第5章特殊隨機(jī)變量

1、第第5章章 典型的隨機(jī)分布典型的隨機(jī)分布胡良劍東華大學(xué)理學(xué)院L第2學(xué)院樓543內(nèi)容提要內(nèi)容提要5.1 二項(xiàng)分布5.2 泊松分布5.3 超幾何分布5.4 均勻分布5.5 正態(tài)分布5.6 指數(shù)分布5.8 正態(tài)分布產(chǎn)生的分布5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布l實(shí)例擲10枚硬幣，正面朝上的硬幣數(shù)；定點(diǎn)投籃5次，投中的次數(shù)；旅店預(yù)訂出320個(gè)房間，不來(lái)入住的房間數(shù)；.5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布l伯努利伯努利(Bernoulli)試驗(yàn)試驗(yàn)：在一次試驗(yàn)中，其結(jié)果可以歸為成功和失敗兩類(lèi)。l伯努利分布：伯努利分布：5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布l例：擲5枚骰子，求其中正好出現(xiàn)2個(gè)“6點(diǎn)”的概率？正好出現(xiàn)k個(gè)“6點(diǎn)”的概率？l假設(shè)

2、：5枚骰子獨(dú)立同分布。l對(duì)于每個(gè)骰子， s-出現(xiàn)“6點(diǎn)”, f-不出現(xiàn)“6點(diǎn)”。 P(s)=p=1/6, P(f)=5/6l正好出現(xiàn)2個(gè)“6點(diǎn)”的概率正好k個(gè)6點(diǎn)的概率k=0,1, 55.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布l二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布：伯努利試驗(yàn)“成功”的概率每次都為p, 這樣獨(dú)立進(jìn)行n次，那么“成功”的總次數(shù)X服從參數(shù)為(n, p)二項(xiàng)分布 ，記為XB(n,p)。l二項(xiàng)分布的質(zhì)量函數(shù)：二項(xiàng)分布的質(zhì)量函數(shù)：5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布l單調(diào)性單調(diào)性P(X=i)當(dāng)i(n+1)p遞減。l用用Excel計(jì)算計(jì)算概率質(zhì)量函數(shù)概率質(zhì)量函數(shù)Bin

3、omdist(i,n,p,0)分布函數(shù)（累計(jì)質(zhì)量函數(shù)）分布函數(shù)（累計(jì)質(zhì)量函數(shù)）Binomdist(i,n,p,1)5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布l例5.1.1某公司生產(chǎn)的光碟次品率為0.01，每個(gè)光碟之間是相互獨(dú)立的。公司賣(mài)出光碟10個(gè)一盒，并保證如果每盒中超過(guò)1張次品碟就全額退款。問(wèn)退款的概率有多大？如果某人買(mǎi)三盒，問(wèn)恰退貨一盒的概率有多大？l答案：0.004266，0.012695.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布l例5.1.4 假設(shè)一家計(jì)算機(jī)硬件制造商生產(chǎn)的芯片10%為次品。如果我們訂100個(gè)這樣的芯片，令我們收到的次品芯片數(shù)量為X，則X是一個(gè)二項(xiàng)隨機(jī)變量嗎？l條件獨(dú)立性(每個(gè)芯片是否次品相互獨(dú)立)；重復(fù)

4、性（每個(gè)芯片是次品的概率10%）。5.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布l二項(xiàng)分布的伯努利分解二項(xiàng)分布的伯努利分解：設(shè)XB(n, p)，那么其中Xi相互獨(dú)立，且為相同的伯努利分布l數(shù)學(xué)期望和方差數(shù)學(xué)期望和方差：設(shè)X B(n, p) ，那么l可加性可加性: 如果X與Y獨(dú)立, 且XB(n, p)，YB(m,p)，那么X+YB(n+m, p) 。習(xí)題習(xí)題lP128 ex2, ex5, ex65.2 泊松分布泊松分布l實(shí)例某個(gè)地區(qū)一周內(nèi)發(fā)生的交通事故數(shù)；某個(gè)網(wǎng)頁(yè)一天的訪(fǎng)問(wèn)量；銀行網(wǎng)點(diǎn)10分鐘的顧客數(shù)；一頁(yè)書(shū)的印刷錯(cuò)誤數(shù);.5.2 泊松分布泊松分布l稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松泊松(Poisson)分分布布，如果X只

5、取非負(fù)整數(shù)值0,1,2，且其概率質(zhì)量函數(shù)為l單調(diào)性單調(diào)性： i 時(shí)遞減。lExcel計(jì)算計(jì)算：概率質(zhì)量函數(shù)Poisson(i, , 0)分布函數(shù)Poisson(i, , 1)5.2 泊松分布泊松分布 =45.2 泊松分布泊松分布l泊松分布矩母函數(shù)l泊松分布數(shù)學(xué)期望和方差5.2 泊松分布泊松分布l二項(xiàng)分布的泊松近似二項(xiàng)分布的泊松近似：設(shè)XB(n, p) 。當(dāng)n很大p很小時(shí)，其分布近似于參數(shù)為 =np的泊松分布，即l證明：5.2 泊松分布泊松分布l例(1)某微信群有20人，每人在1小時(shí)內(nèi)發(fā)言的概率為0.1，且相互獨(dú)立。求1小時(shí)內(nèi)發(fā)言人數(shù)超過(guò)3人的概率。l解：二項(xiàng)分布l(2)某微信群有200人，每人

