第6章(中科大-電磁場(chǎng))

1、6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程6.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解6.4 波印亭定理波印亭定理6.5 唯一性定理唯一性定理6.6 準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)與準(zhǔn)靜態(tài)近似準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)與準(zhǔn)靜態(tài)近似6.6 廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理本章目錄：本章目錄： 第六章第六章 時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)變電磁場(chǎng)0fBEtDHJtBD 時(shí)變場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖電磁感應(yīng)定律全電流定律Maxwell方程組分界面上銜接條件動(dòng)態(tài)位A A ,達(dá)朗貝爾方程時(shí)諧電磁場(chǎng)坡印亭定理與坡印亭矢量電磁幅射( 應(yīng)用 )6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程一、麥克斯韋方程與邊界條件一、麥克斯韋方程與邊界

2、條件 英國科學(xué)家麥克斯韋將靜態(tài)場(chǎng)、恒定場(chǎng)、時(shí)變場(chǎng)的電磁基本特性用統(tǒng)一的電磁場(chǎng)基本方程組高度概括。電磁場(chǎng)基本方程組是研究宏觀電磁場(chǎng)現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。他在1864年英國皇家學(xué)會(huì)宣讀的論文“電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)理論”中，提出了電磁場(chǎng)的普遍方程，即現(xiàn)在的麥克斯韋方程，其主要貢獻(xiàn)在于總結(jié)了靜電學(xué)和靜磁學(xué)的物理規(guī)律以及電磁感應(yīng)定律，借用矢量分析這一數(shù)學(xué)工具表達(dá)為簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)方程，即電磁場(chǎng)的散度、旋度方程，引入了位移電流的概念，消除了方程中的矛盾，提出了這些方程普遍成立的假設(shè)，進(jìn)一步預(yù)言了電磁波的存在，1868年，麥克斯韋在他的論文“關(guān)于光的電磁波理論”中，提出光也是一種電磁波，只不過頻率較高而已，一切頻率的電磁波都

3、可以產(chǎn)生。 1888年德國物理學(xué)家赫茲用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了電磁波的存在。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程0: fED環(huán)路定理靜電場(chǎng)高斯定理當(dāng)由靜電場(chǎng)變?yōu)闀r(shí)變場(chǎng)時(shí)，由電磁感應(yīng)定律BEt 高斯定律中電位移矢量已經(jīng)包含了極化電荷的效應(yīng)，所以它依然適用于時(shí)變場(chǎng)，唯一不同的是電位移矢量和自由電荷密度均為時(shí)變場(chǎng)量而已。fD變化的磁場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程: 0fHJB安培定理靜磁場(chǎng)高斯定理00ffHJJtt 對(duì)安培定律兩邊取散度（）由電荷守恒定律顯然當(dāng)為時(shí)變場(chǎng)時(shí)，上面兩式矛盾。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程120lSlSH dlJ dSiH dlJ dS矛盾想象一個(gè)電容器與時(shí)變電壓源相連上述

4、矛盾導(dǎo)致麥克斯韋斷言，電容器中必須有電流存在，由于電流不能由傳導(dǎo)產(chǎn)生，他將它稱為位移電流（Displacement current）6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程20/fffffDJtDDJJttDADmtHJt 高斯定理電荷守恒定律定義：為位移電流密度（）由于位移電流的存在使得不僅變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)，變化的電場(chǎng)也可以產(chǎn)生磁場(chǎng)，即隨時(shí)間變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以作為對(duì)方的漩渦源，這樣即使在沒有電荷電流的區(qū)域，電磁場(chǎng)也可以再產(chǎn)生和傳播。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程( ),uu tEDEdd位移電流密度位移電流)dtdu(dtDJDCSDDidtduC)dtdu(dSdSJi解：忽略極板的邊緣效應(yīng)

5、和感應(yīng)電場(chǎng) 例 已知平板電容器的面積為 S , 相距為 d , 介質(zhì)的介電常數(shù) ，極板間電壓為 u(t)。試求位移電流 iD；傳導(dǎo)電流 iC與 iD 的關(guān)系是什么?電場(chǎng)6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程0fDHJtBEtBDB 由于磁力線永遠(yuǎn)是閉合的，所以靜磁場(chǎng)的高斯定理依然成立，只是磁感應(yīng)強(qiáng)度 為時(shí)變的而已全電流定律電。所以可以得到麥克斯韋方程組磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性：原理高斯定律6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程21212121 ()()0 ()0()sfsfnDDnEEnBBnHHJ邊界條件麥克斯韋第一、二方程是獨(dú)立方程，后面兩個(gè)方程可以從中推得。靜態(tài)場(chǎng)和恒定場(chǎng)是時(shí)變場(chǎng)的兩種特殊形式。6.1

6、麥克斯韋方程麥克斯韋方程四個(gè)方程所反映的物理意義全電流定律表明傳導(dǎo)電流和變化的電場(chǎng)都能產(chǎn)生磁場(chǎng)；電磁感應(yīng)定律表明電荷和變化的磁場(chǎng)都能產(chǎn)生電場(chǎng)；磁通連續(xù)性原理表明磁場(chǎng)是無源場(chǎng),磁力線總是閉合曲線；高斯定律表明電荷以發(fā)散的方式產(chǎn)生電場(chǎng)(變化的磁場(chǎng)以渦旋的形式產(chǎn)生電場(chǎng))。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程23111EBJttErBrEBr通常稱 ， 為一次場(chǎng)源， 和為二次場(chǎng)源所以電流電荷分布在有限區(qū)域時(shí)：靜電場(chǎng) 只由自由電荷產(chǎn)生靜磁場(chǎng) 只由自由電流產(chǎn)生時(shí)諧場(chǎng)，由變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)產(chǎn)生（根源就是有二次場(chǎng)源）6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程0ffJJt從方程來看是需要聯(lián)立求解，從一次場(chǎng)源來看，電荷和電流分布

