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1、天津工程師范學(xué)院 第5章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第5章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 本章學(xué)習(xí)目標(biāo)理解:剛體、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念;剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律及角動(dòng)量守恒定律。掌握:轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能的計(jì)算;用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律及角動(dòng)量守恒定律求解定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題的基本方法。 本章教學(xué)內(nèi)容1剛體的運(yùn)動(dòng)2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用5轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能6對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒 本章重點(diǎn)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義以及常見(jiàn)剛體繞常見(jiàn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;力矩計(jì)算、轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用;剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量的計(jì)算。 本章難點(diǎn)力矩計(jì)算、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中守恒的判斷及其準(zhǔn)確計(jì)算。4.1 剛體的運(yùn)動(dòng)一、剛體的概念物體的一些運(yùn)動(dòng)是
2、與它的形狀有關(guān)的,這時(shí)物體就不能看成質(zhì)點(diǎn)了,其運(yùn)動(dòng)規(guī)律的討論就必須考慮形狀的因素。有形物體的一般性討論也是一個(gè)非常復(fù)雜的問(wèn)題,全面的分析和研究是力學(xué)專業(yè)課程學(xué)習(xí)的內(nèi)容。在大學(xué)物理中,我們討論有形物體的一種特殊的情況,那就是物體在運(yùn)動(dòng)時(shí)沒(méi)有形變或形變可以忽略的情況。如果物體在運(yùn)動(dòng)時(shí)沒(méi)有形變或其形變可以忽略,我們就能抽象出一個(gè)有形狀而無(wú)形變的物體模型,這模型叫做剛體。剛體的更準(zhǔn)確更定量的定義是:如果一個(gè)物體中任意的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離在運(yùn)動(dòng)中都始終保持不變,則我們稱之為剛體。 被認(rèn)為是剛體的物體在任何外力作用下都不會(huì)發(fā)生形變。實(shí)際物體在外力作用下總是有形變的,因此剛體是一個(gè)理想模型。它是對(duì)有形物體運(yùn)
3、動(dòng)的一個(gè)重要簡(jiǎn)化。 實(shí)際物體能否看成是剛體不是依據(jù)其材質(zhì)是否堅(jiān)硬,而是考察它在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否有形變或其形變是否可以忽略。 正如質(zhì)點(diǎn)中所討論的那樣,剛體也就是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系,而且是一個(gè)較為特殊的剛性的質(zhì)點(diǎn)系,它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律較之于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)位置分布可以隨時(shí)改變的一般質(zhì)點(diǎn)系而言,要簡(jiǎn)單得多。 二、剛體的運(yùn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)的基本形式有平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),剛體任意的運(yùn)動(dòng)形式都可以看成是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的迭加。 1、剛體的平動(dòng)1)平動(dòng)的定義如果在一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中剛體內(nèi)部任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的連線的方向都始終不發(fā)生改變,則我們稱剛體的運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)。平動(dòng)的示意圖如下。電梯的上下運(yùn)動(dòng),纜車的運(yùn)動(dòng)都可看成剛體平動(dòng)。剛體的平動(dòng)2)平動(dòng)的特點(diǎn) 剛體
4、平動(dòng)的一個(gè)明顯特點(diǎn)是,在平動(dòng)過(guò)程中剛體上每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度相同。這意味著,如果我們要研究剛體的平動(dòng),只需要研究某一個(gè)質(zhì)點(diǎn),例如質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)就行了。因?yàn)檫@一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律就代表了剛體所有質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,也即剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在這個(gè)意義上我們可以說(shuō),剛體平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)屬于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué),可以使用質(zhì)點(diǎn)模型。 剛體平動(dòng)的動(dòng)力學(xué)也可以使用質(zhì)點(diǎn)模型,通過(guò)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)來(lái)解決。這實(shí)際上并不是新問(wèn)題,如牛頓運(yùn)動(dòng)定律的多數(shù)題目中出現(xiàn)的都是有形狀的物體,但只要它是在平動(dòng),我們就仍可以用牛頓運(yùn)動(dòng)定律來(lái)正確地處理它們。實(shí)際上,這時(shí)我們用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求出來(lái)的是質(zhì)心的加速度,但是由于在平動(dòng)中剛體上每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的加速度相同,所以
