第三章勾股定理單元復(fù)習(xí)

1、第三章勾股定理單元復(fù)習(xí)勾股定理單元復(fù)習(xí)輔導(dǎo)內(nèi)容：第三章勾股定理知識梳理:知識點(diǎn)1.勾股定理（1）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用 a, b和c分別表示直角三;角形的兩直角邊和斜邊 （即：a2+b2=c2）、A、1注息:定理時(shí)勾股定理揭示的是直角三角形三邊關(guān)系的定理，只適用于直角三角形。應(yīng)用勾股,要注意確定那條邊是直角三角形的最長邊，也就是斜邊，在RtA ABC中，斜邊未必定是c,當(dāng) / A=90 時(shí)，a2=b2+c2;當(dāng)/B=90 時(shí)，b2 = a2+c2練習(xí):1.已知一個(gè)Rt的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是（A.25B.14C.7D.7 或 252.求下列圖

2、形中未知正方形的面積或未知邊的長度:知識點(diǎn)2.勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法很多，可以用測量計(jì)算，可以用代數(shù)式的變形，可以用幾何證明,用面積（拼圖）證明，其中拼圖證明是最常見的一種方法。思路: 圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變 根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下:方法一:方法二:方法三:知識點(diǎn)3.直角三角形的判別條件（1）如果三角形的三邊長啊a, b, c,滿足a2+b2 = c2足，那么這個(gè)三角形為直角三角形 （此 判別條件也稱為勾股定理的逆定理）能直接寫成a2+b2 = c20注意：在判別一個(gè)三角式是不是直角三角形時(shí)，

3、a2+b2是否等于c2時(shí)需通過計(jì)算說明，不驗(yàn)證一個(gè)三角形是不是直角三角形的方法是：（較小邊長）+（較長邊長尸（最大邊長）時(shí)，此三角形為直角三角形；否則，此三角形不是直角三角形 練習(xí):1 .以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A、8, 15, 17 B 、4, 5, 6 C 、5, 8, 10 D 、8, 39, 402 .四邊形 ABCDK /B=90° ) AB=3 BC=4 CD=12 AD=13求四邊形ABCD勺面積。知識點(diǎn)4.勾股數(shù)滿足a2+b2 = c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。常見的勾股數(shù)有：03,4,5 6,8,10 8,15,17 7,24,25 5,12,1

4、3 9,12,15 9,40,411.判斷卜列各組數(shù)是不是勾股數(shù)知識點(diǎn)5.勾股定理的應(yīng)用1.勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的 證明問題.在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊構(gòu)造直邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線）角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解.2 .勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角 三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思 考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.3 .勾股定

5、理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體.通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決.例題講解：題型一、應(yīng)用勾股定理建立方程20,例1、若直角三角形兩直角邊的比是 3:4,斜邊長是 求此直角三角形的面積。變式：如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí) 際上岸地點(diǎn)A偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B相距50米，結(jié)果他在 水中實(shí)際游的路程比河的寬度多 10米，求該河的寬度 BC為多少米？拓展:如圖，已知 ABC 中，/B=90° , AB=8cm , BC=6cm , P、Q分別為AB、BC邊上的動點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A

6、開始沿 A? B方向運(yùn)動，且速度為每秒1cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始B-C方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm,它們同時(shí)出發(fā);7出發(fā)的時(shí)間為t秒.(1出發(fā)2秒后，求PQ的長;(2從出發(fā)幾秒鐘后， PQB能形成等腰三角形?(3相等請說在運(yùn)動過程中，直線PQ能否把原三角形周長分成 的兩部分？若能夠，請求出運(yùn)動時(shí)間；若不能夠， 明理由.題型二、勾股定理在折疊問題中的應(yīng)用例2.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊 AC=6cm BC=8cm現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折 疊，使AC恰好落在斜邊AB上，且點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，求CD的長?！咀兪?1如圖所示，折疊矩形的一邊AD使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm BC=10

7、cm求EF的長【變式2】在矩形紙片ABC即，AD=4cm AB=10cm按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D®合，折痕為EF.求DE勺長;【變式3】如圖，夕!形紙片ABCD勺邊A況10 cm, BO6 cm, E為BC上的一點(diǎn).將矩形紙片 沿著AE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊DC的點(diǎn)G處，求BE的長11題型三、確定幾何體上的最短路線例1、如圖所示，有一圓柱形油罐，現(xiàn)要以油罐底部的一點(diǎn)A環(huán)繞油罐建子（圖中虛線），并且要正好建到A點(diǎn)正上方的油罐頂部的B點(diǎn)，已知油罐高AB=5米，底面的周長是的12 米，則梯子最短長度為 米【變式3】如圖，在筆直的鐵路上 A、B兩點(diǎn)相距25km, C、D為兩村莊，DA=10

