9.6多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

1、1小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線第六節(jié)第六節(jié) 微分法在幾何上的微分法在幾何上的應(yīng)用應(yīng)用一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)2一、一元向量值函數(shù)及導(dǎo)數(shù)一、一元向量值函數(shù)及導(dǎo)數(shù) )()()(tztytx 空間曲線空間曲線 的參數(shù)方程的參數(shù)方程 ,t 若寫成向量的形式，記若寫成向量的形式，記rkzj yi x 或或)(tfktjtit)()()( 則方程則方程(1)就成為就成為向量方程向量方程(1) r)(tf ,t 3確定一個從確定一個從, R3的映射，稱為一元向量的映射，稱為一元向量值函數(shù)。值函數(shù)。向量方程

2、向量方程 r),(tf ,t 數(shù)集數(shù)集D稱為該函數(shù)稱為該函數(shù)定義定義則稱映射則稱映射為為一元向量值函數(shù)一元向量值函數(shù),設(shè)數(shù)集設(shè)數(shù)集D通常記為通常記為稱稱 t 為為 自變量自變量, ,為為因變量因變量。定義域定義域, ,R nRDf: r),(tfDt r4 )(tf在在R R3 3中，若向量值函數(shù)中，若向量值函數(shù),)()()(321ktfjtfitf Dt Dttf ),( 的三個分的三個分向量函數(shù)分別為向量函數(shù)分別為),(),(),(321tftftfDt 則可記為則可記為或或 )(tf),(),(),(321tftftfDt 5向量值函數(shù)的圖象向量值函數(shù)的圖象Mxyzo rOM)(tr,當(dāng)

3、當(dāng)t t改變時，改變時，r終點終點MM的軌跡的軌跡稱為向量值函數(shù)稱為向量值函數(shù) r),(tfDt 的的終端曲線或圖象終端曲線或圖象。反過來，反過來， )(tf),(),(),(321tftftfDt r稱為曲線稱為曲線 的的向量方程向量方程。跟著改變，跟著改變，6向量值函數(shù)的極限向量值函數(shù)的極限設(shè)向量值函數(shù)設(shè)向量值函數(shù) 的某一去心的某一去心在點在點0)(ttf鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)有定義，有定義，),(0常常向向量量如如果果 r , 0 對對,00時時使當(dāng)使當(dāng) tt 0)(rtf, 0 恒有恒有,)(00rtftt有有極極限限時時函函數(shù)數(shù)則則稱稱 ,)(lim00rtftt 記作記作).()(00ttr

4、tf或或7容易證明容易證明:向量值函數(shù)向量值函數(shù))(tf必要條件是必要條件是:三個分量函數(shù)三個分量函數(shù)當(dāng)當(dāng)0tt 時的時的極限存在極限存在的充分的充分)(),(),(321tftftf當(dāng)當(dāng)0tt 極限都存在時，極限都存在時，其極限其極限時的時的)(lim),(lim),(lim()(lim3210000tftftftftttttttt 8向量值函數(shù)的連續(xù)性向量值函數(shù)的連續(xù)性設(shè)向量值函數(shù)設(shè)向量值函數(shù) 的的某某一一在在點點0)(ttf鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)有定義，有定義，),()(lim00tftftt 若若則稱則稱 連續(xù)。連續(xù)。在點在點0)(ttf若向量值函數(shù)若向量值函數(shù) Dttf ，)(在在D D中的每

5、一點都連續(xù)，中的每一點都連續(xù)， 則稱則稱 上的連續(xù)函數(shù)。上的連續(xù)函數(shù)。上連續(xù)或稱其為上連續(xù)或稱其為在在DDtf)(2)(1)9向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)向量值函數(shù)設(shè)向量值函數(shù) 的的某某一一在在點點0)(ttf鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)有定義，有定義，ttfttftrtt )()(limlim0000如果如果存在，存在， 0)(ttf在在點點那么就稱這個極限向量為那么就稱這個極限向量為 處的導(dǎo)數(shù)或?qū)蛄刻幍膶?dǎo)數(shù)或?qū)蛄俊?記作記作 0)(0ttdtrdtf 或或(1)10(2) 如果函數(shù)如果函數(shù)存在導(dǎo)向量存在導(dǎo)向量,就稱函數(shù)就稱函數(shù) r),(tfDt 在在D 內(nèi)的每點處都內(nèi)的每點處都在開區(qū)間在開區(qū)間

