大學(xué)物理：第2-3-能量守恒定律

1、2-4 2-4 能量守恒定律能量守恒定律2-4-2 動能和動能定理動能和動能定理2-4-1 功和功率功和功率2-4-3 保守力與非保守力保守力與非保守力 勢能勢能2-4-4 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律2-1 牛頓定律牛頓定律2-2 動量守恒定律動量守恒定律2-3 角動量守恒定律角動量守恒定律2-5 守恒定律和對稱性守恒定律和對稱性2-4-5 碰撞碰撞功和能功和能 Work and Energy 功和能是物理學(xué)中的兩個非常重要的概念。功和能是物理學(xué)中的兩個非常重要的概念。1、能量、能量 energy 能量是物體所具有的做功的本領(lǐng)。能量越大，做能量是物體所具有的做功的本領(lǐng)。能量越大，做功的本領(lǐng)也

2、就越大，能量有多種不同的形式，例如：機(jī)功的本領(lǐng)也就越大，能量有多種不同的形式，例如：機(jī)械能，熱能，化學(xué)能，光能，電磁能，原子能，核能等械能，熱能，化學(xué)能，光能，電磁能，原子能，核能等等。等。 能量可以從一個物體轉(zhuǎn)移到另一物體，也可以從一能量可以從一個物體轉(zhuǎn)移到另一物體，也可以從一種形式轉(zhuǎn)變成另一種形式。例如，水力發(fā)電，電熱器，種形式轉(zhuǎn)變成另一種形式。例如，水力發(fā)電，電熱器，熱電廠，電池等。熱電廠，電池等。 能量是一個狀態(tài)量，它是系統(tǒng)狀態(tài)的單值函數(shù)，物能量是一個狀態(tài)量，它是系統(tǒng)狀態(tài)的單值函數(shù)，物體處于某一確定的狀態(tài)，就有一個確定的能量值。體處于某一確定的狀態(tài)，就有一個確定的能量值。2-4-1 功

3、和功率FrFWFr cosF r02,0A/2,0A2、功、功 work它是一個它是一個過程量過程量。能量變化除了作。能量變化除了作功外，還可以通過功外，還可以通過熱傳遞熱傳遞方式來實現(xiàn)。方式來實現(xiàn)。3、恒力的功、恒力的功定義：定義： 在力在力 的作用下，的作用下，物體發(fā)生了位移物體發(fā)生了位移 ，則，則把力在位移方向的分力與把力在位移方向的分力與位移位移 的乘積稱為功。的乘積稱為功。Frr國際單位：焦耳（J ）Nm0 rcosdWF drF dr的一小段位移的一小段位移（2）元功）元功一般來說，線積分的值與積分路徑有關(guān)，也就是一般來說，線積分的值與積分路徑有關(guān)，也就是說，沿著不同的路徑走，所作

4、的功是不同的。說，沿著不同的路徑走，所作的功是不同的。rdabFrdcosbbaaWFrFrdd合力的功：rFFFrFWbanbadd21banbabarFrFrFddd21合力對質(zhì)點所作的功等于每個分力對合力對質(zhì)點所作的功等于每個分力對質(zhì)點作功之代數(shù)和質(zhì)點作功之代數(shù)和（3）幾個力同時作用時的功）幾個力同時作用時的功在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系Oxyz中中 kFjFiFFzyxk zj yi xr zFyFxFkzj yi xkFjFiFrFWzybaxbazyxbaxxddddddd功率是反映作功快慢程度的物理量。功率是反映作功快慢程度的物理量。5、 功率：平均功率：tWP瞬時功率：0limtW

5、WPtt dd瓦特（W）=（J/s）vFtrFtWPdddd繩子張力繩子張力 T：W1000300cos()2Wmg drmgLd0 0 Fm例 有一單擺， 用一水平力作用于 ，使其緩慢上升。當(dāng)由增大到時，求各力做功和總功。解：選地面為參照系，分析受力如圖dTmdrLmgFcosdWF drFLd 0200mgsin(1cos)WLdmgL 0(1cos)mgL 拉力拉力 F：重力重力 ：1230WWWW設(shè)作用在質(zhì)量為設(shè)作用在質(zhì)量為2kg的物體上的力的物體上的力F = 6t N。如。如果物體由靜止出發(fā)沿直線運動，在頭果物體由靜止出發(fā)沿直線運動，在頭2（s）內(nèi)這力）內(nèi)這力作了多少功？作了多少功？

