第7章多元函數(shù)積分學(xué)10-16(723Green格林公式及其應(yīng)用)-鄭

1、中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A7.2.3 Green7.2.3 Green公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用三、三、Greens公式的應(yīng)用公式的應(yīng)用（習(xí)例（習(xí)例1-2）7.2.3 Green7.2.3 Green公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用一、區(qū)域的連通性一、區(qū)域的連通性 二、格林（二、格林（Green）公式）公式四、求平面區(qū)域的面積四、求平面區(qū)域的面積 習(xí)例習(xí)例3-7Green公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用 格林（格林（Green）公式：）公式：平面區(qū)域的二重積分與平面區(qū)域的二重積分與沿此區(qū)域的第二類曲線積分的關(guān)系沿此區(qū)域的第二類曲線積分的

2、關(guān)系。 意義：意義：微積分基本公式在二重積分情形下的推微積分基本公式在二重積分情形下的推廣，不僅給計(jì)算第二類曲線積分帶來新方法，更重廣，不僅給計(jì)算第二類曲線積分帶來新方法，更重要的是揭示定向曲線積分與積分路徑無關(guān)的條件，要的是揭示定向曲線積分與積分路徑無關(guān)的條件，在積分理論的發(fā)展中起了重要的作用。在積分理論的發(fā)展中起了重要的作用。 *格林（格林（Green）英英 1793- 1841 物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家,自學(xué)成才自學(xué)成才英國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，僅讀過兩年書，回家?guī)透赣H烤面包賣，一直到英國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，僅讀過兩年書，回家?guī)透赣H烤面包賣，一直到4040歲，歲，父親去世后才得以到劍橋

3、大學(xué)讀書。父親去世后才得以到劍橋大學(xué)讀書。4444歲大學(xué)畢業(yè)，歲大學(xué)畢業(yè)，4848歲因流行感冒去世。歲因流行感冒去世。但依靠自學(xué)，做出了巨大的貢獻(xiàn)，相關(guān)成果至今仍是數(shù)學(xué)物理中的經(jīng)典內(nèi)容。但依靠自學(xué)，做出了巨大的貢獻(xiàn)，相關(guān)成果至今仍是數(shù)學(xué)物理中的經(jīng)典內(nèi)容。他的工作培育了數(shù)學(xué)物理方面的劍橋?qū)W派。他的工作培育了數(shù)學(xué)物理方面的劍橋?qū)W派。7.2.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用 設(shè)設(shè)D為平面區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域, , 如果如果D內(nèi)任一閉曲線所內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于圍成的部分都屬于D, , 則稱則稱D為平面單連通區(qū)為平面單連通區(qū)域域, , 否則稱為復(fù)連通區(qū)域否則稱為復(fù)連通區(qū)域. .復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)

4、域單連通區(qū)域單連通區(qū)域DD一、區(qū)域連通性一、區(qū)域連通性(不含有不含有“洞洞”或或“點(diǎn)洞點(diǎn)洞”) (含有含有“洞洞”或或“點(diǎn)洞點(diǎn)洞”) 注：注：的的正正方方向向的的邊邊界界曲曲線線LD 負(fù)方向負(fù)方向?DD當(dāng)觀察者沿當(dāng)觀察者沿 L 的正向行走時(shí)的正向行走時(shí), 區(qū)域區(qū)域 D 內(nèi)離他近處的那內(nèi)離他近處的那一部分總在他的左邊一部分總在他的左邊.定理定理1. 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線是由分段光滑正向曲線 L 圍成圍成,則有則有, ),(yxP),(yxQ( Green公式公式 )函數(shù)函數(shù)在在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),二、二、GreenGreen公式公式.)()cosco

