D23函數(shù)的微分ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、微分運算法則二、微分運算法則三、高階微分三、高階微分第三節(jié)一、微分的概念一、微分的概念 函數(shù)的微分 第二章 四、微分在近似計算中的應用四、微分在近似計算中的應用目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設薄片邊長為 x , 面積為 A , 那么,2xA0 xx面積的增量為2020)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x關(guān)于x 的線性主部高階無窮小0 x時為故xxA02稱為函數(shù)在 的微分0 x當 x 在0 x取得

2、增量x時,0 x變到,0 xx邊長由其目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的微分,定義定義: 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在點 的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù))(xfy 而 稱為xA在)(xf0 x點記作yd,df或即xAyd定理定理: 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點 可微的充要條件是0 x處可導，在點0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在點0 x可微可微,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 : 函數(shù)函數(shù)證證: “必要性必要性” 知)(xfy 在點 可微 ,0 x那么)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxo

3、AxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在點 可導,0 x且)(xfy 在點 可微的充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 : 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點 可微的充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf即xxfy)(d0在點 的可導,0 x那么線性主部的此項為時yxf0)(0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:0)(0 x

4、f時 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x時yyd很小時, 有近似公式xyyd與是等價無窮小,當故當目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 微分的幾何意義xxfy)(d0 xx0 xyO)(xfy 0 xyydxtan當 很小時,xyyd時，當xy 則有xxfyd)(d從而)(ddxfxy導數(shù)也叫作微商切線縱坐標的增量自變量的微分自變量的微分,為稱 x記作xdxyxd記目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112又如又

5、如,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 微分運算法則微分運算法則設 u(x) , v(x) 均可微 , 那么)(d. 1vu )(d. 2uC(C 為常數(shù))(d. 3vu)0()(d. 4vvu分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分為xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不變微分形式不變5. 復合函數(shù)的微分則復合函數(shù)vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1., )e1(ln2xy求 .dy解解:2e11dxy)e1(d2x2e11x)(d2xxxxxd2ee1122xxxxde1e2222ex目錄 上頁 下頁 返回

6、 結(jié)束 例例2. 設設,0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性利用一階微分形式不變性 , 有有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3. 在下列括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立在下列括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立:xxd) d() 1 (ttdcos) d()2(221xtsin1說明說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.CC注意 )( 為任意常數(shù)C目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yf x dyfx dxx

7、 2.d dyd fx dxfxdxf 222d yd ffx dx設函數(shù) 三、三、 高階微分高階微分可導， 則它的微分 仍是 的函數(shù) . 因而，若該函數(shù)二階可導，則可再求 微分 ，得此式稱為函數(shù) 的二階微分，記作： 同理可得 n階微分的定義. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、四、 微分在近似計算中的應用微分在近似計算中的應用)()(0 xoxxfy當x很小時,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原則使用原則:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近與xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

8、 特別當xx,00很小時,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x證明證明: 令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小時當 xxx1)1 (目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 180dx29sin的近似值 .解解: 設設,sin)(xxf取300 x,629x那么1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(例例4. 求求29sin4848. 029sin目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5245的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(004938. 3例例5. 計算計算xx1)1 (004942. 32455目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 有一批半徑為有一批半徑為1cm 的球的球 , 為了提高球面的光潔度,解解: 已知球體體積為已知球體體積為334RV 鍍銅體積為 V 在01. 0, 1RR時體積的增量,VVVd01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用銅約為16. 113. 09 . 8( g )用銅多少克 . )cmg