7、一般不能獨(dú)立給定，須滿足靜電靜磁問題例外，因?yàn)?不隨時(shí)間變化，所以不論其空間分布如何，不影響，也就是為什么可以對(duì)靜電靜磁問題分別獨(dú)立的進(jìn)行研究的原因。而一般的時(shí)變場(chǎng)，電和磁電荷守恒定律（）。電荷守恒定律可以由麥克斯韋除了電荷密度和電方程導(dǎo)出流密度相是不能互有制電磁場(chǎng)為統(tǒng)一約以外，還因?yàn)轶w變分開，。的化的電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程DEBHJEDEBHJEDEHBHEJEDEHBHEJE線性各向同性 線性各向異性 線性雙各向同性 線性雙各向異性 （求解電磁場(chǎng)，還須知其）本 構(gòu)關(guān)系 6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程21212121()()0()0()sfsfE

8、BDHEHDBnDDnEEnBBnHHJ物理上： 和 對(duì)稱， 和對(duì)稱數(shù)學(xué)上： 和對(duì)稱， 和 對(duì)稱只有電荷電流，場(chǎng)量的對(duì)稱性 場(chǎng)源的不對(duì)稱（一次）：交界處麥克斯韋方程形式上的對(duì)稱性沒有磁的邊界件荷磁流條：6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程二、二、時(shí)諧電磁場(chǎng)（即周期性電磁場(chǎng)）時(shí)諧電磁場(chǎng)（即周期性電磁場(chǎng)） 靜態(tài)平衡時(shí)間軸上場(chǎng)源的分布不變動(dòng)態(tài)平衡周期性平衡：周期性變化特點(diǎn)：周期性電磁場(chǎng)的建立也是需要一定的時(shí)間，剛開始時(shí)并不是周期性的只有經(jīng)過一段時(shí)間后才達(dá)到平衡狀態(tài)。例如交流電路。后兩章以及以后的微波雖然電磁場(chǎng)隨時(shí)間變化，但經(jīng)過一個(gè)周期回到原來狀態(tài) 在每個(gè)周期技術(shù)、天線理論主要研究這種狀態(tài)。即相對(duì)周期而言

9、也是不變的，可以將恒定電流內(nèi)場(chǎng)觀察時(shí)，場(chǎng)的行為相同的許多規(guī)律搬過來。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程1、時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示Re()( )( )cos( )( )()(jwtAAejrmmmAAArwtrA rAAA rArr e一一對(duì)應(yīng)標(biāo)量場(chǎng)因此復(fù)數(shù) 完全可以代表時(shí)諧場(chǎng)量幅值代表時(shí)諧標(biāo)量場(chǎng)的振幅( )( )2( )sin( )( )Re( )Re( )( )cos( )(2( )sin( )jrmmj wtrjwtmmmwAAtrwtrjwAr ejwA r ewAr ewArwtrwArwtrjwA r 6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程0*00*cos()cos()11cos()cos()

10、11 cos(2)cos()221cos()21Re()1Re()22*mAmBTTmAmBTmmABABmmABAAwtBBwtABdtTAwtBwtdtTA BwtdtTA BBABBAA 其中 表示共軛6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程Re()( )Re( )cos( )cos( )( )( )( )( )cos( )( )cos( )cos( )jwtxxxyAA ejrxxyzxmxmxxymyzmzxxmAyymyAA xA yA zArwtrxAArwtrA rAr eAArwArwtryArwtrztr一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)矢量場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示由)( )Re()( )Re()( )()(

11、)cos( )( )( )jwtyyjwtzzzjwtA ejryymAA ejrzzAmzzmAxzzeyA rAr eAArwtrA rAr eAAA xA yA z一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程222222xyzxyzAAAAAAAA說明：，或者說即使定義了也沒有物理意義，因?yàn)橐话闱闆r下矢量場(chǎng)的，矢量場(chǎng)的振幅大小矢量場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的復(fù)矢量場(chǎng)通（或者說模各個(gè)分量的相角不一定相）。因此沒有任何意義，既不能同不是一表示矢量常情況下場(chǎng)的大小個(gè)常，更沒有模不能念數(shù)的概代表模。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程222cos()xyjmmmxmymzmxmyzzmmmAA eAAA xA y

12、A zAAAAwtAA只有當(dāng)三個(gè)分量的相位相同時(shí)，其中為實(shí)矢量此代表時(shí)故可定矢量即義時(shí)場(chǎng)的振幅*1Re211ReRe22A BA BA BA BAB復(fù)矢量的點(diǎn)乘和叉乘與實(shí)矢量的點(diǎn)乘叉乘形式上相同，但沒有幾何意義。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程2、時(shí)諧場(chǎng)的麥克斯韋方程組0ffHJjwDEjwBBDjwt 此時(shí)我們可以把實(shí)矢量換成復(fù)矢量，把6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程w由于二散度方程不獨(dú)立，可由二旋度方程得到，所以相應(yīng)地，交界處僅需考慮兩個(gè)切向說明：（旋度方程滿足后，自動(dòng)滿足散度方程，若 =0，則為靜電靜磁場(chǎng)，相條件即可?；オ?dú)立）00()0(0)(),ffffwEjEjwBBHJjwDwBJ

