第9章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用濟(jì)南大學(xué)1415綜述

1、1415A一、選擇題(每小題2分，共10分)(1)極限 lim 2Xy 2 = ( D )(x,y)(0,0) x2 - y(A) 0.(B) 1.(C) 2.(D)不存在.(2)二元函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(址,y°)處的全微分存在是它在該點(diǎn)連續(xù)的(A )(A)充分條件.(B)必要條件.(C)充分必要條件.(D)既非充分也非必要條件. 點(diǎn)(0,0)是二元函數(shù)f (x,y) =x y2的(C )(A)極大值點(diǎn).(B)極小值點(diǎn).(C)駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn).(D)不是駐點(diǎn).二、填空題(每小題2分，共10分)極限Hmtan(2xy).(x,y) ：(0,1)x1(2)設(shè)二元函數(shù) z=ln(xy

2、),則 dz =.1 .1 ,一dx 一dy x y三、計(jì)算題(每小題5分，共20分)設(shè)z =ex*sinx-x2y(1)解：fx(x,y) =2xy+2x+2y+2 , fy(x,y)=x +2x + 3y ,求豆，. ：:x：:y 設(shè)z = z(x, y)是由方程z3 -x-y-z=0所確定的隱函數(shù),解:-zx yx y3-z _ x y2=e sin x +e cosx -2xy ,=e sinx -3x-x；=y3(2)解：設(shè) F(x,y,z)=z -x- y-z ,則 Fx(x,y,z) = 1 ,Fy(x,y,z) = 12， zFz(x, y,z) =3z 1,-=二 xFx(x

3、,y,z)£z_ Fy(x,y,z)1、一 2、- -2.Fz(x,y,z)3z -1:yFz(x, y,z) 3z -1五、綜合題(每小題10分，共20分)3 .(1)求函數(shù) f (x, y) =x2y +x2 +2xy +y2 +2x 的極值.解方程組22xy+2x+2y+2=0、1、x；2x+3y=0 得駐點(diǎn)：/'d'-D' (一3'一1).fxx(x，y) = 2 y +2，fxy (x，y) = 2x + 2, fyy(x，y)=3.,1、8_2_1在(-1,)點(diǎn)，A= , B=0 , C =3 ； AC B >0, A>0 ,所

4、以 f(1,)=-333是極小值.在(1,1)點(diǎn)，A=0, B=4, C=3; ACB2<0,所以 f(11)不是極值.(_3,一1)點(diǎn)，A=0, B=4, C=3； AC B2<0,所以 f(3, 1)不是極值.1314A一、填空題(每小題2分，共10分)(2) 極限 lim-42-y2 =.(x,y) )(0,1) x2 . y2Key: 1.(3) 設(shè)二元函數(shù) z=sin(x + y), 則 dz =.Key: cos(x y)dx cos(x y)dy二、選擇題(每小題2分，共10分)極限Hm鄴2/ = ( c )(C) 2.(D)(x, y) ：(0,2) x(A) 0.

5、(B) 1.不存在.(2)二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(%,丫。)處的全微分存在是它在該點(diǎn)兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在的(A )(A)充分條件.(B)必要條件.(C)充分必要條件.(D)既非充分也非必要條件 若z= f(x, y)在("°)處取得極大值，令g(y)= f(%,y).則(B )(A) g(y)在y0取得最大值.(B) g(y)在先取得極大值(C) %是g(y)的駐點(diǎn).(D)以上都不對(duì).三、計(jì)算題(每小題8分，共40分)2i.2、L22 n ：Z 二 Z 二 Z -1 - Z(1) 設(shè)z =x cosy 3xy ,求丁，二，-2 和tttt.二 x 二 y ex 二 x：y

6、 z2解：=2xcosy_3y ,：:xz 2 ,_=x sin y _ 6xy :y22二 zz2- = 2 cos y ,.x；:x :y-2xsiny _ 6y設(shè)z =z(x, y)是由方程ez-xyz-1=0所確定的隱函數(shù)，求 文和它.Fx；:y(2)Fx(x,y,z) yzFy(x,y,z)Fz(x, y,z)e - xy二yFz(x,y,z)xzze -xy1314B五、綜合題(每小題10分，共20分)(1)求曲線x3 -xy + y3 =1 (x至0,y至0)上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離與最短距 離.33(1)解：設(shè)曲線x3xy + y3 =1上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方為2 2f