5、s( DLdxdyyPxQdsQP 或或,)( DLdxdyyPxQQdyPdx LDQdyPdxdxdyyPxQ)(待征表達(dá)式 LDQdydxdyxQ LDPdxdxdyyP等價(jià)于證明等價(jià)于證明型區(qū)域型區(qū)域y型區(qū)域型區(qū)域x分析：分析：證明依賴于區(qū)域的形狀證明依賴于區(qū)域的形狀 單連通單連通復(fù)連通復(fù)連通 型型又又既既yx 一般區(qū)域一般區(qū)域),()(),(21bxaxyxyxD 證明證明(1)(1)若區(qū)域若區(qū)域 D既是既是 X型型又是又是 Y型型,即平行于即平行于坐標(biāo)軸的直線和坐標(biāo)軸的直線和 L至至多交于兩點(diǎn)多交于兩點(diǎn). ),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2

6、xy ABCE)(2yx )(1yx 思路思路:公式兩邊化為同一定積分公式兩邊化為同一定積分. 從簡單情形出發(fā)從簡單情形出發(fā).dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可證同理可證 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx BA 若若區(qū)區(qū)域域D由由按按段段光光滑滑的的閉閉曲曲線線圍圍成成. .如如圖圖, ,證明證明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D兩式相加得兩式相加得 LDQdyPdxdxdy

7、yPxQ)(將將D分成三個(gè)既是分成三個(gè)既是 X型又是型又是 Y型的區(qū)域型的區(qū)域1D, ,2D, ,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1來說為正方向來說為正方向?qū)?duì)DLLLGD3L2LFCE1LAB證明證明(3)(3) 若區(qū)域不止由一條閉曲若區(qū)域不止由一條閉曲線所圍成線所圍成. .添加直線段添加直線段ABAB, ,CECE. .則則D的邊界曲線由的邊界曲線由ABAB, ,2L, ,BA,

8、BA,AFC,CEAFC,CE, , 3L, , ECEC及及CGACGA構(gòu)成構(gòu)成. .由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1來說為正方向來說為正方向?qū)?duì)DLLL注意注意:格林公式的應(yīng)用條件格林公式的應(yīng)用條件L為封閉曲線（取為封閉曲線（取正向正向），在，在L所圍的區(qū)域所圍的區(qū)域內(nèi)有一階內(nèi)有一階連續(xù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)注意注意: (1)便于記憶形式便于記憶形式: DLdxdyQPyxQdyPdx(2)當(dāng)邊界曲線取反方向時(shí)當(dāng)邊界曲線取反方向時(shí),Green公式中二重積公式中二重積分符號(hào)前

9、添分符號(hào)前添“ ”號(hào)號(hào)!(3)應(yīng)用應(yīng)用Green公式條件缺一不可公式條件缺一不可. 三三 格林公式的簡單應(yīng)用格林公式的簡單應(yīng)用1.1.當(dāng)當(dāng)L L是封閉曲線時(shí)，應(yīng)用格林公式簡化曲線積分是封閉曲線時(shí)，應(yīng)用格林公式簡化曲線積分注意：還應(yīng)滿足應(yīng)用格林公式的條件注意：還應(yīng)滿足應(yīng)用格林公式的條件(24)(356)(0,0), (3,0)(3,2).LxydxxydyLOAB 利用格林公式計(jì)算曲線積分其中 為三頂點(diǎn)分別為和的三角形例正向邊界3的切向量曲線為閉合為任一給定方向其中求例CnldsnlC ,),cos(. 2例例1(24)(356)(0,0), (3,0)(3,2).LxydxxydyLOAB 利

10、用格林公式計(jì)算曲線積分其中 為三頂點(diǎn)分別為和的三角形例正向邊界3,:( , )24P x yxy解653),(yxyxQ3, 1xQyPOBA有利用格林公式,124)()653()42(DDLdxdydxdyyPxQdyyxdxyx(簡化曲線積分簡化曲線積分)例例1解：解：),)(cos,(cos常常數(shù)數(shù)的的方方向向余余弦弦為為設(shè)設(shè)bal),cos,(cos 的方向余弦為的方向余弦為n),cos,(cos)cos,(cos),cos( banl則則dsbadsnlCC )coscoscos(cos),cos( dybadxC coscos. 00 DGreendxdy公公式式的切向量曲線為閉合