13、Djw 由6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程000000000fffffJEEDEJwEjwBBHJjDBwDJHDE 理想導(dǎo)體的內(nèi)部由有限若，則0=即理想導(dǎo)體電流只分布在邊界條件于外表面222200sfsfn DnEn BnHJ邊界條件6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程00ffffffffBHJDwDEBHJwDEBHJEBHJDEB與恒定電流場(chǎng)中的理想導(dǎo)體的區(qū)別，那里， ，不為零，即電學(xué)量（ ， ，）為零，磁學(xué)量（ ， ，）不為零。自然！在時(shí)諧場(chǎng)中，電和磁不能分開，變化的電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)，不可能電學(xué)若，則 ， ， ， ，均為零若 ，則 ， ，均為零， ， ，不量（ ，）為零，磁

14、為說：學(xué)量（明零fHJ， ，）不為零。6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程()0)000ffffffffJjwjwJED 此即為平衡由（0前面提到，時(shí)諧場(chǎng)是一種周期性平衡狀態(tài)，建立這種平衡狀態(tài)需要一定的時(shí)間，可以根據(jù)平衡狀態(tài)這一點(diǎn)計(jì)算導(dǎo)電介質(zhì)中建立平衡狀態(tài)所需時(shí)間的數(shù)量級(jí)即馳豫時(shí)間，推線性均勻各向?qū)Х椒敖Y(jié)果同性導(dǎo)電和前面恒介質(zhì)（0）定電流場(chǎng)標(biāo)部志內(nèi)中的推導(dǎo)及結(jié)果完全相同。即6.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程0)ffffJjwwJ 因?yàn)楸仨毞碾姾墒睾愣芍灰植即_定，則已，經(jīng)電荷分布完完全確定，全由電流不存在任分布何決定（。自由度。6.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示一、一、矢量位矢量位

15、和標(biāo)量位和標(biāo)量位 Apotential of Kinetic St000ateBAAEBBAEEAEtttAEtttAA 仍從電磁場(chǎng)的基本方程出發(fā)：因?yàn)?不唯一，所以導(dǎo)致 也不唯一注：當(dāng)，退化為靜磁場(chǎng)的矢量位和靜電場(chǎng)的電位，在靜電場(chǎng)中的電位有物理意、 稱為動(dòng)態(tài)位義，但（）在時(shí)變場(chǎng)中沒有，為數(shù)學(xué)量。6.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示()()()()()AAEttAEAAtttAAtBAt 證：令，其中 為任意標(biāo)量函數(shù)，則即所以6.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示)()AEBAA這樣一個(gè)變換( 、，使得所表示的電磁場(chǎng)量不變，這樣的位函數(shù)變換即為在適當(dāng)?shù)淖儞Q下，矢量位和標(biāo)量位所描述

16、的電磁場(chǎng)保持不變的性質(zhì)用了位函數(shù)后，求解規(guī)范變換。規(guī)的場(chǎng)（ 、 ）分量由原來的6個(gè)變成范不變性（了 個(gè)、4）6.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示二、二、 滿足的方程滿足的方程 20()fffDEBHADtAt 設(shè)介質(zhì)為線性均勻各向無損同性介質(zhì)，即A、6.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示2222()()()ffDBJtBAAAAJAAEtttAtt 又有AA利用位函數(shù)有自上面兩式即可求出 、 ，由度（可表示為相差一但其兩式中均含有 、 ，不好求解，我們個(gè)函數(shù)，不唯一）加限制條件可以從而簡(jiǎn)化。6.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示22221()(1)()ffffffDAHJA

17、JttAAJAttADttAt 由洛倫茲規(guī)范（條件）6.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示222222(0ffAtAAJtt （所以規(guī)矢量定洛倫茲規(guī)范)稱為達(dá)朗貝爾方程或）（標(biāo)量）波動(dòng)方程1000jwtAjwwAAjwwA 對(duì)時(shí)諧場(chǎng)，只要把，所有推導(dǎo)公式均成立特別有，若，即只要求出 即可可由洛倫茲規(guī)范求得的時(shí)諧場(chǎng)為靜電靜磁場(chǎng)， 、 必須各自單獨(dú)求解6.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示222222()()()AAAAtttAttAAtt 對(duì)確定的電磁場(chǎng)選擇一組 、 ，使其滿足洛倫茲條件是完全可能的。若不滿足，則通過適當(dāng)?shù)囊?guī)范變換使之滿足。若 、 不滿足洛倫茲條件，則為使 、滿足洛倫

18、茲條件，則應(yīng)滿足：因此只要選擇使它滿足上式證說明：，則可使AA即使 、 滿足洛倫茲規(guī)范，也可以通過上式得到新的一組位函數(shù)使其滿足洛倫茲規(guī)范，因此即使在洛、滿足洛倫茲規(guī)范，同時(shí)可倫茲規(guī)范下位函數(shù)仍是不以看出：唯一的。6.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示2fAJ 2) 若場(chǎng)不隨時(shí)間變化，波動(dòng)方程蛻變?yōu)椴此煞匠搪鍋銎潡l件是電流連續(xù)性原理的體現(xiàn)。1） 洛侖茲條件的重要意義/f 2簡(jiǎn)化了動(dòng)態(tài)位與場(chǎng)源之間的關(guān)系，使得 單獨(dú)由 決定， 單獨(dú)由 決定，給解題帶來了方便；AfJf6.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示電磁場(chǎng)的位函數(shù)表示2222(2)0ffAAJtAAtA 庫侖規(guī)范在庫侖規(guī)范下， 的公式最簡(jiǎn)單， 、