5、質(zhì)心的加速度也就代表了所有質(zhì)點(diǎn)的加速度。 綜上所述我們知道,剛體平動(dòng)可以使用質(zhì)點(diǎn)模型,我們可以用前面質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的知識(shí)去分析和處理它們。 2、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1)轉(zhuǎn)動(dòng)的定義如果在一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,剛體上所有的質(zhì)點(diǎn)均繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng),則我們稱剛體在轉(zhuǎn)動(dòng),該直線稱為轉(zhuǎn)軸。如火車車輪的運(yùn)動(dòng)、飛機(jī)螺旋漿的運(yùn)動(dòng)都是轉(zhuǎn)動(dòng)。如果轉(zhuǎn)軸是固定不動(dòng)的,則稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng),如車床齒輪的運(yùn)動(dòng)、吊扇扇頁(yè)的運(yùn)動(dòng)均屬于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)是否是定軸的,取決于參照系的選擇。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中剛體上的任一質(zhì)點(diǎn)p都繞一個(gè)固定軸作圓周運(yùn)動(dòng),見(jiàn)上圖,習(xí)慣上常把轉(zhuǎn)軸設(shè)為z軸,圓周所在平面M稱為質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面,轉(zhuǎn)動(dòng)平面與轉(zhuǎn)軸
6、垂直。質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的圓心O叫做質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)心,質(zhì)點(diǎn)對(duì)于轉(zhuǎn)心的位矢r叫做質(zhì)點(diǎn)的矢徑。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)顯著的特點(diǎn)是:轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中剛體上所有質(zhì)點(diǎn)的角位移、角速度和角加速度相同,我們稱之為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移、角速度和角加速度。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)最佳的描寫方法是角量描寫。物體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度是有方向的,我們常說(shuō)某物體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是逆時(shí)針?lè)较蚧蝽槙r(shí)針?lè)较?,就是在描述角速度的方向。?duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)動(dòng)方向的描述與觀察方向有關(guān),在下圖中逆著z軸從上向下看和沿著z軸從下向上看得到的結(jié)論正好相反。為了準(zhǔn)確描述角速度和角加速度的方向,我們把角速度和角加速度定義為矢量。角速度和角加速度已經(jīng)有了大小的定義,現(xiàn)
7、在要賦予它們方向。1、角速度矢量我們規(guī)定,物體的角速度矢量的方向與直觀的轉(zhuǎn)動(dòng)方向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系:當(dāng)我們伸直大姆指并彎曲其余的四個(gè)手指,使四個(gè)手指指向直觀的轉(zhuǎn)動(dòng)方向時(shí),大姆指所指的方向即為角速度矢量的方向。在上圖(a)中,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)是逆時(shí)針?lè)较虻?,按右手螺旋法則,我們說(shuō)它的角速度沿z軸向上;在上圖(b)中,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)是順時(shí)針?lè)较虻?,我們說(shuō)它的角速度向下。角速度矢量還可以使用如下的數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表示:(1)式中n表示轉(zhuǎn)動(dòng)方向,表示角速度的大小。2、角加速度矢量角加速度矢量定義為(2)顯然,若角加速度矢量的方向與角速度矢量的方向相同,見(jiàn)下圖(a),則角速度在增加;反之,若角加速度與角速度的方向相反,
8、見(jiàn)下圖(b),則角速度在減小。從圖(a)、(b)中不難驗(yàn)證,角加速度矢量的方向與直觀轉(zhuǎn)動(dòng)的加速方向也構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。既當(dāng)四個(gè)手指指向直觀的加速方向時(shí),大姆指所指向的方向即為角加速度矢量的方向。角加速度矢量顯然,在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,角速度和角加速度矢量的方向只有沿著z軸和逆著z軸兩個(gè)方向??梢园蜒貁軸的角速度叫做正角速度,逆著z軸的角速度叫做負(fù)角速度,這是角速度的標(biāo)量表述。對(duì)角加速度也可作同樣的標(biāo)量表述,讀者可自行推廣。3、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的線量當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),剛體上的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都有速度和加速度。這些質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度與剛體的角速度和角加速度矢量有什么關(guān)系呢?在矢量描述中,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量與線量的
9、關(guān)系將包含方向之間的關(guān)系而表現(xiàn)得更加完整。若考察剛體上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)z軸的徑矢為r,則其速度、切向加速度和法向加速度和角速度與角加速度的矢量關(guān)系為:(3)這個(gè)式子大家可以自己推導(dǎo)。其意義可以由下圖看出。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中角量與線量的矢量關(guān)系在后面的討論中,角速度和角加速度的矢量表述和標(biāo)量表述都會(huì)用到,這主要取決于具體問(wèn)題中用什么描述方法更為方便。5.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、對(duì)定軸的力矩在力矩知識(shí)點(diǎn)中我們討論了對(duì)定點(diǎn)的力矩,也簡(jiǎn)單介紹了對(duì)軸的力矩。在此處我們進(jìn)一步詳細(xì)討論對(duì)定軸的力矩。如下圖所示,一剛體繞定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)(只畫出了剛體一部分),力F作用在剛體上p點(diǎn),且力的方向在p點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面M內(nèi)。如果力不在