6、D上可導(dǎo)上可導(dǎo).)(tf都在都在t0可導(dǎo)可導(dǎo), ktfjtfitftr)()()()(0302010 容易證明容易證明:向量值函數(shù)向量值函數(shù))(tf在在t0連續(xù)連續(xù)的充分必要條件是的充分必要條件是:都在都在t0連續(xù)連續(xù); 在在t0可導(dǎo)可導(dǎo)的充分必要條件是的充分必要條件是且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為三個分量函數(shù)三個分量函數(shù))(),(),(321tftftf三個分量函數(shù)三個分量函數(shù))(),(),(321tftftf11向量值函數(shù)的求導(dǎo)法則向量值函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)設(shè)是可導(dǎo)的向量值函數(shù)，是可導(dǎo)的向量值函數(shù)，)(),(tvtuC是常向量，是常向量，c是任一常數(shù)，是任一常數(shù)，)(t 是可導(dǎo)的數(shù)量函數(shù)，則是可導(dǎo)的數(shù)量

7、函數(shù)，則(1)0 Cdtd(2)(3)(4) )()(tuctucdtd )()()()(tvtutvtudtd )()()()()()(tuttuttutdtd 12 )()()()()()(tvtutvtutvtudtd (5)(6) )()()()()()(tvtutvtutvtudtd )()()(ttutudtd (7)13向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義Mxyzo)(0ttf )(0tfN)(0tf OMON)(0ttf 不不是是零零向向量量設(shè)設(shè))(0tf 的的指指向向）時時，向向量量（當(dāng)當(dāng)rt 00。相相反反移移動動的的走走向向一一致致增增大大時時點點與與)(Mt

8、的的增增長長方方向向一一致致的的指指向向總總與與怎怎樣樣但但不不論論ttrt ,故故trtft 00lim)(處的一個切向量，處的一個切向量，在點在點為曲線為曲線M的增長方向一致。的增長方向一致。且其指向總與且其指向總與t rMNtr 14向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義設(shè)向量值函數(shù)設(shè)向量值函數(shù) r)(tf是沿空間光滑曲線是沿空間光滑曲線運動的質(zhì)點運動的質(zhì)點M的位置向量，則的位置向量，則)()(tvdttrd 是質(zhì)點是質(zhì)點M的速度向量，的速度向量，曲線相切；曲線相切；其方向與其方向與)()(22tadttrd 是質(zhì)點是質(zhì)點M的加速度向量。的加速度向量。15例例1)(lim,)(

9、sin)(cos)(4tfk tjtittft 求求設(shè)設(shè)解解 )(lim4tft ktjtitttt)lim()sinlim()coslim(444 kji42222 16例例2向量。向量。處相應(yīng)的點處的單位切處相應(yīng)的點處的單位切在與在與求曲線求曲線的向量方程為的向量方程為設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線2,),62 , 34 , 1()(022 tRttttttfr解解 )(tf)64 , 4 ,2( tt )2(f)2 , 4 , 4(6)2( f故所求單位切向量為故所求單位切向量為)31,32,32(0 r17設(shè)空間曲線的方程設(shè)空間曲線的方程)1()()()( tzztyytxx(1)式中的三個函數(shù)

10、均式中的三個函數(shù)均可導(dǎo)可導(dǎo).M.),(0000tttzzyyxxM 對對應(yīng)應(yīng)于于;),(0000ttzyxM 對對應(yīng)應(yīng)于于設(shè)設(shè)M 1. 空間曲線的方程為參數(shù)方程空間曲線的方程為參數(shù)方程二、空間曲線的切線與法平面二、空間曲線的切線與法平面微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用Oxyz18考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置 xxx0t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t MM 割線割線 的方程為的方程為MM ,000zzzyyyxxx yyy0zzz 0切線的過程切線的過程微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用Oxyz19,0,時時即即當(dāng)當(dāng) tMM曲線在曲線在M處的切線方程處

11、的切線方程)()()(000000tzzztyyytxxx 切向量切向量法平面法平面0)()()(000000 zztzyytyxxtx切線的方向向量稱為曲線的切向量切線的方向向量稱為曲線的切向量.過過M點且與切線垂直的平面點且與切線垂直的平面.MM 微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用Oxyz)(),(),(000tztytxT 20.0處的切線與法平面方程處的切線與法平面方程在在 t: 求曲線求曲線 ttuezttyuuex301cossin2dcos解解2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty tez33 , 1)0( x, 2)0( y3)0( z切線方程切線