19、確定，即不同的 、 之間最多相差一個(gè)任意常矢量或常數(shù)。若不隨時(shí)間變化，則退化為靜電靜磁場(chǎng)方程。6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解222222220000111ffACAJCtCt 令真空中的光速，代表電磁波在無限大空間沒有介質(zhì)時(shí)的傳播求解區(qū)域：無限大空間介質(zhì)：真空、源區(qū)分布：電荷電流速度。則達(dá)朗貝分布（矢量）（標(biāo)量）爾方在程有限空間可以寫為：6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解一、一、標(biāo)量格林函數(shù)標(biāo)量格林函數(shù) 22220( , ,1()( )1()GGrrtGtrGG r rGq tttttC 注意： 與靜電場(chǎng)中的格林函數(shù)稍有差別，即不能取為，否意義：代表了 時(shí)刻位于 處單位點(diǎn)電荷單

20、位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的標(biāo)量位即則帶電量不隨時(shí)間變化，最終結(jié)果也不隨定義：無限遠(yuǎn)處無場(chǎng)變?cè)磿r(shí)間化。6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解00()() (0)0ffrrtt dVdtqdVqGrrrtrrtttG，但不完全相同。，求出的為，若求 則需在時(shí)間上積分。由于整個(gè)問題以 為中心球?qū)ΨQ，因此只須求時(shí)的格林函數(shù)即可， 為任意位和電位 對(duì)應(yīng)，單位時(shí)間置時(shí)，作個(gè)即可。同樣只須求時(shí)單內(nèi)的與平行位點(diǎn)電荷的場(chǎng)， 不為零時(shí)，變換時(shí)間軸上標(biāo)量位對(duì)應(yīng)在作平移即可6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解00,000220202001( ,0, ,0)( ,0, ,0)( ,0, ,0)( , )1( ,1( )()0

21、,rtGGG rtG rtG rtr tGrr tGGGrtCrrtGr tr 球?qū)ΨQ性由于處為奇、求由定義知：由于，所以可設(shè)另外，所以令（原因點(diǎn)無限遠(yuǎn)處無場(chǎng)源是當(dāng)電荷分布不隨時(shí)間變化，退化成靜電場(chǎng)格林函數(shù)，應(yīng)有，這樣令后，沒有奇點(diǎn)，否則無法和靜電場(chǎng))吻合6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解22033331( , )1()()r trGrrrrrrrrrr 由于沒有奇點(diǎn)，所以可將算子用微分算子表示：222222222220212()2214( )14)( )(rrrrr rrrrrrrrrrrrrrrGrrr 6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解22002222222( , )()(1

22、( ) ( )10( )0,0),( )0Grrr tg th tCA rGrtCtrCtg hCtt 將上式帶入其通解為其中為時(shí)任意函數(shù)6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解通解的物理意義：()rg tC的物理意義()()r C trg ttg tCC 有tttrrC t 當(dāng)時(shí)間從信號(hào)從6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解()0gtrCrtrCrrg tC在時(shí)間內(nèi)經(jīng)過距離后不變，說明它是以有限速度向 方向傳播稱之為入射波。或者說： 時(shí)刻觀察點(diǎn)的場(chǎng)取決于場(chǎng)源所在位置前一時(shí)刻的狀態(tài)，它代表的是，而正好為電磁波從的原點(diǎn)傳播到觀察點(diǎn)所需的時(shí)間，也就是觀察點(diǎn)感受到場(chǎng)源（點(diǎn)電荷）產(chǎn)生的場(chǎng)的作用推遲

23、的時(shí)間，物推遲理上的物理合理意位義是，保留！6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解()rh tC的物理意義()()rC trh tth tCC 有()(hrh ttrCrCrtCtht在時(shí)間內(nèi)經(jīng)過距離后不變，說明它是以有限速度 向(-方向傳播稱之為反射波，無限大空間無反射，舍去?；蛘哒f： 時(shí)刻觀察點(diǎn)的的物理意義是場(chǎng)取決于場(chǎng)源實(shí)所在位置時(shí)刻以后際上表示由無限遠(yuǎn)超前位因處向內(nèi)傳果關(guān)系顛倒，舍去的狀態(tài)，它代表的是，因此，這里舍去，在其它問題中可波！播的能保留。tttrrC t 當(dāng)時(shí)間從信號(hào)從6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解( , )()rr tg tC所以2222200,00,0()()1

24、1 14( ) ()( ) ( )004( )0( )1( )(0,011()()4)( )4Brtrtrtrrg tg trCCrrGg ttrCrCr g trtCrrC rrrg ttg tt 上述解僅對(duì)成立，代回原方程使得在時(shí)也成立對(duì)上式兩邊包含點(diǎn)的球體積積分，且球半徑趨于包含時(shí)6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解01( , , )(20),40RG r r t tttRCrrtrGrRt 其代表了 時(shí)刻位于 處單位點(diǎn)電荷單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的、時(shí)中標(biāo)量位。6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解二、二、達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解 0001( , )()41( , )()41( ,