10、轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),可以把F分解為沿軸z方向的分力和在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力。軸向分力是要改變軸的方向,在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中會(huì)被定軸的支撐力矩抵消而不起作用,所以我們可以只考慮在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)分力的作用,以后我們也只討論力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的情況。設(shè)p點(diǎn)的轉(zhuǎn)心為O,徑矢為r。通常把力F對(duì)定軸z的力矩定義為一個(gè)矢量(1)它的大小為 (2)或 (3)其中稱為力F對(duì)軸的力臂,為力F的切向分量。由(5-3)式可知,力矩矢量的方向是矢徑r和力F矢積的方向。圖中的力矩矢量的方向向上。 在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,力矩矢量的方向只有沿著z軸和逆著z軸兩個(gè)方向。我們把沿z軸的力矩叫做正力矩,逆著z軸的力矩叫做負(fù)力矩,這是力矩的標(biāo)量表述。 對(duì)定軸的力
11、矩可以證明,力對(duì)定軸z的力矩不過(guò)是力對(duì)軸上任一定點(diǎn)的力矩在z軸方向的分量,所以它們的討論和表示方式才如此相似。 若作用在p點(diǎn)的力不止一個(gè),即是一個(gè)合力,則該點(diǎn)所受合力的力矩等于各分力力矩之和。簡(jiǎn)要證明如下:按(1)式,合力的力矩 (4) 其中為各分力的力矩,證畢。 由于作用力和反作用力是成對(duì)出現(xiàn)的,所以它們的力矩也成對(duì)出現(xiàn)。由于作用力與反用力的大小相等,方向相反且在同一直線上因而有相同的力臂,見(jiàn)下圖,所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等,方向相反,其和為零。 (5)作用力矩和反作用力矩二、剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量是一個(gè)很重要的物理量,在很多問(wèn)題的分析中都要用到這
12、個(gè)概念,下面我們來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),它的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都在與軸垂直的平面上運(yùn)動(dòng)。下面我們先分析質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸的角動(dòng)量,而且只考慮質(zhì)點(diǎn)在軸的垂面上運(yùn)動(dòng)的情況。如下圖所示,有一質(zhì)點(diǎn)在z軸的垂面M內(nèi)運(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m,對(duì)z軸(即對(duì)質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)心)的矢徑為r,速度為v,動(dòng)量p=mv。如同在角動(dòng)量知識(shí)點(diǎn)中討論的一樣,我們定義質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸的角動(dòng)量為 (6)它的大小為 (7)其中稱為動(dòng)量臂。由(6)式可知,角動(dòng)量的方向是矢徑r和動(dòng)量p矢積的方向。質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸的角動(dòng)量在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量的方向只有沿著z軸和逆著z軸兩個(gè)方向。我們把沿z軸的力矩叫做正角動(dòng)量,逆著z軸的力矩叫做負(fù)角動(dòng)量,這是角動(dòng)量的標(biāo)量
13、表述。 可以證明,質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸z的角動(dòng)量是質(zhì)點(diǎn)對(duì)z軸上任一定點(diǎn)的角動(dòng)量在z軸方向的分量??梢钥闯?,質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸的角動(dòng)量的定義和力對(duì)定軸的力矩定義在結(jié)構(gòu)上相同。 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)軸的角動(dòng)量定義為剛體各質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量的矢量和其中Li為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量。設(shè)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi,速度為vi,對(duì)z軸的徑矢為,則 由于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都在進(jìn)行圓運(yùn)動(dòng),如圖所示。質(zhì)點(diǎn)的速度和矢徑垂直,所以質(zhì)點(diǎn)對(duì)z軸的角動(dòng)量的大小為 其中ri是質(zhì)點(diǎn)到軸的距離,為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。考慮到質(zhì)點(diǎn)圓運(yùn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量矢量的方向和角速度矢量的方向始終相同,故有 把各質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量相加得到剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義,則剛體對(duì)定
14、軸的角動(dòng)量 (8)即在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量已知的情況下,由上式可以很容易地計(jì)算出剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系,必然遵從質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理: 其物理意義是,作用于剛體的合外力矩等于剛體的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。這個(gè)結(jié)論無(wú)論是對(duì)定點(diǎn)或是對(duì)定軸均成立。把剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量帶入上式,注意到剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為一常量,有 注意到式中為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度,可記作 (9)此式即稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律,它表示在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中剛體角加速度的大小與合外力矩成正比而與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比,角加速度的方向與合外力矩的方向一致。如前所述,力矩和角加速度都可以用標(biāo)量來(lái)描述,采用標(biāo)量描述的轉(zhuǎn)動(dòng)