7、 (x,y) =x + y , (x >0, y >0),令 L(x, y, ) = x2 sinxy 422 sin v 22=2ysin xy (x y ) xcosxy (x y ) ln(x y ). y2 " / (x3 - xy y3 -1)'Lx=2x + M3x2y)=0 一 x =1解萬(wàn)程組(Ly =2y +£(x +3y ) =0得3 1 3、y = 1L>u= x xy + y -1=0f(1,1)=2,考慮邊界的點(diǎn)的函數(shù)值f(1,0)= f(0,1)=1,所以最長(zhǎng)距離是 J2,最短距離是1.1314C(3) & z

8、=usinv,而 u=x2+y2, v = xy,求星，孚.二 xcysin v ycosv u ln uz z z -u -Z -Vsin v 1(3) 解： = 1十 1 =2xsinv u 十二 x二 u ex t v :X= 2xsin xy (x2 + y2)sinxy+ ycosxy (x2 + y2)sinxy ln(x2 + y2),z - z - u z - vsin v 1sin v .一=十 一 一=2ysinv u +xcosv u ln u .y二 u 二 y二 v 二 y五、應(yīng)用題(每小題10分，共20分)(1)某公司在生產(chǎn)中使用甲、乙兩種原料，已知甲和乙兩種原料分

9、別使用x單位和y單位可生產(chǎn)Q單位的產(chǎn)品，且22Q(x, y) =10xy 22x 33y-10x -5y .已知甲原料單價(jià)為200元/單位，乙原料單價(jià)為300元/單位，產(chǎn)品每單位售價(jià)為 100元，產(chǎn)品固定成本為1000元，求該公司的最大利潤(rùn).解：利潤(rùn)函數(shù)L(x,y) =100(10xy 22x 33y - 10x2 - 5y2) - 200x - 300y -100022= -1000x +1000xy-500y + 2000x + 3000y , (x 之 0,y 之 0)解方程組-2000x+1000y+2000 = 01000x1000y+3000 = 0Lxx(x,y)=-2000,

10、Lxy(x,y)=1000, Lyy(x,y) = -1000.令 A = 2000 , B=1000 , C = 1000 ,則 AC B2 A 0 , A<0 ,所以L(5,8) =16000是極大值，也是最大值0809 B一、填空題(每小題3分，共18分)2、設(shè) ztln( xy),則其全微分 dz = .11dx dyxyy2 2x3、函數(shù)u二七的所有間斷點(diǎn)是 y2 -2x(x,y)|y2 =2x,x R, y R一、 xy1、f (x, y) 2x y二、選擇題(每小題3分，共15分),則極限 lim f(x, y)= ( A ) x 0 y0(A)不存在(B) 1(C) 2(

11、D) 0kx2lRf(x,y)，m0?n y ±xA當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿曲線y=kx趨向(0,0)時(shí),k7顯然，當(dāng)k取值不同是，極限也不相同。1 k2所以 lim 2xy 2不存在.（x,y）_（0,0） x2 +y22、在曲線x =t, y = t2,z = t3所有切線中，與平面 x + 3y+3z = 4平行的切線（ A ）（A）只有一條；（B）只有兩條；（C）至少有3條； （D） 不存在曲線的切向量 T =（5N'（t）, »（t）=（1,2t,3t2）,平面的法向量n = （1,3,3）1(1 -2t,3t2) (1,3,3) =1-6t +9t2=0,(3

12、t-1)2 =0,彳#t =.所以只有一條切線滿足條3件.3、點(diǎn)（0,0謾函數(shù)z=xy的（B ）（A）極值點(diǎn)；（B）.駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)；（C）是極值點(diǎn)但不是駐點(diǎn)；（D）以上都不對(duì)分析：令zx=y=0,zy=x = 0彳導(dǎo)（0,0）是駐點(diǎn)，但點(diǎn)（0,0）是z = xy的鞍點(diǎn)，不是極值點(diǎn).四、計(jì)算題（每小題8分，共32分）1、設(shè) z = eu sin v,z zu = xy, v = x + y,求一相 xZ解：z一 x開(kāi).開(kāi):xju.u二 f:x vv 二 eu sin v y eu cosv = exy y sin(x y) cos(x y) :x.L、.y二 y二 u cyv 二 y=eu

