高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 空間向量與立體幾何總復(fù)習(xí)

1、空間向量與立體幾何總復(fù)習(xí)一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建空間向量的定義及其運(yùn)算空間向量運(yùn)算的幾何表示（如平行四邊形法則）用空間向量表示點(diǎn)、線、面等元素建立空間圖形與空間向量的聯(lián)系利用空間向量運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示（加減法、數(shù)乘、數(shù)量積）空間向量定義運(yùn)算坐標(biāo)表示加法減法數(shù)量積立體幾何中的向量方法垂直關(guān)系平行關(guān)系空間距離空間角二、課標(biāo)及考綱要求空間向量與立體幾何空間向量及其運(yùn)算 經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程 了解空間向量的概念、基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與

2、垂直空間向量的運(yùn)用 理解直線的方向向量與平面的法向量 能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直和平行關(guān)系 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用三、知識(shí)要點(diǎn)及考點(diǎn)精析（一）空間向量及其運(yùn)算1空間向量的概念在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模還需要掌握的幾個(gè)相關(guān)的概念包括相等向量、零向量、共線向量等2空間向量的線性運(yùn)算（1）空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則同樣適用于空間向量的加（減）法運(yùn)算加法運(yùn)算對(duì)于有限個(gè)向量求和，交換相加向量的順序

3、其和不變?nèi)齻€(gè)不共面的向量的和等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的對(duì)角線所表示的向量加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足運(yùn)算律：交換律，即；結(jié)合律，即；分配律，即及（其中均為實(shí)數(shù)）（2）空間向量的基本定理 共線向量定理：對(duì)空間向量的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使 共面向量定理：如果空間向量不共線，則向量c與向量共面的充要條件是，存在惟一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a, b, c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組，使其中是空間的一個(gè)基底，a, b, c都叫做基向量，該定理可簡(jiǎn)述為：空間任一向量p都可以用一個(gè)基底惟一線性表示（線性組合）（3）兩個(gè)向量的數(shù)量積兩個(gè)向量的數(shù)量積是ab= |a|b|co

4、s，數(shù)量積有如下性質(zhì)： a, b, c ae= |a|cos（e為單位向量）； aaab=； aa=|a|2； |ab| a|b|數(shù)量積運(yùn)算滿足運(yùn)算律：交換律，即ab= ba；與數(shù)乘的結(jié)合律，即（a）b=（ab）；分配律，即（a+b）c =ac +bc3空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）給定空間直角坐標(biāo)系和向量a，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組使，則叫作向量a在空間的坐標(biāo)，記作（2）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律若，則，ab，若，則即一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)4直線的方向向量與向量方程（）位置向量：已知向量a，在空間固定一個(gè)基點(diǎn)，作向量，則點(diǎn)在空間的位置被a所惟一確

5、定，a稱(chēng)為位置向量（）方向向量與向量方程：給定一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)向量a，再任給一個(gè)實(shí)數(shù)，以為起點(diǎn)作向量a，則此向量方程稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)直線的參數(shù)方程，向量a稱(chēng)為直線的方向向量典型例題分析：例1若=(,1,3),=(1,-,9),如果與為共線向量,則( )A， B, C, D,答案: C例2已知向量a(1，1，0)，b(-1，0，2)，且ab與2 a-b互相垂直，則的值是( )A 1 B C D 答案: D例3已知=(2,2,1),=(4,5,3),求平面ABC的單位法向量解:設(shè)平面ABC的法向量n=(x,y,1),則n且n,即n=0,且n=0,即 即 n=(,-1,1),單位法向量n=(,-,)（二）

6、立體幾何中的向量方法1利用向量法確定直線、平面間的平行、垂直等位置關(guān)系設(shè)直線的方向向量是，直線的方向向量是，平面的法向量是，平面的法向量是，則有如下結(jié)論成立： （1）u1u2u1； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）第一部分：平行問(wèn)題 利用空間向量解決線線平行問(wèn)題已知直線平面，直線平面，為垂足求證：證明：以點(diǎn)為原點(diǎn)，以射線為非負(fù)軸，如圖1，建立空間直角坐標(biāo)系，為沿軸的單位向量，且設(shè)，即點(diǎn)評(píng)：由向量的共線的充要條件知，只要證明即可 利用空間向量解決線面平行問(wèn)題已知是正三棱柱，是的中點(diǎn)，求證：平面證法1：建立如圖2的空間直角坐標(biāo)系設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則設(shè)平面的法向量為，則由，得取