15、定律為。從以上的簡(jiǎn)單推證中可以看出,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律實(shí)際上就是角動(dòng)量定理的一個(gè)變形表示。由于剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量的形式十分簡(jiǎn)潔,而且轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J又是一個(gè)常量,所以能很容易地得到這個(gè)很重要的定律。轉(zhuǎn)動(dòng)定律說(shuō)明定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中剛體角加速度與合外力矩的關(guān)系。轉(zhuǎn)動(dòng)定律的推導(dǎo)過(guò)程和物理意義都很像從動(dòng)量定理得到的牛頓第二定律:。注意到牛頓第二定律中的質(zhì)量m和轉(zhuǎn)動(dòng)定律中的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J在定律中的地位是完全對(duì)應(yīng)的,由此能夠進(jìn)一步理解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義。在對(duì)定律的理解中應(yīng)注意,定律中合外力矩M,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J,角加速度均是對(duì)同一定軸而言,請(qǐng)勿混淆。3.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算一、 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)是具有慣性的。例如,飛輪高速轉(zhuǎn)動(dòng)
16、后要使其停下來(lái)就必須施加外力矩,靜止的飛輪要轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)也必須外力矩的作用。這說(shuō)明了轉(zhuǎn)動(dòng)確實(shí)具有慣性。轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小用什么物理量來(lái)描寫呢?對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體而言可以使用所謂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來(lái)描寫它轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小。更復(fù)雜的剛體運(yùn)動(dòng)需要使用慣量張量來(lái)描寫。1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義使用離散方法,剛體可以看成是由很多質(zhì)點(diǎn)組成的,則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為:(1)式中mi表示剛體的某個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量,ri表示該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。 2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的討論在剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量的定義中出現(xiàn)一個(gè)新的物理量:轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。按(1)式,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為。它取決于剛體對(duì)軸的質(zhì)量分布。對(duì)通常質(zhì)量密度均勻的剛體,它取決于剛體的質(zhì)量、形狀和轉(zhuǎn)軸位置三個(gè)因
17、素。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義表明,一個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是,而剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就是剛體中的所有質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。這也意味著一個(gè)剛體整體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)等于其各部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和?!纠?】如圖所示,一正方形邊長(zhǎng)為l,它的四個(gè)頂點(diǎn)各有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),求此系統(tǒng)對(duì)(1)z1軸;(2)z2軸;(3)z3軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?!窘狻?1)對(duì)z1軸,四個(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為,故 (2)對(duì)z2軸,a、d兩質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為零,而b、c兩質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為ml2,故(3)對(duì)z3軸對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的物體,定義中的求和要通過(guò)積分來(lái)進(jìn)行??稍趧傮w中取一質(zhì)元,若質(zhì)元質(zhì)量為dm,到轉(zhuǎn)軸的距離為r,則質(zhì)元對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,而剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)為各質(zhì)
18、元轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和即積分(2)積分域?yàn)閯傮w的全部質(zhì)量。質(zhì)量分布通常用質(zhì)量密度來(lái)描述,如果質(zhì)量在空間構(gòu)成體分布,則空間任一點(diǎn)的質(zhì)量體密度定義為該點(diǎn)附近單位體積內(nèi)的質(zhì)量如果式(2)中的質(zhì)元的體積為,而該點(diǎn)的質(zhì)量體密度為,則質(zhì)元的質(zhì)量把此式代入(2)式,積分即為體積分。如果質(zhì)量構(gòu)成面分布,則質(zhì)量面密度定義為該處單位面積內(nèi)的質(zhì)量如果所取質(zhì)元的面積為,而該點(diǎn)的質(zhì)量面密度為,則質(zhì)元的質(zhì)量 把此式代入(2)式,積分為面積分。對(duì)于線分布,質(zhì)量線密度定義為單位長(zhǎng)度內(nèi)的質(zhì)量 如果質(zhì)元的長(zhǎng)度為,該點(diǎn)的質(zhì)量面密度為,則質(zhì)元的質(zhì)量 把此式代入(2)式,積分為線積分。 【例2】有一勻質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)度為l,質(zhì)量為m。求細(xì)桿對(duì)于與桿垂