13、sin v x eu cosv = exyx sin(x y) cos(x y)五、解答題（每小題分10,共20分）1、要造一個(gè)容積為定數(shù) a的長(zhǎng)方形無(wú)蓋容器，如何設(shè)計(jì)它的尺寸才能使它的表面積最小?此時(shí)最小表面積為多少？解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為x,y,z,則問(wèn)題就是在條件 邛（x, y,z） =xyz a = 0下求函數(shù) S = xy 2xz 2yz (x 0, y 0,z 0)的最小值.作拉格朗日函數(shù)L(x, y, z); xy 2xz 2 yz 一 ；(xyz a),y +2z十九yz= 0 ,求其對(duì)x, y, z, h的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到x + 2z + Lxz= 0 , ,2僅

14、十y廣九xy= 0 ,xyz-a = 0.1 1一因?yàn)閤, y,z都不等于手，得 z= x= y,代入xyz a = 0 ,得2 2x =3/23, y =V2a, z = 13/2,這是唯一可能的極值點(diǎn).由問(wèn)題本身可知最小值一2。1 。一定存在，所以最小值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得.即長(zhǎng)寬圖為爽a,爽a,_炎a時(shí),最小 2表面積 S =3： (2a)2.0910B一、填空題(每小題2分，共10分)2、設(shè)函數(shù)z = f (x, y)是由方程x2十y2+z2 = 4z給出，則全微分 dz =., xdx ydy2xdx 2 ydy 2zdz =4dz ,dz2 z3、曲面x2 +y2 +z2 =

15、14在點(diǎn)P(1,2,3)處的切平面方程為 切平面得法向量：(1,2,3)= (2 x,2y,2z)(1,2,3)=(2,4,6),切平面方程為 2(x1)+4(y 2)+6(z 3) = 0,或x +2y + 3z 14 = 0.二、選擇題(每小題2分，共10分)1、二元函數(shù)f (x,y)在點(diǎn)(xo, yo)處可微是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx'(%,yo), fy'(xo,yo)都存在的(A )(A)充分條件(B)必要條件(C)充分必要條件(D)既非充分又非必要條件.四、計(jì)算題(每小題1o分，共4o分)1、& z = u2 ln v ,而 u=3、v = 3x2y,求：它、 .y；

16、:x；:y222解：M=ln3x-2y3x2，必=-空 In 3x 一 2y 一2x2x y3x -2y y 二y y3x - 2y y1o11B一、填空題(每小題3分，共15分)(1) 設(shè)二元函數(shù) z=xex4y +(x+1)ln(1 + y),則 dz|(1,o)=.dz |(1,o) =(ex y xex y ln(1 y) I。,。)dx (xex y 7-) I。,。)dy1 ydz=2edx+(e+2)d y(1,o)z -4(2)旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2 +y2 -1在點(diǎn)(2,1,4)處的法線方程是 法線的方向向量 S1,4)=(2x,2y,1)(2,i,4)=(4,2,-1),法線方

17、程是、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)(4) 設(shè) z = f (x, y)的全微分為 dz = xdx + ydy 則點(diǎn)(0,0) ( C )A.不是f(x, y)的連續(xù)點(diǎn)；B.不是f(x,y)的極值點(diǎn);C.是f (x, y)的極小值點(diǎn)；D.是f (x, y)的極大值點(diǎn)分析：zx =x,zy =y ,得 zxx =1,zyy =1,zxy =0,由 ACB2 =1>0,A = 1 >0,則點(diǎn)(0,0)是f (x, y)的極小值點(diǎn).22二 z 二 z.，:y ：x：y三、求偏導(dǎo)數(shù)(每小題10分，共20分)(1)設(shè)z = x3f(xy,)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).求 三； x二 y

18、解：工=3x2 f x3(yf1f2(-)=3x2 f x3yf1 - xyf2 :xx工=x3(xf1f2(1) =x4f1 x2f2.2二 z.yx424121=(xf1xf2)= x ( f11xf12(-)x (f21xf22(-)二 x5 f11 x 2x3 f12 xf22-2.2-：z- z一 / 42二二(x f1 x f2)x y:y 二 xtx=4x“1 x4(fn yf12 (-電)2xf2 x2(f21y £22(-/)xx= 4x3f1 2xf2x4yf11 - yf22.(2)設(shè)z = z(x, y)是方程xyz = arct anx(+ y + z)在(

