“定區(qū)間動(dòng)軸法”求區(qū)間最值

1、1 1 1 1 “定區(qū)間動(dòng)軸法”求區(qū)間最值 所謂“定區(qū)間動(dòng)軸法”，就是將自變量所在區(qū)間 a,b(或(a,b)標(biāo)在數(shù)軸上，無論該區(qū) 間是動(dòng)的還是靜的， 根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性， 都將其看作“靜止”的，然后分對(duì)稱軸x：a、a x0 兩種情況進(jìn)行討論. .這樣讓區(qū) 2 2 間標(biāo)在數(shù)軸上不動(dòng)，而讓二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸移動(dòng)， 分類方法非常明確、思路清晰、條理性強(qiáng)， 這樣可做到不重不漏，并且簡(jiǎn)捷易行 1 1 條件中給出區(qū)間，直接采用 “定區(qū)間動(dòng)軸法”求區(qū)間最值 2 例 1 1 已知f (x) = x 4x 3, R，函數(shù)g(t)、h(t)表示函數(shù)f (x)在區(qū)間t, t -1上的 最小值，最大值，求 g(t)、

2、h(t)表達(dá)式. . 分析：此題屬于區(qū)間最值問題，結(jié)合圖形，將區(qū)間 t,t 1在數(shù)軸上相對(duì)固定，讓對(duì)稱軸 x - -2的區(qū)間t,t 1內(nèi)外移動(dòng)，即分成 -2 ：t ； t -2 t 1 ； - 2 t 1三種情況進(jìn)行討 t + (t +1) 論，結(jié)合圖形便可輕松求岀函數(shù) f (x)在區(qū)間t,t 1上的最小值. .而只需分-2 與 2 t +(t +1) -2 兩種情況討論便可求岀 f (x)在區(qū)間t,t 1上的最大值. . 2 解：由f (x) =X2 4x 3 =(x 2)2 -1，知圖象關(guān)于 x=-2對(duì)稱，結(jié)合圖象知, t2 6t 8,t (-：，-3) 幾 g(t) =，-1, t 匕-

3、3, -2. . 2 i +4t+3,t E (2,邑) t +(t +1) 5 當(dāng)-2 時(shí)，h(t)二 2 2 1 1 1 1 t +(t +1) 5 當(dāng)-2 ，即 t 時(shí)，h(t)二 2 2 t2 6t 8,t 三一5,-) 2 二 h(t) = 2 . . 2 _ 5 t 4t 3,t 二(一：,) I 2 評(píng)注：本題采用了 “定區(qū)間動(dòng)軸法”， 分-2 t ; t -2 t 1; -2 t 1三種情況和 t +(t +1) t +(t +1) -2 -1恒成立，求t的取值范圍 分析：(2 2)若X72時(shí)，f(X)-1恒成立，條件的實(shí)質(zhì)即為：當(dāng)x-1,2時(shí)f (x) 的最小值在于或等于 -

4、1，從而將問題歸結(jié)為區(qū)間最值問題. .作岀函數(shù)的大致圖象，借助函數(shù)圖象 的直觀性讓區(qū)間定，對(duì)稱軸動(dòng)，分三種情況進(jìn)行討論 2 解：設(shè) f (x)二 a(x -t) b，丁 g x 為一次函數(shù)， a= 1 又 f(1)=2， (1t)2 b=2， b=t2 2t 1， 二 f x 二 x2 -2tx 2t 1 即 fmin(x) -1 3 當(dāng) t ： -1 時(shí)，f(x)min 二 f (-1)= =2 4t -1，得 t - 4 當(dāng)-1 t -1，得 1 - . 3 t -1，得 t 3 由，得：1-、3 2時(shí)，求證：在區(qū)間-1,5 上, y = kx+ 3k的圖像位于函數(shù) f(x)圖像的上方 分