6、ttmFa326taddvtttad3ddv兩邊積分：兩邊積分：ttt00d3dvv223tvtxddvtttxd23dd2 v20420249d236dttttxFWJ36的定義：的定義： 如果某力所作的功與相對路徑的形狀無關(guān)，如果某力所作的功與相對路徑的形狀無關(guān)，只決定于相互作用的質(zhì)點的始末相對位置，這樣的力只決定于相互作用的質(zhì)點的始末相對位置，這樣的力稱為稱為。的另一種定義：的另一種定義： 一個質(zhì)點相對于另一質(zhì)點沿閉合路徑移動一周一個質(zhì)點相對于另一質(zhì)點沿閉合路徑移動一周時，它們之間的保守力做的功必然是零。時，它們之間的保守力做的功必然是零。2-4-3 保守力與非保守力 勢能2-4-3 保

7、守力與非保守力 勢能（1）重力的功）重力的功bzazxyzOabrgm),(aaazyxa初始位置初始位置),(bbbzyxb末了位置末了位置baabrFWdkzj yi xkmgbadddbabazzmgzmgd 重力作功只與質(zhì)點的始、末位置有關(guān)，而與具重力作功只與質(zhì)點的始、末位置有關(guān)，而與具體路徑無關(guān)。體路徑無關(guān)。 =dAF dr.bdrF地球地球mdraMarbrr drrrrMmGF33MmGr drr 211()barabrbadrAdAGMmGMmrrr 萬有引力作功只與質(zhì)點的始、末位置有關(guān)，而萬有引力作功只與質(zhì)點的始、末位置有關(guān)，而與具體路徑無關(guān)。與具體路徑無關(guān)。 3MmGrdr

8、r 2MmGdrr （2） 萬有引力作功萬有引力作功 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為M的質(zhì)點固的質(zhì)點固定，另一質(zhì)量為定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點的質(zhì)點在在M 的引力場中從的引力場中從a a點運點運動到動到b b點。點。rerMmGF20barrrrerMmGWd20rrrerdcosddrrdrrd crdMabarbrbarrrrMmGrrMmGWba11d020 萬有引力作功只與質(zhì)點的始、末位置有關(guān)，而萬有引力作功只與質(zhì)點的始、末位置有關(guān)，而與具體路徑無關(guān)。與具體路徑無關(guān)。 （3）彈性力的功）彈性力的功x2box1mxamFx由虎克定律：由虎克定律：ikxF2121dddxxxxxkxi xikxxFW221

9、21122Wkxkx 彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，而與彈性變形的過程無關(guān)。而與彈性變形的過程無關(guān)。ikxFx2box1mxamF 彈性力是保守力彈性力是保守力 彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，而與而與彈性變形的過程彈性變形的過程無關(guān)。無關(guān)。2121dddxxxxxkxi xikxxFW22212121kxkxW2121dddxxxxxkxi xikxxFW22212121kxkxW 彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，而與彈性變形的過程無關(guān)。而與彈性變

10、形的過程無關(guān)。作功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。作功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。保守力沿任何閉合路徑作功等于零。保守力沿任何閉合路徑作功等于零。0drF設(shè)保守力沿閉合路徑設(shè)保守力沿閉合路徑acbda作功作功abcd按保守力的特點：按保守力的特點：因為：因為：所以：所以：adbacbWWbdaacbWW0acbacbbdaacbWWWWW由物體的相對位置所確定的系統(tǒng)能量稱為由物體的相對位置所確定的系統(tǒng)能量稱為勢能勢能（E Ep p）勢能勢能 Potential Energy說明：說明： 1.勢能是狀態(tài)的函數(shù)，僅取決于始末位置。勢能是狀態(tài)的函數(shù)，僅取決于始末位置。 2. 對于對于非保守力

11、非保守力不能引入勢能的概念。不能引入勢能的概念。 3.勢能的相對性，零勢能面選取任意，但勢勢能的相對性，零勢能面選取任意，但勢能差是絕對的。能差是絕對的。 4.勢能為勢能為系統(tǒng)系統(tǒng)所有，單個物體沒有勢能的。所有，單個物體沒有勢能的。 （1）勢能是一個系統(tǒng)的屬性。）勢能是一個系統(tǒng)的屬性。（2）（3）勢能的零點可以任意選取。）勢能的零點可以任意選取。 設(shè)空間設(shè)空間r0點為勢能的零點，則空間任意一點點為勢能的零點，則空間任意一點 r的勢能為：的勢能為：orropprFrErErEd)()()( 空間某點的勢能空間某點的勢能Ep在數(shù)值上等于質(zhì)點從該在數(shù)值上等于質(zhì)點從該點移動到勢能零點時保守力做的功。點