7、得，得由，得，即平面證法2：如圖3，記，則，共面又平面，平面點(diǎn)評(píng)：用向量證明線面平行問(wèn)題通常有兩種方法：向量與兩個(gè)不共線的向量共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使利用共面向量定理可證明線面平行問(wèn)題，如證法2設(shè)為平面的法向量，要證明，只需證明，如證法1 利用空間向量解決面面平行問(wèn)題例題：已知正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為的中點(diǎn)，求證：平面平面證明：建立空間直角坐標(biāo)系，則得設(shè)為平面的法向量，設(shè)為平面的法向量空間計(jì)算：由，得平面平面點(diǎn)評(píng)：設(shè)分別為平面的法向量，要證，只需證明：存在一個(gè)非零常數(shù)，滿足，則其實(shí)本題也可轉(zhuǎn)化為線線平行，則面面平行即用向量先證明，則有線面平行，從而平面平面第二部分：垂直問(wèn)題 利

8、用空間向量解決線線垂直問(wèn)題已知正四棱，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)證明：為與的公垂線證明：如圖1，在以為的原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系中，由，得為與的公垂線點(diǎn)評(píng)：把推理論證（）用向量運(yùn)算（）來(lái)代替，減少了構(gòu)造輔助圖形，降低了思維量 利用空間向量解決線面垂直問(wèn)題如圖2，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，為的中點(diǎn)，在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使面 解：如圖2，在以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)由面，得即 點(diǎn)評(píng)：按照傳統(tǒng)方法，要構(gòu)造三條輔助線，多解兩個(gè)三角形，畫(huà)圖、看圖以及計(jì)算都增加了難度用空間向量的觀點(diǎn)處理立體幾何中的線面關(guān)系，把幾何問(wèn)題代數(shù)化，降低了難度 利用空間向量解決面面垂直問(wèn)題如圖3，在正方體中，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求

9、證：平面平面分析：要證明平面平面，只要證明平面內(nèi)的一條直線垂直于平面中的兩條相交直線即可，而從圖中觀察，證較容易成功證明：設(shè)則而，又，平面又平面，平面平面 點(diǎn)評(píng)：向量a垂直于向量b的充要條件是ab，據(jù)此可以證明直線與直線垂直，進(jìn)而還可證明直線與平面垂直及兩個(gè)平面垂直在證明一對(duì)向量垂直時(shí)，往往用一組基底先表示這一對(duì)向量，再考慮它們的數(shù)量積是否為零2利用空間向量解決空間距離問(wèn)題（1）利用空間向量求線線距離如圖1，若是異面直線的公垂線段，分別為上的任意兩點(diǎn)則兩異面直線間的距離為（其中與垂直，分別為兩異面直線上的任意兩點(diǎn)）例題：如圖2，在正方體中，為的中點(diǎn)求異面直線和間的距離？解析：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，

10、以為原點(diǎn)，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)和公垂線段上的向量為，則即又，所以異面直線和間的距離為（2）利用空間向量求點(diǎn)面距離如圖3，已知為平面的一條斜線段，為平面的法向量則點(diǎn)到平面的距離例題：如圖4，已知是各條棱長(zhǎng)均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn)求點(diǎn)到平面的距離解析：為正方形，易得平面平面，面，是平面的一個(gè)法向量設(shè)點(diǎn)是平面的距離為，則（3）利用空間向量求線面、面面距離注意：利用空間向量求線面、面面距離的問(wèn)題顯然可以轉(zhuǎn)換成利用空間向量求點(diǎn)面距離的問(wèn)題例題：如圖5，已知邊長(zhǎng)為的正三角形中，分別為和的中點(diǎn)，面，且，設(shè)平面為且與平行求與平面間的距離？解析：設(shè)的單位向量分別為，選取作為空間向量的一個(gè)基

11、底易知，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即直線與平面間的距離例題：如圖6，在棱長(zhǎng)為1的正方體中求平面與平面間的距離解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知平面與平面平行設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即平面與平面間的距離3利用空間向量解決空間角問(wèn)題（1）利用空間向量求線線角設(shè)兩異面直線所成的角為分別是的方向向量，注意到異面直線所成角的范圍是，則有已知正方形和矩形所在平面互相垂直，試在線段上確定一點(diǎn)，使得與所成的角是如圖1，建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)，得又和所成的角是，解得或（舍去），即點(diǎn)是的中點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：采用傳統(tǒng)的平移法求異面直線所成角的大小，免不了要作輔助線和幾何推理這里運(yùn)用向量法，沒(méi)有了這些手續(xù)，顯得便當(dāng)快捷（