19、直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,(1)軸在桿的一端;(2)軸在桿的中心?!窘狻?1)細(xì)桿的質(zhì)量線密度,如圖所示,在距軸r處取一線元dr。線元的質(zhì)量為,線元的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,故細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(2)若軸在桿中心,可以把桿從中心分為兩個(gè)部分,兩個(gè)部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等,而且每一部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都可以用問(wèn)題(1)中的結(jié)論來(lái)表示。只是每部分的長(zhǎng)度只有,質(zhì)量也只有?!纠?】如下圖所示,有一質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán),半徑為r,質(zhì)量為m,求圓環(huán)對(duì)過(guò)圓心并與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?!窘狻?在環(huán)上取一質(zhì)量為dm的質(zhì)元,它對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,故圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 【例4】如下圖所示,有一質(zhì)量均勻分布的圓盤,半徑為R,質(zhì)量為m,求圓盤對(duì)過(guò)圓心并與
20、圓盤垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 【解】盤的質(zhì)量面密度為,在盤上取一半徑為r,寬度為dr的圓環(huán),圓環(huán)面積,圓環(huán)的質(zhì)量為,利用上一題的結(jié)論,圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 故圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 二、常見(jiàn)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量常見(jiàn)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量見(jiàn)下表。常見(jiàn)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體形狀轉(zhuǎn)軸位置轉(zhuǎn)動(dòng)慣量細(xì)棒中垂軸細(xì)棒一端的垂直軸圓柱體幾何對(duì)稱軸薄圓環(huán)幾何對(duì)稱軸薄圓環(huán)任意直徑為軸圓盤幾何對(duì)稱軸圓盤任意直徑為軸球體任意直徑為軸圓筒幾何對(duì)稱軸三、平行軸定理平行軸定理常用于求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。如圖所示,可以證明,若剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心C的軸ZC的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC,則剛體對(duì)另一與ZC平行的軸Z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 平行軸定理其中m為剛體的質(zhì)量,d為兩軸之間的距離。這就是平
21、行軸定理,定理的證明讀者可以參閱書后列出的有關(guān)參考書。5.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用與牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用相似。牛頓運(yùn)動(dòng)定律應(yīng)用的基礎(chǔ)是受力分析,而對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用,則不僅要進(jìn)行受力分析,還要進(jìn)行力矩分析。按力矩分析可用轉(zhuǎn)動(dòng)定律列出剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程并求解出結(jié)果。 在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用中還常常涉及到與牛頓運(yùn)動(dòng)定律的綜合。題目的復(fù)雜性相對(duì)較大,這也是大家注意的問(wèn)題。下面我們以具體的例子來(lái)給大家介紹剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用方法。 【例1】如圖所示,一輕桿(不計(jì)質(zhì)量)長(zhǎng)度為2l,兩端各固定一小球,A球質(zhì)量為2m,B球質(zhì)量為m,桿可繞過(guò)中心的水平軸O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng),求
22、桿與豎直方向成角時(shí)的角加速度。 【解】 輕桿連接兩個(gè)小球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單的剛性質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式為繞O軸的轉(zhuǎn)動(dòng),應(yīng)該用轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解 (1) 先分析系統(tǒng)所受的合外力矩。系統(tǒng)受外力有三個(gè),即A、B受到的重力和軸的支撐作用力。軸的作用力對(duì)軸的力臂為零,故力矩為零,系統(tǒng)只受兩個(gè)重力矩作用。以順時(shí)針?lè)较蜃鳛檫\(yùn)動(dòng)的正方向,則A球受力矩為正,B球受力矩為負(fù),兩個(gè)重力的力臂相等為,故合力矩 (2) 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為兩個(gè)小球(可看作質(zhì)點(diǎn))的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和 (3) 將(2)(3)式代入(1)式 有 解得 【例2】如圖所示,有一勻質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)度為l,質(zhì)量為m,可繞其一端的水平軸O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)它自水平位置自由下擺
23、到角位置時(shí)角加速度有多大? 【解】 桿受到兩個(gè)力的作用,一個(gè)是重力,一個(gè)是O軸作用的支撐力。O軸的作用力的力臂為零,故只有重力提供力矩。重力是作用在物體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的,但對(duì)于剛體,可以看作是合力作用于重心。即桿的中心,力臂為。桿對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。按轉(zhuǎn)動(dòng)定律 有 即 解得 【例3】如圖所示,一固定光滑斜面上裝有一勻質(zhì)圓盤A作為定滑輪,輪上繞有輕繩(不計(jì)質(zhì)量),繩上連接兩重物B和C。已知A、B、C的質(zhì)量均為m,輪半徑為r,斜面傾角。若輪軸的摩擦可忽略,輪子和繩子之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng),求裝置啟動(dòng)后兩重物的加速度及繩中的張力? 【解】 A、B、C構(gòu)成一個(gè)連接體,A輪沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng),B物體向下運(yùn)動(dòng),C物體