8、km CB=15kmDA，AB于A, CBL AB于B,現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E,使得G D兩村到E站的距離相等， 求E應(yīng)建在距A多遠(yuǎn)處？【變式1】如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=5, PB=12, PC=13若將PACgg點(diǎn)A逆 時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到 P' AB,求點(diǎn)P與點(diǎn)P'之間的距離及/ APB的度數(shù).A【變式2】如圖，已知 ABC中，AB=5, AC=7, ADXBC于點(diǎn)D ,點(diǎn)M為AD上任意一點(diǎn),求MC2- MB2的值#.勾股定理解就甲乙兩船. ,甲以每 乙船以每 :,甲船到判斷乙:實(shí)際問題從位于南北走向的海岸線上的港口 A同 ；小時(shí)30海里的速度向北偏東35

9、°方向 ；小時(shí)40海里的速度向另一方向航行， 1 C島，乙船到達(dá)B島，B、C兩島相距 船所走方向，說明理由.15例2、省道S226在我縣境內(nèi)某路段實(shí)行限速，機(jī)動車輛行駛速度不得超過60km/h ,如圖，一輛小汽車在這段路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對面車速檢測儀 A處的正前方36m的C處，過了 3s后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為60m,這輛小汽車超速了嗎？小汽在小汽車於、二弋白【變式U臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害,它以臺風(fēng)中心為圓心在周 圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，據(jù) 氣象觀測，距沿海某城市 A的正南方向220km的B處有 一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級，每遠(yuǎn)離臺

10、風(fēng)中心 20km,風(fēng)力就會減弱一級）t臺風(fēng)中心現(xiàn)在正以 15km/h 的速度沿北偏東30°的方向移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變，如圖，若城市所受的風(fēng)力達(dá)到或超過 4級，則稱為受臺 風(fēng)影響.(1)該城市是否受到這次臺風(fēng)的影響？請說明理由；(2)若會受臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長？該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級？反饋測試:1 .如圖，在一次暴風(fēng)災(zāi)害中，一棵大樹在離地面 3米處 折斷，樹的頂端落在離樹桿底 4米處，那么這棵樹折斷 之前的高度是米.2 .直角三角形一條直角邊與斜邊分別為 4 cm和5 cm, 則斜邊上的高等于 cm3 .如圖，在直角三角形 ABC中，Z C= 9

11、0° , AC= 12, BC= 5,則以AB為直徑的半圓的面積為.4 .如圖，在四邊形 ABC珅，/ A= 90° ,若 AB= 4 cm, AD= 3 cm, CD= 12 cm, BC= 13 cm,則四邊形 ABCD勺面 積是.5 .木工師傅要做一個(gè)長方形桌面，做好后量得長為80cm,寬為60 cm,對角線為100 cm,則這個(gè)桌面 .（填“合格”或“不合格”）6 .甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲往東走了 8 km, 乙往南走了 6 km,這時(shí)兩人相距 km7 .如圖，學(xué)校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開 拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”.他們僅僅 少

12、走了步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草.68 .如圖，以RtZXABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直 三角形，若斜邊AB= a,則圖中陰影部分的面積為9 .如圖，在 RtZXABC中，/ BCA= 90°，點(diǎn) D是 BC上點(diǎn)，AD= BD 若 AB= 8, BD= 5,則 CD=.第9盅）10 .動手操作：在矩形紙片 ABC珅，AB= 3, BD= 5,如 圖所示，折疊紙片使點(diǎn) A落在邊BC上的A'處，折痕為PQ當(dāng)點(diǎn)A'在邊BC上移動時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之 移動.若限定點(diǎn)P、Q分別在邊AB AD上移動，則點(diǎn)A' 在邊BC上可移動的最大距離為.八選擇題（每題

13、3分，共30分）11 .下列各組數(shù)中，可以構(gòu)成勾股數(shù)的是（）A . 13, 16, 19 B. 17, 21, 23 C . 18, 24,36D. 12, 35, 3712 .下列命題中，是假命題的是（）A .在4ABC中，若/ B= /C= /A,則AABCM直角三角形B .在 ABC中，若 a2 = （b + c） （b c）,則 AABB 直角三角形C.在ZXABC中，若/A: /B: /C= 3: 4: 5,貝U/XABC 是直角三角形D .在 ABC中，若 a: b: c=5: 4: 3,貝UzXABB 直角三角形13 . 一直角三角形的三邊分別為 2, 3, x,那么以x為邊 長

14、的正方形的面積為（）.A. 13B. 5 C . 13 或 5D. 414 .如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四 正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A B、C D的邊長分別是3, 5, 2, 3,則最大的正方形E的面積是（）19A. 13B. 26C . 47D. 9415 .在 RtZXABC中，/ C= 90° , AC= 3, BC= 4,則點(diǎn) C 到AB的距離是（）.A. 12B. fC. 3 D. 95254416.已知一直角三角形的木板，三邊的平方和為1800 cm2, 則斜邊長為（）.A. 30 cmB . 80 cm C . 90 cmD. 120 cm