12、2）利用空間向量求線面角如圖2，點(diǎn)在平面外，為內(nèi)一點(diǎn)，斜線和平面所成的角為，為的一個(gè)法向量，注意到斜線和平面所成角的范圍是，則有，結(jié)合向量的夾角公式便可求在正三棱柱中，已知在棱上，且，若與平面所成的角為，則sin（） 解：取中點(diǎn)，連結(jié)，則，如圖3，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則平面平面，平面為平面的一個(gè)法向量，選（）點(diǎn)評(píng)：利用向量法求空間角，其操作只須按步驟進(jìn)行，數(shù)值計(jì)算十分簡(jiǎn)單，對(duì)空間想象力和幾何的邏輯推理能力要求不高，顯得簡(jiǎn)潔明了（3）利用空間向量求面面角注意：求面面角的問(wèn)題關(guān)鍵還是轉(zhuǎn)化成求線線角，一般來(lái)說(shuō)求二面角有兩種方法：如圖4，分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)且垂直于棱， 分別是的一個(gè)法向量，則可

13、利用向量的夾角公式結(jié)合以下角度關(guān)系之一求二面角的大?。悍椒ㄒ唬旱扔诙娼堑钠矫娼?；方法二：與二面角的平面角相等或互補(bǔ)如圖5，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面平面，分別為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值解：取中點(diǎn)，連結(jié)，且又平面平面，平面，如圖5所示，建立空間直角坐標(biāo)系則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則 取，則 則又為平面的一個(gè)法向量， 二面角的余弦值為點(diǎn)評(píng)：利用向量法求空間角的大小，經(jīng)常用到平面的法向量求法向量的方法主要有兩種： 求平面的垂線的方向向量； 利用法向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量數(shù)量積為零列方程組求4用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量（或坐標(biāo)）

14、表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、線、面，從而把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題（幾何問(wèn)題向量化）；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾角等問(wèn)題（進(jìn)行向量運(yùn)算）；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義（回歸幾何問(wèn)題）四、易錯(cuò)點(diǎn)分析1類(lèi)比平面向量，是掌握空間向量的最好方法，平面向量的加、減、數(shù)乘等坐標(biāo)運(yùn)算公式及運(yùn)算律對(duì)空間向量仍然成立雖然共面向量定理由兩個(gè)約束條件變?yōu)槿齻€(gè)約束條件，坐標(biāo)由兩個(gè)有序?qū)崝?shù)推廣到三個(gè)有序?qū)崝?shù)，但其運(yùn)算規(guī)律實(shí)質(zhì)上是一樣的例如線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式（包括中點(diǎn)坐標(biāo)公式、重心坐標(biāo)公式）在空間直角坐標(biāo)系中依然適用，有向線段表示向量的坐標(biāo)仍然是終點(diǎn)減去始點(diǎn)坐標(biāo)

15、，平行、垂直的充要條件，夾角、距離公式等仍然適用2用向量知識(shí)證明立體幾何問(wèn)題，仍然離不開(kāi)立體幾何定理如要證明線面平行，只需要證明平面外一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線，只需要證明（）即可3空間兩條直線之間的夾角是不超過(guò)的角，因此，如果按照公式求出來(lái)的向量的數(shù)量積是一個(gè)負(fù)數(shù)，則應(yīng)當(dāng)取其絕對(duì)值，使之變?yōu)檎?，這樣求得的角為銳角4利用法向量求二面角時(shí)，要注意法向量的方向問(wèn)題，結(jié)合二面角的大小，這樣最后確定所求得的角到底是二面角還是二面角的補(bǔ)角 5在具體應(yīng)用空間向量解決立體幾何問(wèn)題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）平行問(wèn)題向量共線，注意重合（2）垂直問(wèn)題向量的數(shù)量積為零，

16、注意零向量（3）距離問(wèn)題向量的模，注意向量的垂直（4）求角問(wèn)題向量的夾角，注意角范圍的統(tǒng)一6解決立體幾何問(wèn)題的三種方法的比較 解決立體幾何中的問(wèn)題，可用綜合法、向量法和坐標(biāo)法一般我們遵循的原則是：以綜合法為基礎(chǔ)、以向量法為主導(dǎo)、以坐標(biāo)法為中心（1）綜合法是以邏輯推理為工具，利用立體幾何的知識(shí)，運(yùn)用空間觀念解決問(wèn)題的方法，其顯著特點(diǎn)是在證題時(shí)經(jīng)常需要構(gòu)造輔助線、輔助面、邏輯思維量大，要求具有比較強(qiáng)的空間想象能力（2）向量法是根據(jù)空間向量的基本定理，運(yùn)用向量的幾何意義及向量數(shù)量積的概念解決立體幾何的方法，是幾何問(wèn)題代數(shù)化的重要體現(xiàn)其顯著特點(diǎn)是可以避開(kāi)紛繁復(fù)雜的邏輯推理，使解題過(guò)程變的明快、簡(jiǎn)捷（3）坐標(biāo)法是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決立體幾何問(wèn)題的方法坐標(biāo)法關(guān)鍵是在于構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系注：構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系主要有四種途徑： 利用共頂點(diǎn)的兩兩垂直的三條不共面的直線構(gòu)建直角坐標(biāo)系；