19、0,1,-1)點(diǎn)確定的隱函數(shù)，求 三及；x-：zy (0,1, 4)解:令 F (x, y, z) = xyz arctan(x + y + z)Fz = xy -21 (x y z)Fx = yz -,、21 (x y z)Fy = xz -,、21 (x y z)24Fx _ yz1+(x + y+ z) 1一 一 一 一2，.xFzxy1 (x y z) -1zz.Fyxz1 + (x + y + z)2 -1=,、2-,©(0,1)Fzxy1 +(x + y+z) 110分六、應(yīng)用題(本題滿分10分)從斜邊長(zhǎng)為l的一切直角三角形中，求有最大周長(zhǎng)的直角三角形，并求出最大周長(zhǎng)22

20、2斛：設(shè)力兩邊長(zhǎng)分力1J為 x, y ,則 x+y =l ,周長(zhǎng) C=x+y+l 2分22.2、設(shè)拉格朗日函數(shù)F(x,y,K) =x+y+l +Mx +y -l ) -z分Fx =1 +2x 九=0令 *Fy=1+2y九=06分匚2.2.2 八F=x +y -l =0 fljJ2 .解萬(wàn)程組得x = y = l為唯一駐點(diǎn)，且最大周長(zhǎng)一定存在8分2、2 , , 一，一.一故當(dāng)x = y = 2 l時(shí)，最大周長(zhǎng)為C=(1 + J2)l10分1112B一、填空題(每小題2分，共10分) 21 . z = x y 在點(diǎn)(1,1)處的 dz =.I2I _l_2 IIdz =2xydx + x dy,

21、dz x3 =2dx +dy. y±i2 .設(shè)函數(shù)f(x, y) = 2x2 +ax+xy2 +2y在點(diǎn)(1,1)取得極值，則常數(shù)fx(1,-1)=(4x a y2)x+ =0,fy(1,-1) = 2xy 2y =-1-=0,所以2 = -5. ya例36設(shè)函數(shù)f （x,y） =2x2+ax+xy2+2y在（1,-1）處取得極值，試求常數(shù)a,并確定極值的類型.分析 這是二元函數(shù)求極值的反問(wèn)題，即知道f（x,y）取得極值，只需要根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件即可求解本題.更次（1,）旦y on解 因?yàn)閒 （x, y）在（x, y）處的偏導(dǎo)數(shù)均存在，因此點(diǎn)（1,_1）必為駐點(diǎn)

22、，則有,2-=4x+a+y g=0= 2xy 2(1“ =0因此有 4+a+1=0,即 a =-5.因?yàn)锳 =4-2-|=4，B =f=2y（i）=-2，C=B|=2X（1,）=2，6 l（i, nex#（i）y l（i,）_22 = ACB =4M2（2） =4>0, A = 4>0 ,所以，函數(shù)f（x,y）在（1,-1）處取得極小值.二、選擇題（每小題2分，共10分）3.在點(diǎn)P處函數(shù)f （x, y）的全微分df存在的充分條件為（ C ）（A） fx,fy均存在（B）f連續(xù)（C） f的全部一階偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)（D） f連續(xù)且fx,fy均存在三、計(jì)算題（每小題8分，共40分）a 。21

23、 .設(shè)z = z（x, y）是由方程x2 +y2+z2 =2z所確定的隱函數(shù)，計(jì)算 ?，匕 的值.ex ;：x解：設(shè) F（x,y,z） =x2 +y2 +z2 2z ,貝u Fx =2x, Fy=2y , F； = 2z2,一.2.1 - z x22z 2x x 二 z 二，x、1 - z xzx1 _z (1 - z) x一二一二,一 2 二(-)=2 =.2 二 3x 2z-2 1-z ex ex 1 -z (1-z) (1-z) (1 一 z)4.求函數(shù)u =xy + yz +zx在點(diǎn)(2,1,3)沿著從該點(diǎn)到點(diǎn)(5,5,15)的方向?qū)?shù).解 方向 l =(3,4,12) l0 = ,

24、,. cosu =-3-,cosP =4,cos，=13 13 3131313Ux(2,1,3) =4,Uy(2,1,3) =5,Uz(2,1,3) =3,-:z:68一二uxcos-： ' uv cos -uzcos =.-:l xy13五、證明題(每小題7分，共7分)xy證明f (x,y)二三收 y20(x,y)-(0,0)在(0,0)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可做.(x,y) =(0,0)f (0 . ：x,0) - f(0,0)=lim 0=0.x_0fy(0,0) =%f (0,0 . ：y) - f(0,0)= lim 0 =0.7T所以函數(shù)f(x, y)在(0,0)處可導(dǎo).z-