25、)4VVRdr t dVttRCRdtr t dVttRr tdVRCRC6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解000( ,)41(xyVzRJ r tCAA xAVyJzAdRA對(duì)于，可對(duì)每個(gè)分量作如上計(jì)算，然后疊加。得： 或者作替換，即可)RttC 場(chǎng)與時(shí)間有關(guān)，觀察點(diǎn)場(chǎng)在某一時(shí)刻的狀態(tài)與前面源區(qū)某一時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)（滯后效應(yīng)）。其中不是常數(shù)，對(duì)于不同的源，對(duì)應(yīng)不同的前一時(shí)刻。6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解00()Retarded Potenti*al1(/ )*tRtACCm s 達(dá)朗貝爾方程解的形式表明： 時(shí)刻的響應(yīng)取決于時(shí)刻激勵(lì)源 的情況，故又稱 ， 為滯后位（ ）電磁波是

26、以有限的速度傳播的，這個(gè)速度稱為波速電磁波在真空中的波速與光速相同，光也是一種電磁波。6.3 達(dá)朗貝爾方程的解達(dá)朗貝爾方程的解001(/ )(*)()Cm srg trg tdrCtCrtconstCrC tconCrCstdt 為何將達(dá)朗貝爾方程中的定義為速度？它具有速度的量綱，且通解中的經(jīng)過后保持不變，必然有 自變量不表明：是一個(gè)以速度 沿著 方向變，即前進(jìn)的波。6.4 波印亭定理波印亭定理電磁場(chǎng)作為一種物質(zhì)形式是具有能量的。電磁能量符合自然界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)過程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定律坡印亭定理；坡印亭矢量是描述電磁場(chǎng)能量流動(dòng)的物理量。( )( )Dr EBr H介質(zhì)：線性、各向同性6.4 波印亭定

27、理波印亭定理DEHE JEtBHEHDHJtBEtEHDBEHHEJ EEHttt 由麥克斯韋方程出發(fā)：-一、一、波印亭定理波印亭定理 6.4 波印亭定理波印亭定理()1()21()21()21()2EHHEHEEEE EttHHH HttDEE DttBHB Htt 11()()2211()(1)22SVVEHJ EE DS dSJ EdVE DSEB H dVtHB Ht 波印亭定理的微分形式波印亭定令理的積分形式6.4 波印亭定理波印亭定理12ePJ EVwE D 令：為功率密度，根據(jù)焦耳定律，代表（或電流）所作的功（磁場(chǎng)不作功）。（體積分則表示電場(chǎng)對(duì)體積 內(nèi)運(yùn)動(dòng)電荷單位時(shí)間所作的功）：

28、（當(dāng)場(chǎng)為靜電場(chǎng)時(shí)，為靜電場(chǎng)能量密度，即單位體積內(nèi) 存儲(chǔ)在靜電場(chǎng)中的能量）這里 代表。即代表時(shí)變電場(chǎng)的能 量密度，即電電場(chǎng)單位時(shí)間內(nèi)對(duì)單位體積內(nèi)的運(yùn)動(dòng)電荷瞬時(shí)的能量密磁場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，單位體積內(nèi) 度 存儲(chǔ)ew的電場(chǎng)能量仍為。6.4 波印亭定理波印亭定理12mmemwB HwwwwV：（當(dāng)場(chǎng)為靜磁場(chǎng)時(shí)，為靜磁場(chǎng)能量密度， 即單位體積內(nèi)存儲(chǔ)在靜磁場(chǎng)中的能量） 這里代表。即代表時(shí)變 瞬時(shí)的能量密度磁場(chǎng)的能量密度，即電磁場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)， 單位體積內(nèi)存儲(chǔ)的磁場(chǎng)能量仍為。這樣為電磁場(chǎng)總的能量密度，代表單位體積內(nèi)存儲(chǔ)的電磁場(chǎng)的總能量。（體積分表示 內(nèi)存儲(chǔ)的電磁場(chǎng)的總能量）6.4 波印亭定理波印亭定理211/V

29、VVVVSEHW m既對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷作了功，又增加了自己的現(xiàn)考慮： 內(nèi)沒有外力，即沒有非電磁場(chǎng)力（沒有電源等），根據(jù)能量守恒，能量既不能產(chǎn)生，也不能消失，只能轉(zhuǎn)換：（）式右邊表明電磁場(chǎng)這部分能量從何而來？只能由 外的電磁場(chǎng)傳遞到體積 內(nèi)，因此（）式左邊為能流密度矢量或應(yīng)代表 外傳遞到波印亭矢量（內(nèi)的能量。稱：能量）emSVVS dSJ EdVwdVwwwt 反映存儲(chǔ)能量反映交換能量6.4 波印亭定理波印亭定理SdSEHSS方向：代表電磁場(chǎng)能量的傳輸方向大小：代表內(nèi)流過垂至于 傳輸方向的能量， （或者說流過垂至于傳輸方向 單位面積的功率）（1單位時(shí)間單）式稱為表波印亭定理（1示流出能量，加）負(fù)位面積

30、式中 號(hào)表示流入6.4 波印亭定理波印亭定理( )2IVab 例：同軸線中內(nèi)外導(dǎo)體流有相反方向的恒定電流 ，內(nèi)外導(dǎo)體的電位差為，內(nèi)導(dǎo)體半徑為 ，外導(dǎo)體半徑為 ，求同軸線的傳輸功率。（1）（ ）22212212lr IIrraarHaHIarbrdlI 解：（）由安培環(huán)路定理22ln2l0nlnrfrfSbfrfaEE rQED dSQrQbVraE drVQbaVErarbbraa由高斯定理6.4 波印亭定理波印亭定理6.4 波印亭定理波印亭定理2202l22lnnbSaraIVzSEHIVPS dSrdrIVbrabbrara所以傳輸功率討論：沿同軸線傳輸?shù)墓β实扔陔妷汉碗娏鞯某朔e，與電路理