12、方程322110 zyx法平面方程法平面方程0)2(3)1(2 zyx0832 zyx)()()(000000tzzztyyytxxx 0)()()(000000 zztzyytyxxtx例例即即,0時時當(dāng)當(dāng) t微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用21設(shè)曲線直角坐標(biāo)方程為設(shè)曲線直角坐標(biāo)方程為,)()(100000 xzzzxyyyxx . 0)()()(100000 zzxzyyxyxx法平面方程為法平面方程為2. 空間曲線的方程為空間曲線的方程為曲線的參數(shù)方程是曲線的參數(shù)方程是由前面得到的結(jié)果由前面得到的結(jié)果,在在M(x0, y0, z0)處處,令令)(),(xzzxyy )()(xzz

13、xyyxx切線方程為切線方程為x為參數(shù)為參數(shù),兩個柱面兩個柱面的交線的交線微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用)()()(000000tzzztyyytxxx 22例例 在拋物柱面在拋物柱面 與與 的交線上的交線上, 求對應(yīng)求對應(yīng) 的點處的的點處的切向量切向量.x為參數(shù)為參數(shù),于是于是 , 1 x,12xy xz24 212xz 26xy 21 x解解 22126xzxyxx所以交線上與所以交線上與21 x對應(yīng)點的切向量為對應(yīng)點的切向量為: T).12, 6, 1(交線的參數(shù)方程為交線的參數(shù)方程為取取微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用23設(shè)空間曲線方程為設(shè)空間曲線方程為,0),(0)

14、,( zyxGzyxF3.空間曲線的方程為空間曲線的方程為確定了隱函數(shù)確定了隱函數(shù)(此曲線方程仍可用方程組此曲線方程仍可用方程組 兩邊分別對兩邊分別對.)()( xzzxyy )()(xzzxyyxx,0)(),(,(0)(),(,( xzxyxGxzxyxF表示表示.)x求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù):兩個曲面兩個曲面的交線的交線微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用24 xydd 利用利用2.結(jié)果結(jié)果, 0dddd xzGxyGGzyxzyzyGGFFxzxzGGFFzyzyGGFFyxyxGGFF)()(100000 xzzzxyyyxx 兩邊分別對兩邊分別對,0)(),(,(0)(),(,( xz

15、xyxGxzxyxFx求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù) 0dddd xzFxyFFzyx)()(100000 xzzzxyyyxx 微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用 xzdd25. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程為法平面方程為,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 切線方程為切線方程為,0),(0),( zyxGzyxF在點在點 M(x0, y0, z0)處的處的微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用26解解的的在在點點求求曲曲線線)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 例例 切線方程

16、和法平面方程切線方程和法平面方程.法一法一 直接用公式直接用公式;8),(222 zyxzyxF令令222),(zyxzyxG ,2xFx ,2yFy ;2zFz ,2xGx ,2yGy .2zGz 微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用27. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程法平面方程,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 切線方程切線方程微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用28切線方程切線方程 1x0dd2dd22 xzzxyyx33dd0 Pxy0dd0 Pxz 法二法二 將所給方

17、程的兩邊對將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)求導(dǎo)的的在在點點求求曲曲線線)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切線方程和法平面方程切線方程和法平面方程.法平面方程法平面方程0)2(0)3(33)1(1 zyx. 0633 yx xzzxyyxdd2dd22 3 y2 z133 0微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用29設(shè)曲線設(shè)曲線)(),(),(tzztyytxx 證證)()(txXtx 因原點因原點)0 , 0 , 0(0)()()()()()( tztztytytxtx即即0 于是于是 )()()(222tztytx證明此曲線必在以原點為證明此曲線必在以原點為的的法平面都過原點法平

18、面都過原點,在任一點在任一點中心的某球面上中心的某球面上.曲線過該點的法平面方程為曲線過該點的法平面方程為),(),(),(tztytx故有故有)()(tyYty )()(tzZtz 0 C)()()(222tztytx 微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用 在法平面上在法平面上,任取曲線上一點任取曲線上一點0)()()(000000 zztzyytyxxtx30yxzO 0),( zyxF 今在曲面今在曲面上任取一條上任取一條1. 設(shè)曲面設(shè)曲面的方程為的方程為0),( zyxF的情形的情形隱式方程隱式方程三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用