15、17 .底面周長為12,高為8的圓柱體上有一只小螞蟻要 從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,則螞蟻爬行白最短距離是（）.A. 10B. 8 C . 5（第17更）（第愚，D. 418 .如圖，已知矩形ABCD&著直線BD折疊，使點(diǎn)C落 在C'處，BC 交AD于點(diǎn)E, AD= 8, AB= 4,則DE的長 為（）.A. 3B. 4C. 5 D. 619 .如圖，四邊形ABC珅，AC BD是對角線， ABB： 等邊三角形，/ ADC= 30° , AD= 3, BD= 5,則CD的長 為（）.A . 3無B. 4 C. 24D. 4.520 .如圖，設(shè)正方體 ABCD- ABCD的棱長為1,

16、黑、白 兩個(gè)甲殼蟲同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以相同的速度分別沿棱向 前爬行，黑甲殼蟲爬行的路線是 AA-AD-，白甲 殼蟲爬行的路線是 AB>BB-，并且都遵循如下規(guī) 則：所爬行的第n + 2與第n條棱所在的直線必須是既不 平行也不相交（其中n是正整數(shù)）.那么當(dāng)黑、白兩個(gè)甲 殼蟲各爬行完第2013條棱分別停止在所到的正方體頂點(diǎn) 處時(shí)，它們之間的距離是（）.A . 0 B. 1C .夜D . 73三、解答題（共40分）21 .如圖，已知在 ABC中，CD!AB于 D, AC= 20, BC = 15, DB= 9.(1) 求DC的長;求AB的長.22 .觀察下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)？32=4+5, 5

17、2=12+ 13, 72=24+25, 92 = 40+41,這到底是巧合，還是有什么規(guī)律蘊(yùn)涵其中呢？請你結(jié)合有關(guān)知識進(jìn)行研究.若132=a+b,則a, b的值可能是多少？23 .如圖所示，一輪船以16 n mi1e/h的速度從港口 A 出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以 12 n mi1e/h的速度 同時(shí)從港口出發(fā)向東南方向航行， 那么離開港口 A2h后， 兩船相距多遠(yuǎn)？無 東北弟口 .41東南 的24.直角如圖是用硬紙板做成的四個(gè)全等的直角三角形，兩 邊長分別是a, b,斜邊長為c和一個(gè)邊長為c的正方形，請你將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形.(1)畫出拼成的這個(gè)圖形的示 意圖；(2)證明勾股

18、定理.b25.如圖，A B兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為 AC= 1 km, BD= 3 km, CD= 3 km現(xiàn)在河邊CD上建一水廠向A B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的 費(fèi)用為20 000元/千米，請你在河CD邊上選擇水廠位置O,使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)26. 30° 時(shí),如圖，公路MNl公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且/ QPN= ，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP= 160米，假設(shè)拖拉機(jī)行駛 周圍100米以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在 公路MN±?& PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否回受到噪聲的影說明理由.如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為 18千

19、 時(shí)，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？23部分參考答案:3:4）斜邊長是20,、若直角三角形兩直角邊的比是 求此直角三角形的面積。思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù), 再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是 3x, 4x,根據(jù)題意得:(3x) + (4x) =20化簡得x=16;i，直角三角形的面積=2 X3xX4x=6x2=96.B拓展【解答】解：（1）出發(fā)2秒后，AP=2, BQ=4,P=8-2=6, PQ=®W=2VH; (3 分)(2)設(shè)時(shí)間為t,列方程得2t=8解得-ixt, t二1

20、s (6 分)(3)假設(shè)直線PQ能把原三角形周長分成相等的兩部分,由 AB=8cm ) BC=6cm )根據(jù)勾股定理可知AC=10cm）即三角形的周長為8+6+10=24cm)貝U有 BP+BQ=,X 24=12,設(shè)時(shí)間為3列方程得：2t+ (8-1Xt) =12,解得t=4,當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動的路程是4X2=8>6,所以直線PQ不能夠把原三角形周長分成相等的兩部 分.(10分)【解答】解：. ABC是直角三角形，AC=6cm, BC=8cm) AB=Jac2+bc2=Js2+屋=10cm).AED >AACD翻折而成， .AE=AC=6cm)設(shè) DE=CD=xcm ) / AE

21、D=90 ° ) . BE=AB - AE=10 - 6=4cm,在 RtZXBDE 中，BD2=DE2+BE2,即(8 x) 2=42+x2,解得x=3.故CD的長為3cm.例2、【解答】解:.ABC為等邊三角形, .AB=AC , / BAC=60 ° ,25PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到 P' AB ,P' AP=/BAC=60°,AP' =AP, BP' =CP=13,AP' P為等邊三角形,.PP，=AP=5, /APP' =60° ,BPP'中，: PP' =5, BP=12, BP' =13,.PP，2+BP2=BP，2,BPP'為直角三角形，/ BPP' =90° ,APB=/APP' +/BPP' =60° +90° =150° .答:150點(diǎn)P與點(diǎn)P'之間的距離為5, /APB的度數(shù)為【解答】解：由題意得：甲2小時(shí)的路程=30X2=60海 里，乙2小時(shí)的路程=40X2=80海里,. 602+802=100%BAC=90° ,島在A北偏東35°方向,B島在A北偏西55°方向.，乙船所走方向是北偏西55°方向.【解答】 解