11、為任一給定方向其中求例CnldsnlC ,),cos(. 22.2.當(dāng)當(dāng)L L不是封閉曲線時(shí)，不是封閉曲線時(shí)，但但可添加輔助曲線使之封閉，再用可添加輔助曲線使之封閉，再用Green公式簡化計(jì)算。公式簡化計(jì)算。()QPkxy或形式較簡單222()(sin),:2(0 0)(1,6.1)LIxy dxxy dyL yxxOA上由點(diǎn)，到點(diǎn)例的一段弧。三三 格林公式的簡單應(yīng)用格林公式的簡單應(yīng)用例例3例例4xyoLABDBOABOAL 1, 0 xQyPxQP , 01yPxQ解解1 代入法代入法,0022222cos( sin )cos4ABxdyrtd rtrtdtr例例3, 0, 0 BOOAxd

12、yxdy由于由于ABLOABOxdyxdyxdyxdy 注意：注意：L的方向?yàn)轫槙r(shí)的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，即針方向，即L的反向的反向xyoLABD21.4Ddxdyr ()DQPdxdyxy 格222()(sin),:2(0 0)(1,6.1)LIxy dxxy dyL yxxOA上由點(diǎn)，到點(diǎn)例的一段弧。,),(:2yxyxP解yxyxQ2sin),(1, 1xQyP0yPxQ:1,:10;:0,:10,AB xyBO yxLABBO添加路徑使封閉 利用格林公式 有()0ABBOL AB BOLDQPdxdyxy OABABBOOBBAL 例例4221120010()(sin)1 cos2(1 s

13、in)123sin23sin2|2424BAxy dxxy dyyy dydyy 又221122200()(sin)1(0)(sin 0) 03OByyxdxxdxdxxx dxy又7sin264ABBOOBBAL 3.3.在在D D內(nèi)有內(nèi)有使使P P，Q Q不連續(xù)的點(diǎn)存在，不連續(xù)的點(diǎn)存在，不能直接用不能直接用格林公式，采用格林公式，采用“挖小洞挖小洞”的方法，挖去不連的方法，挖去不連續(xù)點(diǎn)，再用格林公式。續(xù)點(diǎn)，再用格林公式。三三 格林公式的簡單應(yīng)用格林公式的簡單應(yīng)用解解令令2222,yxxQyxyP , 則當(dāng)則當(dāng)022 yx時(shí)時(shí), , 有有yPyxxyxQ 22222)(. 記記L所所圍圍成成

14、的的閉閉區(qū)區(qū)域域?yàn)闉镈, xyoLDyxoLDyxoLD(1) 當(dāng)當(dāng)D )0, 0(時(shí)時(shí), , xyoLD符合符合Green公式的條件公式的條件. . 0022 DLdxdyyxydxxdy(2) 當(dāng)當(dāng)D )0 , 0(時(shí)時(shí), 作作位位于于D內(nèi)內(nèi)的的足足夠夠小小圓圓周周222:ryxl , lr記記1D由由 L 和和 l 所圍成所圍成, 在在D1上符合上符合Green公式的條件公式的條件. llLyxydxxdyyxydxxdy2222原式原式 lDyxydxxdydxdy220 lyxydxxdy22 drrr22222sincos 20.2 注意注意: ?,)()(?22lbyaxdydxIL如如何何選選擇擇輔輔助助曲曲線線若若計(jì)計(jì)算算 ?,4?22lyxdydxIL如如何何選選擇擇輔輔助助曲曲線線若若計(jì)計(jì)算算 4 簡化二重積分計(jì)算簡化二重積分計(jì)算 三三 格林公式的簡單應(yīng)用格林公式的簡單應(yīng)用則則 2yeyPxQ , 應(yīng)應(yīng)用用 Green 公公式式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 OAydyxe2).1(211 e解解xyoDAB令令2, 0yxeQP , 102dxxex格林公式格林公式: LDQdyPdx