19、),(000zyxM ,),(000 zyxM 函數(shù)函數(shù)),(zyxF的偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)且不同的偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)且不同 時為零時為零. ,0tt )(),(),(000tztytx 且且點點M 對應(yīng)于參數(shù)對應(yīng)于參數(shù) 不全為零不全為零.過點過點M 的的曲線曲線,設(shè)其參數(shù)設(shè)其參數(shù)方程為方程為),(),(),(tzztyytxx 31微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用),(),(),(000tztytxT yxzO 0),( zyxF),(000zyxM T 由于曲線由于曲線在曲面在曲面上上, 所以所以, 0)(),(),( tztytxF 在恒等式兩端對在恒等式兩端對t 求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù),

20、并令并令,0tt 則得則得 )(),(0000txzyxFx 若記向量若記向量),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲線曲線在點在點M處切線的方向向量記為處切線的方向向量記為 則則式可改寫成式可改寫成, 0 Tn即向量即向量 Tn與與垂直垂直. . 0)(),()(),(00000000 tzzyxFtyzyxFzyn32 因為曲線因為曲線是曲面是曲面上過點上過點M的的任意任意一條曲一條曲線線,所有這些曲線在點所有這些曲線在點M的切線都與同一向量的切線都與同一向量垂直垂直, 因此這些切線必共面因此這些切線必共面,稱為曲面稱為曲面在點在點M的的n微分法在幾何上的應(yīng)

21、用微分法在幾何上的應(yīng)用yxzO 0),( zyxF),(000zyxM n過點過點M且垂直于切且垂直于切法線法線, ,又是法線的方向向量又是法線的方向向量.向量向量n稱為曲稱為曲法向量法向量. .切平面切平面,由切線形成的這一由切線形成的這一平面平面,平面的直線稱為曲面平面的直線稱為曲面在在點點M的的面面在在點點M的的n33),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M(x0, y0 , z0)處的法向量處的法向量:微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFx

22、xzyxFzyx法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 所以曲面所以曲面上在點上在點M的的34解解,3),(33azxyzzyxF 令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程; 0 azx1010azayx ),0(),(aazyxFFFn )3, 0 ,3(22aa 例例處的切平面處的切平面上點上點求曲面求曲面), 0(333aaazxyz ).0( a和法線方程和法線方程,3yzFx ,3xzFy ,332zxyFz )1 , 0 , 1(. ayazx0)(1)(0)0(1 azayx切平面方程為切平面方程為0)(,()(,

23、()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 0),(: zyxF曲曲面面方方程程MzyxFFFn),(, 曲面在曲面在M處的法向量處的法向量:微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用35842232222 yzxzxyzyx在在曲曲面面上求一點的坐標(biāo)上求一點的坐標(biāo),使此點處的切平面平行于使此點處的切平面平行于yOz平面平面.解解 設(shè)所求點為設(shè)所求點為),(zyx則切平面的法向量為則切平面的法向量為)32,22,(zyxzyxzyx 由題意由題意, n)32

24、,22,(zyxzyxzyx )0 , 0 , 1(由此得由此得022 zyx. 0,2 zyx所求之點所求之點:).0 , 2, 4()0 , 2 , 4( 及及 032 zyx),(2zyx n)(),22(2zyx )32(2zyx 微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用362. 曲面方程形為曲面方程形為 的情形的情形),(yxfz 曲面在曲面在M處的處的切平面方程切平面方程為為, 0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx曲面在曲面在M處的處的法線方程法線方程為為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令,

25、xxfF . 1 zF,yyfF 或或,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx )1,( yxffn顯式方程顯式方程微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 37 例例過過上所有點處的切平面都上所有點處的切平面都證明曲面證明曲面xyxez .一定點一定點 證證,),(000是曲面上任一點是曲面上任一點設(shè)設(shè)zyx0000 xyexz 則法向量為則法向量為切平面方程切平面方程為為0)()()()1(000000000 zzyyexxexyxyxy),(yxfz )1,( yxffn,)1(0000 xyexy

26、n)(,00 xye1 微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用380)1()1(000000000000000 zyexexyzyexexyxyxyxyxy0 0)()()()1(000000000 zzyyexxexyxyxy, 0)1(000000 zyexexyxyxy所以這些平面都過所以這些平面都過00 0 xyxez 原點原點.過過上所有點處的切平面都上所有點處的切平面都證明曲面證明曲面xyxez .一定點一定點微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用39微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用04222 zyxyxz與與平平面面曲曲面面平行的切平面的方程是平行的切平面的方程是(