25、fx(0,0) ：x fy(0,0) y. f ( x, y) . x y=limlim zx2 7：”x2y2當(dāng)點(diǎn)P(&My)沿曲線y =kx趨向(0,0)時(shí),lim "x(；：x)(7)k(x)2222 2 .( =x)k (.：x) 1 k顯然，當(dāng)k取值不同是，極限也不相同。所以 lim ?x&y 不存在.：力 x2 . ：y2這表示當(dāng) Pt 0時(shí)，Azfx(0,0)Axfy(0,0)Ay #o(P)所以函數(shù)f (x, y),在(0,0)點(diǎn)不可微.1213B、填空題(每小題2分，共10分)極限 lim 1 - xy 1(x,y)r(0,2)xy分子有理化設(shè)二元函

26、數(shù)z=exy,則dz =dz = yexydx xexydy、選擇題(每小題2分，共10分) 設(shè)函數(shù) f (x, y) = 2xy 2 ,則極限ljmf(x, y)=(D )x - y(x, y) K0,0)證：f(x,0) =0, f (0,y) =0,(A) 0.(B) 1.(C) 2.(D)不存在.當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿曲線=kx趨向(0,0)時(shí),Jiq f(x, y) =lxm0 y*xkx2顯然，當(dāng)k取值不同是，極限也不相同。所以xylim (x,y) (.0,0) x +y2不存在.二元函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(xo, yO)處的全微分存在是它在該點(diǎn)連續(xù)的(A )(A)充分條件.(C)

27、充分必要條件.(D)既非充分也非必要條件.(B)必要條件.如果函數(shù)在一點(diǎn)可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù) 計(jì)算題(每小題8分，共40分)解:設(shè)z=x3y-xy3,求名, ex；z-:y三和:x :y= z(x, y)是由方程c 2-3y x,-2二 z:x.:y.、2二 z22=3x -3y ,-2二 z-6xy.-<n-所確定的隱函數(shù),豆和豆；:x 2y用隱函數(shù)求導(dǎo)公式x , z F (x, y,z)=- -ln-,Z解II :：z-zx2z:z將z看作x, y的函數(shù)，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得:y(x z):z z - xex1 ：:zz ；x即N =,同理兩邊對(duì)y求導(dǎo)得=xx z二 yy(x z)解

28、III :將方程兩邊求全微分，得:zdx - xdz _ dz dy,解出dz得：dz =dxdy：z _ z:xx z.:zy(x z)將z看作x, y的函數(shù),繼續(xù)求導(dǎo)，即得二階偏導(dǎo)數(shù):j2zj2z:x2-y2y2(z+x322：z z x、二3:xy y z x四、應(yīng)用題(每小題10分，共20分)(1)求旋轉(zhuǎn)拋物面z = x2 + y2上垂直于直線,x + y + z + 1=0的切平面方程.x+2y+5z+3=0解：令F(x,y,z)=x2 +y2 -z,任取旋轉(zhuǎn)拋物面 上一點(diǎn)M(x,y,z),該點(diǎn)的法向量4 4 4彳4fjkn=(Fx,Fy,Fz)=(2x,2y,1),已知直線的方向向

29、量 s11 1 1 =(3,41)1 2 5因?yàn)樗笃矫娴姆ㄏ蛄颗c已知直線的方向向量平行，空=旦=,所以 x =-3 ,y =2,代入 z = x2 + y2,得 z =- + 4 = 25 ,341244325所以所求的切平面萬(wàn)程為3(x) -4( y -2) (z -)=02425八或 3x 4 y z = 0 .4注:已知直線的方向向量也可以按下面的兩種方式求1 .把y,z看成是x的函數(shù)，在方程組x x+y+z+1=0中對(duì)x求導(dǎo)，得 x 2y 5z 3 =0L dy Jz c !1 +十一=04，dx dx解得1dx3 dy dz1 +2 +5 =0dz、 dx dxI dx34 1則方