24、沿斜面向上運(yùn)動(dòng)。設(shè)A的角加速度為,B、C加速度的大小相等設(shè)為a,繩子中張力的大小在A、B間設(shè)為T1、(),在A、C間設(shè)為T2、()。T1和T2不相等,否則輪A受合力矩將為零,就不可能隨繩子運(yùn)動(dòng)了,這顯然不符合題意。 對(duì)滑輪A,滑輪所受的重力的力心在軸上,輪軸的支撐力也在軸上,它們的力臂均為零,故力矩也為零,所以只有繩子的張力T1和T2提供力矩,按轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 對(duì)重物B,按牛頓運(yùn)動(dòng)定律有 對(duì)重物C,按牛頓運(yùn)動(dòng)定律有 由于輪子和繩子之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng),A輪邊緣的切向加速度和B、C加速度的大小相等,又按角量與線量關(guān)系有 聯(lián)立以上四個(gè)方程可解得 【例4】如圖所示,有一勻質(zhì)圓盤半徑為R,質(zhì)量為m,在水平桌面上
25、繞過(guò)圓心的垂軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。若圓盤的初角速度為,桌面的摩擦系數(shù)為并且與相對(duì)速度無(wú)關(guān)。求圓盤停止下來(lái)所需要的時(shí)間以及停轉(zhuǎn)過(guò)程中的角位移? 【解】 此題的難點(diǎn)在于求圓盤所受的摩擦力矩。圓盤的質(zhì)量面密度為。如圖設(shè)立平面極坐標(biāo),取面元,面元的質(zhì)量,面元受到桌面的正壓力等于它受到的重力 ,面元受到的摩擦力 摩擦力矩為 整個(gè)圓盤受到的摩擦力矩為 方向與轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。圓盤受到的重力和桌面正壓力的力心在O軸上,力矩為零。 按轉(zhuǎn)動(dòng)定律 有 解得 盤的角加速度為常量,負(fù)號(hào)表示力矩和角加速度方向與角速度方向相反。 再由勻角加速度運(yùn)動(dòng)公式 得到轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間 而轉(zhuǎn)動(dòng)角位移為 5.5 轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能一、力矩的功在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上若
26、有力作用,這個(gè)力將形成力矩,力對(duì)剛體做功也表現(xiàn)為力矩做功,下面我們來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題。力矩的功上圖中,一個(gè)剛體繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng),力F作用于p點(diǎn),設(shè)若在一個(gè)極短的時(shí)間內(nèi)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)微小角度,作用點(diǎn)位移為dr,位移的大小,則力F的元功為 (1)其中為力F對(duì)定軸的力矩。(1)式表示力的元功為力矩與元角位移之積,若力矩與元角位移同向,力作正功,反之則作負(fù)功。在一個(gè)過(guò)程中力F對(duì)剛體做功為(2)即力對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體做功等于該力對(duì)應(yīng)的力矩對(duì)剛體角位移的積分,常稱之為力矩的功。顯然,力矩的功就是力的功,在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,力的功用力矩來(lái)表示更為方便,所以才稱之為力矩的功。作用在剛體上的合外力矩為各外力矩之和,即,故合外
27、力矩做功等于各外力矩做功的代數(shù)和也即總功 (3)作用在剛體上一對(duì)作用和反作用力矩等值反向,故一對(duì)力矩的總功為零,即有 (4)在有關(guān)功的知識(shí)點(diǎn)中我們一對(duì)力的功只與它們作用點(diǎn)的相對(duì)位移有關(guān),而作用在剛體上的一對(duì)內(nèi)力是沒(méi)有相對(duì)位移的(剛體沒(méi)有形變),所以上式成立。二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能及動(dòng)能定理軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能歸結(jié)于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能,定義為組成剛體的各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和,即 其中vi為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速率,mi是它的質(zhì)量。按角量線量關(guān)系,其中ri為質(zhì)點(diǎn)到軸的距離,為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,有 由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義可知,其中的是剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J,故有 上式即是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能,簡(jiǎn)稱為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能公式是從質(zhì)點(diǎn)動(dòng)
28、能公式推來(lái),最終的形式也很象質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能公式。在公式的推導(dǎo)中我們看到,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能采用角量描述比用線量描述方便,這是由于在轉(zhuǎn)動(dòng)中各質(zhì)點(diǎn)角速度相同而線速度vi各不相同的緣故。在已知?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的情況下,上述公式計(jì)算剛體動(dòng)能的是非常方便的,要求大家必須掌握。在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)過(guò)程中,合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體作功為:上式中的正好是剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)功能,故有:(1)上式表明了:在剛體的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中合外力矩的功,等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。這個(gè)結(jié)論稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。剛體作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系,應(yīng)遵從質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理,即外力的總功與內(nèi)力總功之和等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量。在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,我們把力的功稱之為力矩的功,則質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理