31、論的結(jié)果一致，當(dāng)導(dǎo)體為理想導(dǎo)體時(shí)，能流密度只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間電源提供的能量全部被負(fù)載電阻吸收。功率的傳輸全部是在內(nèi)外導(dǎo)體之間進(jìn)行的，導(dǎo)體的作用只是起了，而不是象電路理論所得到的印象那引導(dǎo)電磁場(chǎng)能量定向流動(dòng)的作用，樣（能量是在導(dǎo)體中傳輸?shù)模?10/10/5電子定向漂移速度約米 秒，金屬中電子平均熱運(yùn)動(dòng)速度約米 秒6.4 波印亭定理波印亭定理2221lnln2lnllIzraaRrEaIVR zIbrzarbbaraaHIb （ ）同上，表達(dá)式不變，只是 變其中為內(nèi)導(dǎo)體小單位長(zhǎng)度電阻20(*),0zzzr ar bEIEEa2滿足的方程和邊界條件為(*)6.4 波印亭定理波印亭定理242222

32、()2ln()2ln2ln(llzSIrrraarIVR zI IbzrarbSSEHPS dbararabVR zzSI Ir所以 有兩個(gè)分量傳輸能量）和6.4 波印亭定理波印亭定理6.4 波印亭定理波印亭定理22222rllrlPIaI RI RIraRP導(dǎo)體表面時(shí)，結(jié)果一致討論：為單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的熱損耗功率，由恒定電流產(chǎn)生的電場(chǎng)可知，電既代表電場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷所作的功，也代表熱能，這意味場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷所作的功全部著傳輸?shù)綄?dǎo)體中的能量全部轉(zhuǎn)化為被熱熱能，故損耗掉。2224ln(lnlrrbR IarbaPbI rraa單位長(zhǎng)度的補(bǔ)充能量）=6.4 波印亭定理波印亭定理二、時(shí)諧場(chǎng)的二、時(shí)諧場(chǎng)的波印

33、亭定理波印亭定理 *1Re221SSEHEHEHS前面討論的一般形式的波印亭定理對(duì)時(shí)諧場(chǎng)也成立，但對(duì)時(shí)諧場(chǎng)我們一般關(guān)心的是能量或功率的，而不是。由復(fù)數(shù)形式可知：所以定義：為復(fù)波印亭矢量（其實(shí)部為能 流密度矢量瞬時(shí)值一個(gè)周期內(nèi)的均在平值平均值）6.4 波印亭定理波印亭定理2*2*222222111Re244111Re24444exymzE DE DDB HB HEEBwEwHEE同樣定義：為電場(chǎng)能量密度在一個(gè)周（注意：=其中期內(nèi)的平均值 ， 為磁場(chǎng)能 但不量密度在代表電場(chǎng)強(qiáng)一個(gè)周期內(nèi)度的振幅）的平均值6.4 波印亭定理波印亭定理*122()1Re2mePE JJEPPSPjw wEJ EJw 為

34、電場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷所作的功的平均功率密度定義： 為（電場(chǎng)做功的）復(fù)功率密度，其實(shí)部代表電場(chǎng) 對(duì)運(yùn)動(dòng)（說明：若所有電流為傳導(dǎo)電流， 則 為實(shí)數(shù)，否則電荷所作功的平均功率密度 可以推出不一定-）：復(fù)波印亭2()meSVVS dSPdVjwww dV定理微分形式復(fù)波印亭定理積分形式6.4 波印亭定理波印亭定理21ReRe2Im2()SVVmeSVS dSPdVE dS dSwww dVVJEV若設(shè)（電流為傳導(dǎo)電流），則可把上式分成兩部分實(shí)部表明：電磁場(chǎng)傳輸?shù)襟w積 內(nèi)的能量全部用來對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷做功，因?yàn)闀r(shí)諧場(chǎng)每個(gè)周期內(nèi)行為相同，電場(chǎng)和磁場(chǎng)能量每個(gè)周期平均值相同，因此一周期的總能量的吞吐量為零，收支平衡。虛部

35、表明：虛部反映了電磁場(chǎng)存儲(chǔ)的能量6.4 波印亭定理波印亭定理SVSVw，反映了電磁場(chǎng)能量流入體積 內(nèi)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷所做的功，最后都變的面積分實(shí)部稱為有功功率的面積分虛部稱為無功成了熱能。，其大小為 內(nèi)磁場(chǎng)能量與電場(chǎng)能量率之差的2功倍此項(xiàng)可用于求解電磁場(chǎng)問題的等效電路參數(shù)*2221Re1()SVREEHddIIVS*2211()()mmeSVXIEHdSdVIIwww6.4 波印亭定理波印亭定理w平均存儲(chǔ)能量不變運(yùn)動(dòng)電荷從電場(chǎng)所獲得的能量必須全部轉(zhuǎn)總結(jié)：每個(gè)周期的電磁場(chǎng)的每個(gè)周期平均效果來看，（對(duì)每個(gè)瞬時(shí)則不一定換成熱能須有非時(shí)諧形式的能量）維持時(shí)諧場(chǎng)（頻率為 )，（如直流補(bǔ)充或其它形式）6.5 唯