12、移動到勢能零點時保守力做的功。mghEp（地面（地面（h = 0= 0）為勢能零點）為勢能零點）221kxEp（彈簧自由端為勢能零點）（彈簧自由端為勢能零點）rMmGEp0（無限遠(yuǎn)處為勢能零點）（無限遠(yuǎn)處為勢能零點）物體在保守力場中物體在保守力場中a、b兩點的勢能兩點的勢能Epa與與 Epb之差，等之差，等于質(zhì)點由于質(zhì)點由a點移動到點移動到b點過程中保守力所做的功點過程中保守力所做的功Wab。abbapbpaWrFEEdppapbabEEEW)(PFdEdldldEFPlFl d lF 保守力保守力 與勢能的關(guān)系與勢能的關(guān)系,pFldldE如圖：質(zhì)點在保守力 作用下沿 方向位移表示勢能增量，則

13、cosFdlldlF zEFPzyEFPyxEFPx()pPPEEEFijkxyz , ,lx y z若設(shè) 分別沿三個方向，則可得保守力與勢能的積分關(guān)系：pEW保守力與勢能的微分關(guān)系：pEWddzFyFxFrFWzyxdddddzzEyyExxEEzyppdddd所以：所以：xEFpxyEFpyzEFpzkzEjyEixEFppp保守力的矢量式： 保守力沿各坐標(biāo)方向的分量，在數(shù)值上等于系保守力沿各坐標(biāo)方向的分量，在數(shù)值上等于系統(tǒng)的勢能沿相應(yīng)方向的空間變化率的負(fù)值，其方向統(tǒng)的勢能沿相應(yīng)方向的空間變化率的負(fù)值，其方向指向勢能降低的方向。指向勢能降低的方向。 結(jié)論：sFrFWdcosdd2-4-2

14、動能和動能定理 設(shè)一質(zhì)點質(zhì)量設(shè)一質(zhì)點質(zhì)量 m 在力的作用在力的作用下沿曲線從下沿曲線從 a點移動到點移動到 b點點1質(zhì)點動能定理質(zhì)點動能定理W dcosFmamtddvsdmtddvrdFabmdv vbaWWd2122211()2mmdvvv vvv)(21dd212221vvvvvvmmWW質(zhì)點的動能定理：合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量。合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量。1221222121kkEEmmWvvvvvdddddcosdmstmsFWtmmaFddcosv)(21dd212221vvvvvvmmWW質(zhì)點的動能定理：合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量。合外力對質(zhì)

15、點所做的功等于質(zhì)點動能的增量。1221222121kkEEmmWvv2質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理 iFif一個由一個由 n 個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，考察第個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，考察第 i 個質(zhì)點。個質(zhì)點。 質(zhì)點的動能定理：質(zhì)點的動能定理： iiEE1k2k內(nèi)外iiWW對系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點求和對系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點求和 niiniiEE11k12kniniiiWW11外內(nèi)12kkEE外內(nèi)WW 質(zhì)點系動能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和質(zhì)點系動能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和內(nèi)力作功之代數(shù)和。內(nèi)力作功之代數(shù)和。 內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)的總動能。但內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)的總動能。但是不改變系統(tǒng)的動量。例如地雷的

16、爆炸是不改變系統(tǒng)的動量。例如地雷的爆炸 例例2 如圖所示，用質(zhì)量為如圖所示，用質(zhì)量為M的鐵錘把質(zhì)量為的鐵錘把質(zhì)量為m 的釘子的釘子敲入木板。設(shè)木板對釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深敲入木板。設(shè)木板對釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比。在鐵錘敲打第一次時，能夠把釘子敲入度成正比。在鐵錘敲打第一次時，能夠把釘子敲入1cm深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完全相同，問第二次能把釘子敲入多深？全相同，問第二次能把釘子敲入多深？1S2SxO設(shè)鐵錘敲打釘子前的設(shè)鐵錘敲打釘子前的速度為速度為v0，敲打后兩者的共同速敲打后兩者的共同速度為度為v。 vv)(0mMM

17、mMM0vv鐵錘第一次敲打時，克服阻力做功，設(shè)釘子所受阻鐵錘第一次敲打時，克服阻力做功，設(shè)釘子所受阻力大小為：力大小為： kxf由動能定理，由動能定理， 有：有：2102021d2101kSxkxmSv0vv ,mMSSSxkxm11d21020v設(shè)鐵錘第二次敲打時能敲入的深度為設(shè)鐵錘第二次敲打時能敲入的深度為S ，則有，則有212121)(21kSSSk21212)(SSS112SSS化簡后化簡后第二次能敲入的深度為：第二次能敲入的深度為： cm41. 0cm1) 12(211SSS例例2 如圖，在如圖，在光滑光滑的水平地面上放著一輛小車，小車左的水平地面上放著一輛小車，小車左 端放著一只箱