5、析：通過轉(zhuǎn)化思想，將文字語言 y二kx+ 3k的圖像位于函數(shù) f(x)圖像的上方，轉(zhuǎn)化為 符號(hào)語言 g( x)= k( + 3-) -( x + 織+ 5 當(dāng)Ox? 2 x? 1 ,時(shí),g(x)= k(x+ 3)- (- x + 4x + 5) 0恒成立只需g(x)min 0，所以, 本題的實(shí)質(zhì)為區(qū)間最值問題 . . 2 解：當(dāng) x ? 1, 5時(shí)，f (x) = - x + 4x + 5 . . ,16? (k 10)2 64, (k- 10)2- 64 0. . 4- k 當(dāng) 6時(shí)，取 x= - 1， g(x)mi n= 2k 0. . 由、可知，當(dāng)k 2時(shí)，g(x) 0， x? 1,5.

6、 . 因此，在區(qū)間-1,5 上, y= k(x+ 3)的圖像位于函數(shù)f(x)圖像的上方 評(píng)注：因?yàn)閗 2條件的限制，降低了問題的難度，使討論的情況減少 . .很多問題通過轉(zhuǎn)化 思想都可以達(dá)到化生為熟、化未知為已知、化繁雜為簡(jiǎn)單的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的重要性 . .本 題就是轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的一個(gè)典型， 通過轉(zhuǎn)化將本來抽象的問題歸結(jié)到區(qū)間最值的求解， 讓我們有 一種豁然開朗的感覺. . 1 , 5時(shí)|恒成立. .而當(dāng) 2 4- k十 王- k2- 20k + 36 4 k c 4- k 彳 2 , 1. .又- 2 1 ?1，即 2 0且1 -x 0，即-K x 0, (3)當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)y二m

7、t , P | ：2,2的圖像是 開口向下的拋物線的一段. 72 1 i 1) a , ，貝U g a = m a - 2 2 3 I a丿 2a 若 t 1 2, * ，即 a：-| 1,0 ，則 g a 二m 2 二a 2 . a I 2丿 1 a 2, a ： 0, 2 J, 2 . 由得, t的取值范圍是 m t 二 a i t2 -1 t l丿遼丿 =at2 t - a , t 2 1 2 (IIII)由題意知g a即為函數(shù)mt at2，t-a , t 1 1 2 注意到直線t (a=0)是拋物線m t at ta的對(duì)稱軸，分以下幾種情況討論. 2的圖像是開口向上的拋物線的一段，由

8、(1 )當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)y = m t ， t 1 _ t 0 知 mt 在 22 J 2,2 的最大值. 上單調(diào)遞增， ga=m2=a，2 . (2(2)當(dāng) a 二 0 時(shí)，mt 二 t, t V2,21， g(a)=2. 若 t =-丄(0, -2)，即 a : a 則 g a = 若 t = 一1 J2,2，即 a 1 1 1 1 、2, a :綜上有 g(a)-a-丄，-匝 a 2a 2 1 1 1 1 評(píng)注：此題也給我們啟發(fā)：遇陌生或比較棘手的問題時(shí)，可采用化歸、轉(zhuǎn)化思想，將其轉(zhuǎn)化 為熟知的問題、簡(jiǎn)單的問題，從“數(shù)”方面難以入手時(shí)，可考慮借助形來說理 例 5 5 求函數(shù)y =sin2 x psin x - q的最值. . 分析：由已知條件的形式特點(diǎn)，可采用配方法，從而將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值問題， 但要注意_1 sinx 1的條件限制，在此條件限制下，其實(shí)質(zhì)即為區(qū)間最值問題，采用“定” 區(qū)間“動(dòng)”軸法，結(jié)合圖形便可求岀函數(shù) f(x)在區(qū)間-1,1上的最值. . sin x = 1 或 sin x = -1 時(shí)取得. . 若-p 一1，即 P 2，則當(dāng) sin x = -1 時(shí)，ym i n = 1 - P * q ;當(dāng) sin x = 1 時(shí)， ymax =1 p q- (3)(3)若一p 1，即 p