6、在1小時(shí)內(nèi)發(fā)言的概率為0.01，且相互獨(dú)立。求1小時(shí)內(nèi)發(fā)言人數(shù)超過(guò)3人的概率。l解：用泊松分布近似5.2 泊松分布泊松分布l例5.2.1 假設(shè)某段高速公路平均每周發(fā)生的事故數(shù)為3。計(jì)算一周至少發(fā)生一起事故的概率。5.2 泊松分布泊松分布l泊松分布的可加性泊松分布的可加性: 獨(dú)立的泊松隨機(jī)變量之和仍為泊松隨機(jī)變量. l具體地說(shuō)，設(shè)X1和X2為相互獨(dú)立的泊松隨機(jī)變量，它們的均值分別為1和2, 那么X1+X2為均值是1+2的泊松隨機(jī)變量。l證明：利用矩母函數(shù)。5.2 泊松分布泊松分布l例 5.2.4 如果保險(xiǎn)公司平均每天處理的索賠數(shù)量是5，且不同天的索賠數(shù)量是相互獨(dú)立的。問(wèn)：從長(zhǎng)期來(lái)看，索賠數(shù)量小于

7、3件的天數(shù)所占的比例是多少？ 5天中恰好有3天的索賠數(shù)量是4件的概率是多少？ 5天中索賠數(shù)量總數(shù)是12件的概率是多少？習(xí)題習(xí)題lP256 ex11, ex13, ex165.3 超幾何分布超幾何分布l模型：一個(gè)盒子里有N只白球，M只黑球。隨機(jī)選取(沒(méi)有重復(fù)) n只，則取得的白球數(shù)服從超幾何分布。l稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為(N, M, n)的超幾何分超幾何分布布，如果概率質(zhì)量函數(shù)為5.3 超幾何分布超幾何分布l例5.3.1 從20個(gè)有用的組件中隨機(jī)地選出6個(gè)組件，組成了一個(gè)6個(gè)組件系統(tǒng)。當(dāng)6個(gè)組件中至少有4個(gè)組件合格，則所組成的系統(tǒng)能夠運(yùn)作。如果20個(gè)組件中有15個(gè)組件合格，那么所組成的系統(tǒng)能夠運(yùn)

8、作的概率為多少？5.3 超幾何分布超幾何分布例5.3.2 居住在某個(gè)地區(qū)的動(dòng)物的數(shù)量未知，設(shè)為N?？茖W(xué)家們做了如下的試驗(yàn)：他們捕獵了若干動(dòng)物數(shù)量設(shè)為r，以某種方式標(biāo)記它們?cè)籴尫?。?biāo)記的動(dòng)物在區(qū)域內(nèi)分散一段時(shí)間后重新進(jìn)行捕獵，設(shè)捕獲的動(dòng)物數(shù)量為n, 我們令X表示在第二次捕獵當(dāng)中被標(biāo)記的動(dòng)物的數(shù)量，那么它服從參數(shù)(r, N-r, n)的超幾何分布5.3 超幾何分布超幾何分布l假設(shè)X的觀測(cè)值為i，也就是說(shuō)在第二次捕獵當(dāng)中被標(biāo)記的動(dòng)物所占比例為i/n，把這個(gè)比例作為整個(gè)區(qū)域中被標(biāo)記動(dòng)物所占比例r/N的近似值，我們能夠得到整個(gè)區(qū)域動(dòng)物總數(shù)的估計(jì)值為nr/i。l例如，初始被捕的動(dòng)物數(shù)量r=50，把這些動(dòng)物

9、標(biāo)記再釋放，第二次被捕的動(dòng)物數(shù)量n=100，其中被標(biāo)記的動(dòng)物數(shù)量X=25，然后我們能夠估計(jì)出在整個(gè)區(qū)域動(dòng)物的總數(shù)大約為200。5.3 超幾何分布超幾何分布l設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為(N, M, n)的超幾何分超幾何分布布，則l其中p=N/(N+M)l證明參照第4章習(xí)題33.5.3 超幾何分布超幾何分布l模型：一個(gè)盒子里有N只白球，M只黑球。獨(dú)立重復(fù)隨機(jī)選取n只（取一個(gè)記顏色后放回再取下一個(gè)），則取得的白球數(shù)服從二項(xiàng)分布B(n, N/(N+M)l超幾何分布的二項(xiàng)分布近似：當(dāng)N和M比起n大很多，參數(shù)為(N, M, n)的超幾何分布近似超幾何分布近似于于B(n, N/(N+M) 。5.3 超幾何分布超

10、幾何分布l模型：設(shè)有兩個(gè)盒子都有大量白球和黑球，其中白球的比例都為p，現(xiàn)從兩個(gè)盒子分別取n, m只球。那么兩個(gè)取出的白球數(shù)分別服從B(n,p)和B(m,p)。l問(wèn)題：若已知兩個(gè)盒子取出的白球數(shù)之和是k, 問(wèn)第一個(gè)盒子取出的白球數(shù)服從什么分布？l答：參數(shù)為(n, m, k)的超幾何分布超幾何分布習(xí)題習(xí)題lP129 ex18, ex205.4 均勻分布均勻分布定義：定義：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間, 上等可能取值，則其密度函數(shù)稱(chēng)為區(qū)間, 上的均勻均勻分布分布。5.4 均勻分布均勻分布例5.4.2公交車(chē)上午7點(diǎn)出發(fā)每隔15分鐘在某站?？恳淮?，也就是說(shuō)在該站的停靠時(shí)間為7:00,7:15,7:30,7:45等等. 如果一個(gè)乘客到達(dá)該站的時(shí)間在7:00和7:30之間并且服從均勻分布，解出他等待公交的時(shí)間的概率(a) 等待公交的時(shí)間小于5分鐘；(b) 等待公交的時(shí)間至少為12分鐘。5.4 均勻分布均勻分布l數(shù)學(xué)期望和方差：設(shè)X服從區(qū)間, 上的均勻分布，