29、應(yīng)表述為外力矩的總功與內(nèi)力矩的總功之和等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量。但轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理(1)式卻表明,剛體動(dòng)能的增量?jī)H與合外力矩的功有關(guān),按功能原理的理解也即僅與外力矩的總功有關(guān),這意味著內(nèi)力矩對(duì)剛體的總功應(yīng)該為零。這一點(diǎn)應(yīng)該這樣來(lái)理解:由于剛體的內(nèi)力矩是成對(duì)出現(xiàn)的,并且作用點(diǎn)之間沒(méi)有相對(duì)位移,所以每對(duì)內(nèi)力矩的總功為零。故全部?jī)?nèi)力矩的總功當(dāng)然應(yīng)該為零。三、剛體的重力勢(shì)能剛體沒(méi)有形變,所以沒(méi)有內(nèi)部的彈性勢(shì)能。而在實(shí)際使用中我們常常會(huì)碰到剛體的重力勢(shì)能問(wèn)題,這里對(duì)此問(wèn)題作一點(diǎn)說(shuō)明。剛體的重力勢(shì)能為組成剛體各個(gè)質(zhì)元的重力勢(shì)能之和。用重心的概念,剛體的重力勢(shì)能應(yīng)當(dāng)?shù)扔趧傮w的全部質(zhì)量集中在重心處的質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能。在均
30、勻的重力場(chǎng)中,剛體的重心與質(zhì)心重合,對(duì)勻質(zhì)而對(duì)稱的幾何形體,質(zhì)心就在幾何中心。剛體的重力勢(shì)能的公式記作(2)其中m為剛體的質(zhì)量,hc為重心高度,這里已設(shè)h=0處為重力勢(shì)能零點(diǎn)。四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理和機(jī)械能守恒定律剛體作為質(zhì)點(diǎn)系,必然遵從一般質(zhì)點(diǎn)系的功能原理和一定條件下的機(jī)械能守恒定律。剛體運(yùn)動(dòng)遵守這兩個(gè)規(guī)律是顯然的,我們就不證明它了。只是在使用的時(shí)候大家需要注意剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的一些特殊性,如力矩做功,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等物理量的計(jì)算與單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的情況有所不同就行了。機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)完全類似,只需要考慮剛體的一些特殊情況。下面我們通過(guò)一些例子來(lái)給大家介紹它的應(yīng)用?!纠?】如圖所示,一細(xì)桿
31、長(zhǎng)度為l,質(zhì)量為m,可繞其一端的水平軸O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。若將桿從水平位置釋放,求桿運(yùn)動(dòng)到角位置處的角速度?!窘狻看祟}可用轉(zhuǎn)動(dòng)定律求出桿的角加速度后,用對(duì)時(shí)間t積分求出角速度。顯然這種方法比較復(fù)雜一些。最簡(jiǎn)單的方法是用機(jī)械能守恒定律求解。桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中只有保守力重力做功,系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。取的初始狀態(tài)為重力勢(shì)能的零點(diǎn),則初態(tài)系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能均為零,故機(jī)械能為零。設(shè)角位置為時(shí)桿的角速度為,則有按和有可解得【例2】如圖所示,定滑輪A繞有輕繩(不計(jì)質(zhì)量),繩繞過(guò)另一定滑輪B后掛一物體C。A、B兩輪可看作勻質(zhì)圓盤,半徑分別為R1、R2,質(zhì)量分別為m1、m2,物體C質(zhì)量為m3。忽略輪軸的摩擦,輕繩與兩
32、個(gè)滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng)。求物體C由靜止下落h處的速度?!窘狻看祟}可用轉(zhuǎn)動(dòng)定律求出物體C的加速度后再求出它下落h時(shí)的速度。但若把A、B、C作為一個(gè)系統(tǒng)用機(jī)械能守恒定律來(lái)求解,則方法更簡(jiǎn)單一些。系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中繩子張力的總功為零,只有保守力重力做功,故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。設(shè)系統(tǒng)的初態(tài),即物體C在最高點(diǎn)時(shí)重力勢(shì)能為零,則系統(tǒng)初態(tài)的動(dòng)能、勢(shì)能均為零,機(jī)械能為零。系統(tǒng)末態(tài)的機(jī)械能包括A、B、C三個(gè)物體的動(dòng)能及物體C的重力勢(shì)能,設(shè)A、B兩輪的角速度分別為和,物體C的速度為v,則有 (1)其中,為A、B兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。如果輕繩與兩個(gè)滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng)C的速度與兩個(gè)滑輪邊沿處的線速度相等,按角量線量關(guān)系有,。把這幾個(gè)
33、式子代入(1)式即可解出5.6 對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒剛體作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系,必然遵從質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理的微分形式就是前述的轉(zhuǎn)動(dòng)定律,積分形式為 (1)即,在一個(gè)過(guò)程中定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的角動(dòng)量守恒定律是,若定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受到的合外力矩為零,則剛體對(duì)軸的角動(dòng)量是一個(gè)恒量,即若,則L=常量。(2)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律,實(shí)際上是對(duì)軸上任一定點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律在定軸方向的分量形式,它的適用范圍是對(duì)任意質(zhì)點(diǎn)系成立。無(wú)論是對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體,或是對(duì)幾個(gè)共軸剛體組成的系統(tǒng),甚