36、一性定理唯一性定理V本節(jié)研究當(dāng)求解某一區(qū)域 內(nèi)的電磁場(chǎng)時(shí)的唯一性定理，即需要給定什么樣的條件解才是唯一的。( )( )( )Dr EBr HJr E傳介質(zhì)：線性、各向同性6.5 唯一性定理唯一性定理00000( )()( )ttrrrJtnHttSSVnEHVttEEnnH運(yùn)任意時(shí)刻（邊界） 上的（電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量、或某上部分（部 分（若給定 內(nèi)電磁場(chǎng)在（和）、或者或者則麥克斯韋方程組在一時(shí)刻 的初值（磁場(chǎng)強(qiáng)度的區(qū)域 內(nèi)任意切向分量時(shí)）（）（、刻解唯一一、一般時(shí)變場(chǎng)的唯一性定理一、一般時(shí)變場(chǎng)的唯一性定理 6.5 唯一性定理唯一性定理0011221212000,0ttEHEHEEEHHHEHS

37、nEnHEH證明：設(shè)有兩組不同的解：（ ，）和（，）令，則（ ，）滿足齊次邊界條件和齊次初時(shí)條件，或即：上：反證法6.5 唯一性定理唯一性定理0022222211()22(0011()22SVVttttVVtEdVEHdVEHndSEtEHnnEHnHEtdtEdV dHdtV由波印亭定理，由邊界條 件可知其積分為零）方程兩邊對(duì)時(shí)間 進(jìn)行積分，即由于上式右邊兩項(xiàng)恒大于等0,0EH于零即解唯一，得證6.5 唯一性定理唯一性定理二、時(shí)諧場(chǎng)（二、時(shí)諧場(chǎng)（0 0）的唯一性定理）的唯一性定理 ( )0;)Jr ESVnEnH， ，上的（設(shè)電流為傳導(dǎo)電流（時(shí)諧場(chǎng)往往不給定初始條件）若給定：則麥克斯韋方程組

38、在區(qū)域或（內(nèi)解唯一11221212EHEHEEEHHH同樣設(shè)有兩組不同的解（ ，）和（令：，證），明6.5 唯一性定理唯一性定理020*221122112(00040)04SVVwEHSEHndSEdVjwHEdVnEnHEH則（ ，）滿足齊次邊界條件，或?qū)嵅繛榱?，虛即：上：由?fù)波印亭定理上式右邊實(shí)部和虛部均為零，即解唯部為零一，得證6.6 準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)和準(zhǔn)靜態(tài)近似準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)和準(zhǔn)靜態(tài)近似一、時(shí)諧場(chǎng)的一、時(shí)諧場(chǎng)的 表達(dá)式表達(dá)式 A、0()00( , )( )( )cos( )( )cos( )1( ,)14,)44jrmjkjkRVjkmmVRVRr tr eRr teCedVRJeAdVRrwtrr

39、wtkRrwkCRr tdVRC其中同理6.6 準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)和準(zhǔn)靜態(tài)近似準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)和準(zhǔn)靜態(tài)近似00144jkRjkRVjkRVeeJedVVJAdRR與靜電靜磁場(chǎng)的位函數(shù)相比，存在以下一些不同之處：其原因：（1）場(chǎng)源分布的初始值 不一樣 （2）從場(chǎng)源多了一個(gè)相位因子， 的到觀察點(diǎn)的延時(shí)不一樣初始值的相位與空間坐標(biāo)有關(guān)6.6 準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)和準(zhǔn)靜態(tài)近似準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)和準(zhǔn)靜態(tài)近似二、準(zhǔn)靜態(tài)近似二、準(zhǔn)靜態(tài)近似 12222jkRwfRRReCfklkRR如果我們研究的問題范圍是，即電尺寸遠(yuǎn)小于則:，則可忽略相位因子在介質(zhì)均勻處電磁波空間相位的變化由二個(gè)原因：（1）電磁波本身傳播引起的（ ）由于物理特性即材料特性改變引起

40、忽略初始相位隨空間坐的標(biāo)的變化6.6 準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)和準(zhǔn)靜態(tài)近似準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)和準(zhǔn)靜態(tài)近似0050,600010,30100,434JjmVjmVfHzkmfMHzmfMedVReJAdVRHzm準(zhǔn)靜態(tài)近似忽略了電磁場(chǎng)的波動(dòng)效應(yīng)、電磁作用傳遞所需的時(shí)間、以及引起的空間相位的變化。但同理這樣，我們可以用靜電靜磁的方法處理并不忽略介質(zhì)變化引起的相位變化注意：6.6 準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)和準(zhǔn)靜態(tài)近似準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)和準(zhǔn)靜態(tài)近似00000ffDffSDJDJJtJJJJJtJ dS 基爾霍夫電流定律仍然成立，但必須加上位移電流其中1wfDJEjw EjwEEJJjw EJ不太大時(shí)導(dǎo)線內(nèi)部電容內(nèi)部6.6 準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)和準(zhǔn)靜態(tài)近似準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)和

41、準(zhǔn)靜態(tài)近似1sRSLLClB dStdiRiLidtdtcuudluuuE 基爾霍夫電壓定律電感兩端的電動(dòng)勢(shì)即基爾霍夫電壓定律仍成立，只要考慮電感的感生電動(dòng)勢(shì)，將電感作為外電壓處理即可。6.7 廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理一、廣義麥克斯韋方程組與磁荷磁流的概念一、廣義麥克斯韋方程組與磁荷磁流的概念 ( )( )mmDr EBrJH介質(zhì)是線性各向同性 由于麥克斯韋方程組的一次場(chǎng)源是不對(duì)稱的，研究的對(duì)只有電荷電流； 如果在麥?zhǔn)戏匠探M中加入兩個(gè)場(chǎng)源函數(shù)，則麥?zhǔn)戏匠淘跀?shù)學(xué)上更加對(duì)稱，即場(chǎng)源也是象：和對(duì)稱的。6.7 廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理mm

