分( )- , f x 設設在在可可積積或或（在在反反常常積積分分意意義義下下）絕絕對對可可積積其傅里葉級數為其傅里葉級數為01( )(cossin)2nnnaf xanxbnx 01(f( )=(cossin)2nnkkkaxakxbkx 其其部部分分和和為為s s-2 +1sin( - )12=( )-2sin2nt xf tdtt x +-2 +1sin

17、( - )12=( )-2sin2xxnt xf tdtt x -2 +1sin12=(x+u)2sin2nufduu 0-02 +1sin12=(+) (x+u)2sin2nufduu 02 +1sin12=( ()+ (- )2sin2nuf xuf x uduu 以上表達式都稱為狄利克雷積分以上表達式都稱為狄利克雷積分02 +12sin122sin2nuduu =10=121=(+cos)2nkku du 注意到注意到02 +1sin12s (f(x)- =( ()+ (- )-2 )2sin2nnusf xuf x usduu ( )= ( + )+ ( - )-2uf x uf x

18、us 記記f(x)則則的的傅傅里里葉葉級級數數在在x x點點收收斂斂的的問問題題歸歸結結為為s,取取到到適適當當的的 使使得得02 +1sin12lim( )=02sin2nnuuduu 2、黎曼引理、黎曼引理( ) , u 設設函函數數在在 a a b b 上上可可積積和和絕絕對對可可積積，則則以以下下極極限限式式成成立立：alim( )sin=0,bpupudu alim( )cos=0bpupudu (1)( )x局局部部性性定定理理：函函數數f f x x 的的傅傅里里葉葉級級數數在在 點點的的收收斂斂性性，只只與與該該點點的的充充分分小小鄰鄰域域的的值值有有關關。利用黎曼引理可得傅里

19、葉級數的一些性質利用黎曼引理可得傅里葉級數的一些性質-(2),lim=lim( )cos=0,lim=lim( )sin=0,nnnnnnaf xntdtbf xntdt 可可積積和和絕絕對對可可積積函函數數的的傅傅里里葉葉系系數數趨趨于于零零01112 +1(3)lim( )(-)sin=022sin2nnuuduuu 3.(Dini)迪迪尼尼判判別別法法及及其其推推論論：,( )= ( + )+ ( - )-2,( )0, ( )xs.uf x uf x ushuhf xu 迪迪尼尼定定理理：若若能能取取到到適適當當的的s s 使使得得滿滿足足：對對某某正正數數在在上上，為為可可積積和和絕

20、絕對對可可積積，則則的的傅傅里里葉葉級級數數在在 點點收收斂斂于于:()( ),| ()- ( )|(0uh)(L,1)( )x( ).f xxuxf xu f xLuf xf x 推推論論 利利普普希希茨茨 LipschitzLipschitz 判判別別法法) )：若若在在 連連續(xù)續(xù) 并并且且對對于于充充分分小小的的正正數數在在 點點的的LipschitzLipschitz條條件件為為常常數數，成成立立，則則的的傅傅里里葉葉級級數數在在 點點收收斂斂于于,| ()- (0)|(0uh)(L,1)( +0)+ ( -0)( )x.2uf xu f xLuf xf xf x 更更一一般般地地，若

21、若對對充充分分小小的的成成立立為為常常數數，則則的的傅傅里里葉葉級級數數在在 點點收收斂斂于于一個重要推論一個重要推論( (1 1) ) 當當x是是)(xf的的連連續(xù)續(xù)點點時時, ,級級數數收收斂斂于于)(xf; ;( (2 2) ) 當當x是是)(xf的的間間斷斷點點時時, , 收收斂斂于于2)0()0( xfxf; ;則則f(x)f(x)的傅里葉級數在的傅里葉級數在x x點收斂點收斂, ,并且并且都存在都存在xxfxxfxxfxxfxx )0()(lim,)0()(lim00一、一致收斂性一、一致收斂性1( ) , f xa b （ ）設設周周期期為為2 2 的的可可積積和和絕絕對對可可積

22、積函函數數在在比比更更寬寬的的區(qū)區(qū)間間上上有有有有界界導導數數，則則f(x)f(x)的的傅傅里里葉葉級級數數在在a,ba,b上上一一致致收收斂斂于于f(x).f(x).2( ) , f xa b （ ）設設周周期期為為2 2 的的可可積積和和絕絕對對可可積積函函數數在在比比更更寬寬的的區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)且且為為分分段段單單調調函函數數，則則f f( (x x) )的的傅傅里里葉葉級級數數在在 a a, ,b b 上上一一致致收收斂斂于于f f( (x x) ). .0101( )(cossin)21()(cossin)2xxxnncccnxnncnaf x dxdxanx bnx dxa x

23、 canx bnx dx二、逐項求積定理二、逐項求積定理注意注意: :富里埃級數一般并不能保證可富里埃級數一般并不能保證可以逐項求導以逐項求導. .但可以證明富里埃級數的如下逐項求但可以證明富里埃級數的如下逐項求導定理導定理. .三、逐項求導定理三、逐項求導定理1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分條件；狄利克雷充分條件；4.函數的傅氏展開式；函數的傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近四、小結四、小結6. 傅氏級數復數形式傅氏級數復數形式四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；

24、條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近四、小結四、小結1.基本概念；