27、).542 zyx40 例例 證證, 0)().( aufczbyfaxz可可微微證證明明曲曲面面)均均為為常常數(shù)數(shù)、cb的所有的所有切平面都與一常向量切平面都與一常向量平行平行.則曲面在任一點處的則曲面在任一點處的法向量法向量:,azczbyfaxzyxF )(),(令令則則),( A nAbczbyfbcczbyfbcb )()(, 0 即即nA 所以所以,所有的切平面均與所有的切平面均與),(bcab 常向量常向量平行平行.0),(: zyxF曲曲面面方方程程MzyxFFFn),(, 曲面在曲面在M處的法向量處的法向量:1)( czbyf c n)(),(czbyfb ,ab取取, c

28、b微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用41 例例 0523zyxzyx8522222 zyx 證證85222),(22 zyxzyxF令令過直線過直線L的平面束方程為的平面束方程為523 zyx即即05)1()2()3( zyx 其其法向量法向量為為)1, 2,3( ,4xFx 2 zF,4yFy 0)( zyx 微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用求過直線求過直線L且與曲面且與曲面相切之切平面方程相切之切平面方程.42設(shè)曲面與切平面的切點為設(shè)曲面與切平面的切點為),(000zyx則則過直線過直線L的平面束方程其的平面束方程其法向量法向量為為,4xFx 2 zF,4yFy ,85222

29、),(22 zyxzyxF tyx 21424300 05)1()2()3(000 zyx 8522202020 zyx, 3, 121 tt因而因而7, 321 微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用)1, 2,3( 43過直線過直線L的平面束方程為的平面束方程為523 zyx0)( zyx 故故所求切平面方程為所求切平面方程為7, 321 523 zyx0)(3 zyx或或523 zyx0)(7 zyx即即526 zyx或或56510 zyx微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用448),(222 zyxzyxF令令)2 , 3, 1(2 )2 , 3, 1( 解解的的在在點點求求曲曲

30、線線)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切線方程和法平面方程切線方程和法平面方程.應(yīng)應(yīng)同時垂直于同時垂直于2222228zyxzyx 和和曲曲面面 分析分析)2,3, 1()2 ,2 ,2(zyx 1n曲線在點曲線在點 處切線向量處切線向量 s)2 , 3, 1(0P.210nnP和和的法向量的法向量在點在點微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用 例例 當(dāng)空間當(dāng)空間曲線方程為曲線方程為一般式時一般式時,求切向量曾求切向量曾采用了采用了推導(dǎo)推導(dǎo)法法.現(xiàn)采用現(xiàn)采用向量代數(shù)法向量代數(shù)法求切向量求切向量45 21nns)2, 3, 1()2 , 3, 1( )0, 4, 34( )0

31、 ,33, 1( 令令222),(zyxzyxG )2,3, 1()2,2,2(zyx )2, 3, 1(2 )2, 3, 1( 的的在在點點求求曲曲線線)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切線方程和法平面方程切線方程和法平面方程.)2 , 3, 1( 1n 2n微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用46)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 的的全全微微分分在在點點函函數(shù)數(shù)),(),(00yxyxfz 因為曲面在因為曲面在M處的切平面方程處的切平面方程:全微分的幾何意義全微分的幾何意義,),(),(00的全微分的全微分在點在點yxyxfz 表示表示處處的

32、的在在點點曲曲面面),(),(000zyxyxfz 切平面上的點的豎坐標(biāo)的增量切平面上的點的豎坐標(biāo)的增量.切平面切平面上點的上點的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)的增量的增量微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用47),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff 或或)1,( yxff法向量法向量 ,若若表示曲面的法向量的方向角表示曲面的法向量的方向角,并假定并假定法向量的方向是向上法向量的方向是向上的的,即使得它與即使得它與z 軸的正向所成的角軸的正向所成的角 是是銳角銳角, 則法向量的則法向量的方向余弦為方向余弦為nn微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用)1 ,(yxff 48因為因為(第三個分量為負第三個分量為負), 求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面 在任意點在任意點P(x, y, z)處處向上向上的法向量的法向量(即與即與z軸夾角為銳角軸夾角為銳角的法向量的法向量).122 yxz解解, 1),(22 yxyxf而而Pyxff)1,( )1,2