42、BEJtDHJtBDDEBH 21212121 ()() ()()smsmssnDDnEEJnBBnHHJ 邊界條件廣義麥克斯韋方程組6.7 廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理0()0mmmmmmmBJEEJBJtJtt 其中：磁荷密度磁感應(yīng)強(qiáng)度 的通量源 ：磁流密磁荷守度電場(chǎng)恒定律強(qiáng)度（或的 漩渦源運(yùn)動(dòng)的磁荷磁流連續(xù)性方程）6.7 廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理ABEHHM 討論：（ ）麥克斯韋方程組作為宏觀電磁場(chǎng)方程組（加上本構(gòu)關(guān)系）是一個(gè)完整的方程組，它包含了有關(guān)宏觀電磁場(chǎng)的所有信息。原則上不需要任何其它的東西。根據(jù)麥?zhǔn)戏匠?，不論是在?shù)學(xué)上

43、還是物理上都是沒有對(duì)應(yīng)的通量源（即磁荷），同樣也沒有磁流這樣的漩渦源，它只有變化的磁感應(yīng)強(qiáng)度這個(gè)漩渦源。這與靜磁場(chǎng)中 的磁荷概念不同，在那里雖然沒有磁荷這種物理實(shí)在，但在數(shù)學(xué)上對(duì)永磁體問題有通量源，因此從數(shù)學(xué)等效的角度，可以認(rèn)為有磁荷存在。6.7 廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理BDirac（ ）磁荷這種物理存在到底有沒有？預(yù)言了磁荷的存在，目前仍有科學(xué)家在尋找磁荷，但至今沒有找到?？梢哉f即使將來發(fā)現(xiàn)有也不等于今天我們的所作的研究是無用的，因?yàn)楝F(xiàn)有的宏觀電磁場(chǎng)理論即麥?zhǔn)戏匠探M與實(shí)總之，在目前驗(yàn)吻合，這說的電磁場(chǎng)理論明即使微觀結(jié)構(gòu)有磁荷存在中我們認(rèn)為是沒有磁荷磁流，它的宏

44、觀平均效果不明顯，否則麥?zhǔn)戏匠探M不可能與的，麥?zhǔn)戏匠探M加上本構(gòu)關(guān)系來描述宏觀電磁場(chǎng)現(xiàn)象是實(shí)驗(yàn)吻合。充分地，為何引入磁荷磁流及廣義麥克斯韋方程組？磁荷磁流的概念及廣義包含了所有的信息麥克斯韋方程組與，原則上等效原理不需要加別的東西（思想）。密切相關(guān)6.7 廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理VVVSVVS在時(shí)變電磁場(chǎng)中如果我們求解的是區(qū)域 內(nèi)的電磁場(chǎng)，也就是說我們只對(duì)內(nèi)的電磁場(chǎng)感興趣，這時(shí)內(nèi)的電磁場(chǎng)滿足麥?zhǔn)戏匠探M，邊界上滿足一定的邊界條件（例如給定電場(chǎng)或磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量），同時(shí)在 內(nèi)滿足一定的初時(shí)條件。求解內(nèi)的電磁場(chǎng)問題，我們往往根據(jù)需要象靜電場(chǎng)中的鏡像法一樣，對(duì)原來的問題

45、進(jìn)行一下變化即將原來的問題等效為處理起來方便的一些問題，此時(shí)上的邊界條件代表了區(qū)域外包括邊界上的貢獻(xiàn)， 這樣我們可以V在區(qū)域外包括邊界上選擇一種簡(jiǎn)單的分布，只要在內(nèi)滿足麥?zhǔn)戏匠?，滿足初始條件，邊界上滿足邊界條件即可， 在區(qū)域外包括邊界上是什么樣的分布是無關(guān)緊要的，可以有無數(shù)種分布達(dá)到同樣的等效。6.7 廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理VVV在考慮區(qū)域外包括邊界上的分布時(shí)，思路可以開闊一些，我們不僅可以考慮物理上可以實(shí)現(xiàn)的分布，也可以考慮物理上不能實(shí)現(xiàn)的分布，這就包括磁荷磁流的分布，也就是滿足廣義麥?zhǔn)戏匠探M的分布，研究廣義麥?zhǔn)戏匠探M的意義就在于此。；外（包括邊界上）由于不

46、是注意：當(dāng)我們求解 內(nèi)的電磁場(chǎng)時(shí)，我們要求的，因此可以滿足麥?zhǔn)戏絻?nèi)的電磁場(chǎng)必須滿足麥?zhǔn)铣探M，也可以不滿足麥?zhǔn)戏匠探M，否則就不是物理問方程組 ，而讓它滿足題了磁荷磁流V的廣義麥?zhǔn)戏匠探M，好處是：有時(shí)外（包括邊界上）用包含磁荷磁流這樣一種在物理上不能實(shí)現(xiàn)的分布來等效， 在數(shù)學(xué)上處理比較總之等效的目的是為了簡(jiǎn)單。簡(jiǎn)化問題。6.7 廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理1212121212121122112200mmBBEEJttDDHJHttBBDDDEDEBHBH 廣義麥?zhǔn)戏匠探M可根據(jù)疊加原理分解為： 麥?zhǔn)戏匠探M磁流麥?zhǔn)戏匠探M6.7 廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理廣義麥克斯韋方程組及對(duì)偶原理12121212EEE