18、子，今用同樣的水平恒力端放著一只箱子，今用同樣的水平恒力 F 拉箱子，使拉箱子，使它由小車的左端達(dá)到右端，一次小車固定，另一次小它由小車的左端達(dá)到右端，一次小車固定，另一次小車沒有固定，若以車沒有固定，若以地面為參照系地面為參照系，則下面的說法中，則下面的說法中正正確確的是：的是：（1）、兩次）、兩次 F 做的功相同；做的功相同；（2）、兩次摩擦力對箱子做的功相同；）、兩次摩擦力對箱子做的功相同；（3）、兩次箱子獲得的動能相同；）、兩次箱子獲得的動能相同；（4）、兩次由于摩擦而產(chǎn)生的熱量相同。）、兩次由于摩擦而產(chǎn)生的熱量相同。LFf2-4-4 機(jī)械能守恒定律21ppWEE 保內(nèi)12kkEE外內(nèi)

19、WW質(zhì)點系的動能定理：質(zhì)點系的動能定理：非保內(nèi)保內(nèi)內(nèi)WWW其中其中12kkEEWWW非保內(nèi)保內(nèi)外 1p1k2p2kEEEEWW非保內(nèi)外pkEEE機(jī)械能12EEWW非保內(nèi)外 質(zhì)點系機(jī)械能的增量等于所有外力和所有非保質(zhì)點系機(jī)械能的增量等于所有外力和所有非保守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。 質(zhì)點系的功能原理0外W如果如果0非保內(nèi)W，pkEEE恒量 當(dāng)系統(tǒng)只受保守內(nèi)力作功時，質(zhì)點系的總機(jī)當(dāng)系統(tǒng)只受保守內(nèi)力作功時，質(zhì)點系的總機(jī)械能保持不變。械能保持不變。機(jī)械能守恒定律 注意：（1 1）機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于，不適合于非慣性系。這是因為慣性力可能作功

20、。非慣性系。這是因為慣性力可能作功。（2 2）在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性系中機(jī)械能不一定守恒。系中機(jī)械能不一定守恒。這是因為外力的功與參這是因為外力的功與參考系的選擇有關(guān)。對一個參考系外力功為零，但考系的選擇有關(guān)。對一個參考系外力功為零，但在另一參考系中外力功也許不為零。在另一參考系中外力功也許不為零。例例3. 傳送帶沿斜面向上運行速度為傳送帶沿斜面向上運行速度為v = 1m/s，設(shè)物料無，設(shè)物料無初速地每秒鐘落到傳送帶下端的質(zhì)量為初速地每秒鐘落到傳送帶下端的質(zhì)量為M = 50kg/s，并，并被輸送到高度被輸送到高度h = 5m處，求配置的電動

21、機(jī)所需功率。處，求配置的電動機(jī)所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量損失）（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量損失）hv解：解： 在在t 時間內(nèi)，質(zhì)量為時間內(nèi)，質(zhì)量為Mt 的物料落到皮帶的物料落到皮帶上，并獲得速度上，并獲得速度v 。t內(nèi)內(nèi)系統(tǒng)動能的增量：系統(tǒng)動能的增量：0212vtMEki重力做功：重力做功：ghtMW電動機(jī)對系統(tǒng)做的功：電動機(jī)對系統(tǒng)做的功：tP由動能定理：由動能定理：221vtMghtMtPW247558 . 92150222ghMPv 例例3 如圖當(dāng)突然撤掉，其如圖當(dāng)突然撤掉，其 值為多大時，值為多大時，m2 才能跳起？才能跳起？ m2m1選選m1、m2地球、彈簧為系

22、統(tǒng)地球、彈簧為系統(tǒng)，則系統(tǒng)的，則系統(tǒng)的機(jī)械能在機(jī)械能在態(tài)到態(tài)到態(tài)過程中守恒，選如態(tài)過程中守恒，選如圖水平線圖水平線o1o2 為勢能水平面為勢能水平面 為零勢面為零勢面。 mm2m2m2x0 x1x201o2（）（）解：地面為參照系。解：地面為參照系。mx0 x1x201o2（）（）210101)(21)(xxkxxgmEA222121kxgxmEB又2201,kxgmkxgmEEABgmmkxFmmkgx)(),(211211例例4 如圖，如圖，m1 和和m2 之間只有萬有引力的作用，假之間只有萬有引力的作用，假設(shè)現(xiàn)有一力作用在上，使以設(shè)現(xiàn)有一力作用在上，使以向右勻速運向右勻速運動，試求；（）

