高考數(shù)學復習點撥 共點、共線與共面問題解法評析

1、共點、共線與共面問題解法評析平面的基本性質(zhì)是研究立體幾何的基礎(chǔ)，公理3及其推論是將立體幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形問題的理論依據(jù)，在這里，判斷和證明點、線共面問題就顯得十分重要下面介紹點、線共面問題的三種常見類型 一、 點共線問題證明此類問題，可先由兩點確定一條直線，再證其余的點也在這條直線上；也可以證明所有的點都在一條特定的直線(如兩個平面的交線)上ABCEFHPQDABCD例1 如圖，在正方體ABCD ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC和DC 的中點，P，Q分別為EF和BD的中點，對角線AC與平面EFDB交于H點求證：P，H，Q三點共線證明：由EFDB，確定平面BFP平面BF，同理，Q平面BF

2、，P，H，Q平面BF由ACAC，確定平面AC，PAC，QAC，HAC，P，H，Q AC根據(jù)公理3，P，H，Q三點一定在平面BF與平面AC的交線上，故P，H，Q三點共線評析：證明點共線問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點，這樣可根據(jù)公理2證得這些點都在這兩個平面的公共直線上 二、 線共點問題證明此類問題，通常先證明某兩條直線相交于一點，再證交點在第三條直線上；或證某一條直線與兩外兩條都相交，再證兩交點重合(即用同一法) 例2 如圖，已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且= 2，求證：EG、FH、AC相交于同一P證明：E、F分別是AB、A

3、D的中點，EFBD且EF =BD又= 2，GHBD且GH =BD，EFGH且EFGHPGCHDBEFA四邊形EFHG是梯形，其兩腰必相交，設兩腰EG、FH相交于一點P，EG平面ABC，F(xiàn)H平面ACD，P平面ABC，P平面ACD，又平面ABC平面ACD = AC，PAC故EG、FH、AC相交于同一P評析：證明共點問題一般是證明三條直線交于一點首先證明其中的兩條直線相交于一點，然后再說明第三條直線是經(jīng)過這兩條直線的兩個平面的交線，由公理2可知兩個平面的公共點必在兩個平面的交線上，即三條直線交于一點三、線共面問題證線共面問題，先根據(jù)已知條件，確定一個平面，再證其余直線也在這個平面內(nèi)例3 求證：兩兩相交但不過同一點的四條直線共面。證明：分兩種情況證明：有三條直線過同一點，如圖，AD，過A、D確定平面，又B、C、DD，B、C、D。于是AB，AC，AD，因此A、B、C、D四條直線共面dabcABCDE 任三條直線都不過同一點，如圖，AB =A，過A、B確定平面又D、EB，B、CA，D、E，B、C，由B、E，得C；由C、D，得D因此A、B、C、D四條直線共面評析：證明多個元素(點和線)共