34、至是有形變的物體以及任意質(zhì)點(diǎn)系,對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒定律(2)式都成立。 我們?cè)诳椿颈硌輹r(shí)經(jīng)常發(fā)現(xiàn),一個(gè)運(yùn)動(dòng)員站在冰上旋轉(zhuǎn)(見(jiàn)下圖),當(dāng)她把手臂和腿伸展開(kāi)時(shí)轉(zhuǎn)得較慢,而當(dāng)他把手臂和腿收回靠近身體時(shí)則轉(zhuǎn)得較快,這就是角動(dòng)量守恒定律的表現(xiàn)。冰的摩擦力矩很小可忽略不計(jì),所以人對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量定恒。當(dāng)她的手臂和腿伸開(kāi)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大故角速度較小,而收回后轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變小故角速度變大。只要你留心,你會(huì)發(fā)現(xiàn)優(yōu)秀的體操運(yùn)動(dòng)員、跳水運(yùn)動(dòng)員都會(huì)很熟練地演示角動(dòng)量守恒定律,讀者可以自己去分析?;具\(yùn)動(dòng)員的角動(dòng)量定恒安裝在輪船、飛機(jī)或火箭上的導(dǎo)航裝置回轉(zhuǎn)儀,也叫陀螺,也是通過(guò)角動(dòng)量守恒的原理來(lái)工作的(見(jiàn)下圖)?;剞D(zhuǎn)儀的核心器
35、件是一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大的轉(zhuǎn)子,裝在“常平架”上。常平架由兩個(gè)圓環(huán)構(gòu)成,轉(zhuǎn)子和圓環(huán)之間用軸承連接,軸承的摩擦力矩極小,常平架的作用是使轉(zhuǎn)子不會(huì)受任何力矩的作用。轉(zhuǎn)子一旦轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái),它的角動(dòng)量將守恒,即其指向?qū)⒂肋h(yuǎn)不變,因而能實(shí)現(xiàn)導(dǎo)航作用。回轉(zhuǎn)儀二、角動(dòng)量守恒的應(yīng)用角動(dòng)量守恒在分析一些定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)是非常有用的。它的使用方法我們通過(guò)下面的例子給大家介紹。 【例1】如圖所示,一轉(zhuǎn)盤可看作勻質(zhì)圓盤,能繞過(guò)中心O的垂軸在水平面自由轉(zhuǎn)動(dòng),一人站在盤邊緣。初時(shí)人、盤均靜止,然后人在盤上隨意走動(dòng),于是盤也轉(zhuǎn)起來(lái)。請(qǐng)問(wèn):在這個(gè)過(guò)程中人和盤組成的系統(tǒng)的機(jī)械能、動(dòng)量和對(duì)軸的角動(dòng)量是否守恒?若不守恒,原因是什么? 【解】 系
36、統(tǒng)的機(jī)械能顯然不守恒,靜止時(shí)和運(yùn)動(dòng)時(shí)重力勢(shì)能相同,而運(yùn)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)有了動(dòng)能,故機(jī)械能增加了。增加的原因是人的肌肉的力量作為非保守內(nèi)力作了正功。 圓盤的動(dòng)量系統(tǒng)的動(dòng)量也不守恒。一個(gè)勻質(zhì)圓盤,無(wú)論它轉(zhuǎn)多快,其動(dòng)量始終是零。如上圖,以O(shè)為對(duì)稱軸在盤上取一對(duì)對(duì)稱的質(zhì)元,它們的質(zhì)量相同,到軸的距離相同,故速度相反因而動(dòng)量大小相同、速度相反,所以它們的動(dòng)量之和為零。由于整個(gè)圓盤可看作無(wú)數(shù)的質(zhì)元成對(duì)地組成的,每一對(duì)質(zhì)元的動(dòng)量為零,則整個(gè)圓盤的動(dòng)量也是零。系統(tǒng)靜止時(shí)動(dòng)量為零,系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)盤的動(dòng)量依然是零而人的動(dòng)量不為零,可見(jiàn)動(dòng)量不守恒。不守恒的原因是圓盤的軸要給盤一個(gè)沖量來(lái)制止盤的平動(dòng)。 系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒,因?yàn)?/p>
37、人受到的重力和盤受到的重力的方向與軸平行,對(duì)定軸力矩的定義,它們不提供對(duì)軸的力矩。盤受到的軸的支撐力的力心在盤中心,力臂為零,故力矩也為零。所以系統(tǒng)受到的對(duì)軸的合外力矩為零。故角動(dòng)量守恒?!纠?】如圖所示,在一個(gè)固定軸上有兩個(gè)飛輪,其中A輪是主動(dòng)輪,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1,正以角速度旋轉(zhuǎn)。B輪是從動(dòng)輪,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2,處于靜止?fàn)顟B(tài)。若將從動(dòng)輪與主動(dòng)輪嚙合后一起轉(zhuǎn)動(dòng),它們的角速度有多大? 【解】 兩個(gè)輪組成一個(gè)定軸剛體系統(tǒng),由于嚙合過(guò)程很短,外力矩對(duì)系統(tǒng)的沖量可以忽略不計(jì),故系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒,有 可得 【例3】如圖所示,一個(gè)勻質(zhì)圓盤半徑為r,質(zhì)量為m1,可繞過(guò)中心的垂軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。初時(shí)盤靜止,一顆質(zhì)量為m2
38、的子彈以速度v沿與盤半徑成的方向擊中盤邊緣后以速度沿與半徑成的方向反彈,求盤獲得的角速度。 【解】 對(duì)于盤和子彈組成的系統(tǒng),撞擊過(guò)程中軸O的支撐力的力臂為零,不提供力矩,其它外力矩的沖量可忽略不計(jì),故系統(tǒng)對(duì)軸O的角動(dòng)量守恒即 初時(shí)盤的角動(dòng)量為零,只有子彈有角動(dòng)量,故 末態(tài)中盤和子彈都有角動(dòng)量,設(shè)盤的角速度為,則 故有 可解得 【例4】如圖所示,一長(zhǎng)度為l,質(zhì)量為m的細(xì)桿在光滑水平面內(nèi)沿桿的垂向以速度v平動(dòng)。桿的一端與定軸z相碰撞后桿將繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng),求桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。 【解】 碰撞過(guò)程中軸z對(duì)桿的作用力的力臂為零故力矩也為零,所以桿對(duì)z軸的角動(dòng)量守恒 碰撞前桿的角動(dòng)量可通過(guò)積分算出。桿的質(zhì)量線密度,如圖在桿上取Ox軸,在桿上距O點(diǎn)為x處取線元dx,線元質(zhì)量,線元的角動(dòng)量 故碰前桿的角動(dòng)量 碰后
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