23、、動，試求；（）、m1、m2之間的最大距離之間的最大距離 lmax (2)、從地面觀察，當(dāng)、從地面觀察，當(dāng)l=lmax時，外力做的功是多時，外力做的功是多少？少？At=0m1ml0BFV0(靜止）解：選B為參照系，則為一慣性系，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒為參照系，則為一慣性系，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒max21021201)(21lmmGlmmGvmt=0m1ml0BFV0(靜止）max21021201)(21lmmGlmmGvm02022max22lvlGmGml（）、選地面為參照系，則當(dāng)（）、選地面為參照系，則當(dāng)m1、m2以其同速度以其同速度 運動時兩者之間距離最大，運用功能原理，外力運動時兩者之間距離最大

24、，運用功能原理，外力做的功為：做的功為：)21()(2121021202max21202201lmmGvmlmmGvmvmAF201021max2120121vmlmmGlmmGvmAF例例4 鏈條總長為鏈條總長為 L，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m，初始時刻如圖懸掛，鏈條與桌，初始時刻如圖懸掛，鏈條與桌 面間的摩擦系數(shù)為面間的摩擦系數(shù)為 ，鏈條由靜止開始運動，求：，鏈條由靜止開始運動，求： （1）、鏈條離開桌邊時，摩擦力作的功？）、鏈條離開桌邊時，摩擦力作的功？ （2）、這時候鏈條的速度？）、這時候鏈條的速度？把鏈條分把鏈條分 割成無限多的質(zhì)元，割成無限多的質(zhì)元，則當(dāng)則當(dāng)dm在桌面上移動的長度為在桌面上

25、移動的長度為x 時，摩擦力作的功為時，摩擦力作的功為xdmgdAf （1）、dxLxmgdAf 20)(2aLLmgdxLxmgAaLf（2）、）、由功能原理)2()21(212aaLmgmgLmvAf)()(222aLaLLgv LaaxdxXY解解：選地面為參照系，坐標(biāo)系如圖選地面為參照系，坐標(biāo)系如圖例例4. 一長度為一長度為2l的均質(zhì)鏈條，平衡地懸掛在一光滑的均質(zhì)鏈條，平衡地懸掛在一光滑圓柱形木釘上。若從靜止開始而滑動，求當(dāng)鏈條離圓柱形木釘上。若從靜止開始而滑動，求當(dāng)鏈條離開木釘時的速率（木釘?shù)闹睆娇梢院雎裕╅_木釘時的速率（木釘?shù)闹睆娇梢院雎裕﹍ 2lOO解解設(shè)單位長度的質(zhì)量為設(shè)單位長度

26、的質(zhì)量為cc始末兩態(tài)的中心分別為始末兩態(tài)的中心分別為c和和c機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒： 2221222vlglllg l解得解得lgv例例5. 5. 計算第一，第二宇宙速度計算第一，第二宇宙速度已知：地球半徑為已知：地球半徑為R，質(zhì)量，質(zhì)量為為M，衛(wèi)星質(zhì)量為，衛(wèi)星質(zhì)量為m。要使。要使衛(wèi)星在距地面衛(wèi)星在距地面h高度繞地球高度繞地球作勻速圓周運動，求其發(fā)作勻速圓周運動，求其發(fā)射速度。射速度。解：解：設(shè)發(fā)射速度為設(shè)發(fā)射速度為v1，繞地球的運動速度為，繞地球的運動速度為v。機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒：hRMmGmRMmGm2212121vvRMm由萬有引力定律和牛頓定律：由萬有引力定律和牛頓定律：hRmhR

27、MmG22v解方程組，得：解方程組，得：hRGMRGM21v2RmMGmg gRRGM代入上式，得：代入上式，得：)2(1hRRgRvRh 131109 . 7smgRv2. 第二宇宙速度第二宇宙速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度（1）脫離地球引力時，飛船的動能必須大于或至少）脫離地球引力時，飛船的動能必須大于或至少 等于零。等于零。由機(jī)械能守恒定律：由機(jī)械能守恒定律：02122pkEERMmGmv解得：解得：1312sm102 .11222vvgRRGM（2）脫離地球引力處，飛船的引力勢能為零。）脫離地球引力處，飛船的引力勢能為零。2-4-5 碰撞 兩個或兩個以上的物體在運動中兩個或兩個以上的物體在運動中發(fā)生極其