30、向向重S =(1,).3 32 .令 F(x, y, z) =x+y+z+1, G(x, y,z) =x+2y +5z +3 ,直線的方向向量TT=(11115, 5 1 112)=(3,T,1),(2)求函數(shù)z = x + y +1在條件x2 + y2 =8下的最大值與最小值解 令 F (x, y,z) =x +y +1 + X(x2 +y2 -8),于是由Fx =1 2,x =0Fy =1 2，y =022F =x y 8=0x=2 x-2解得 ，y=2y.即(2,2) ,(乂，)為可能的極值點(diǎn)，可能的極值z(mì)(2,2) =5,z(2,2)=4,從而所求函數(shù)的最大值是z(2,2) =5,最小

31、值是z(2,2) =.五、綜合題(每小題10分，共20分)(2)設(shè)f(x)是定義在0,+如上的連續(xù)函數(shù)，D是由圓x2 + y2 = R2和直線y =xtanay=0所圍成的區(qū)域在第一象限部分( Ra00<oc<£).記2.2 .F(R,a) = Jf (x2+y2)dxdy ,求 F_ dcRca解：區(qū)域D用極坐標(biāo)表示( P,0)|0< P<R,0 <Q <a,_222R 2F(R, ： ) = . f (x2 y2)dxdy = f (： )： dud： = ° d 0 f(： )；d：DD*二定(；du.0Rf(：2)W)=；f(R2

32、)Rdu£U(；f(R2)Rd)= f(R2)R.0607高數(shù)A一、填空題(每小題4分，共32分)一、 填空題(本題共5小題，每小題4分，滿分20分)1. 函數(shù)f (x, y, z) = arccos=z 的定義域?yàn)?x2 y2( x, y,z) | z 三.x2 y2, x2 y2 =05.曲面z=4-x；-y2上點(diǎn)P(1,1,2) 處的切平面方程為 .切平面的法向量 n =(-2x,-2y,-1)|(1,1,2) = (-2,2,1)切平面方程 2(x-1) + 2(y-1)+z-2=0jiE2x+2y + z-6 = 0 .二、單項(xiàng)選擇題 (本題共5小題，每題4分，滿分20分)

33、1 .考慮二元函數(shù)f (x,y)在(Xo ,y0)點(diǎn)處的下面4條性質(zhì)：連續(xù)，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，可微，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在若用“Pn Q”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q,則有A (A) 二二；(B )二二；(C)二二；(D)=二.2 .坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)是函數(shù)z=x2 y3 +5xy的B (A)既是駐點(diǎn)也是極值點(diǎn)；(B)駐點(diǎn)但非極值點(diǎn)；(C)極值點(diǎn)但非駐點(diǎn)；(D)既非駐點(diǎn)也非極值點(diǎn)AC - B2 = -25 <0 ,所以(0,0)是駐點(diǎn)但非極值點(diǎn)三、計(jì)算題一(本題共兩小題，滿分 15分)2xz z1.已知 z = lntan-,求一、；yjx；:y.:x2 x sec 一 解：三二y - = cot -

34、：xtan、y yyy22.二 z 二 zx 11, x 12 x =二(cot) = - - cot - csc . .y . x ；:x y ； y y y y y y y2.已知力dy和.dxx y z = 0 f dz2 2 2 ,求x2 y z2 -1 dx解：注意y =y(x),z =z(x).在方程組x y z 1 =0 , 一0 /口2 222 中對(duì)x求導(dǎo)，得x y z =11 出 dz=0dx dxdy dz2x 2y 2z =0 dx dxdy _ x -z ，解得dx z -y dz y - x I=dx z - y0708高數(shù)A一、填空題(本題共 5小題，每小題4分，滿

35、分20分)1.極P3)xy 1 -1sin xy. xy 1 -1xy1lim.(x,y)k0,0)sin(xy) sin(xy)(、xy 1 1)22.曲面ez z+xy = 3上點(diǎn)P(2,1,0)處的切平面方程為設(shè) F(x,y,z) =ez 了 xy-3,切平面的法向量 n = (y,x,ez-1)|(2,1,0) = (1,2,0)切平面方程(x2) +2(y1) =0 或 x+2y 4 = 0.二、單項(xiàng)選擇題（本題共5小題，每題4分，滿分20分）321 .設(shè) z = x 3xy，則匕在點(diǎn)（1,0）處（B ）.（A）取得極大值；（B ）無(wú)極值；（C）取得極小值；（D）無(wú)法判定是否有極值

36、解：zx |（1,0） - 3x - 3|（1,0） = 0，zy |（1,0） - 2y |（1,0） - 0 .zxx |(1,0) = 6x |(1,0) =6, C = -zyy 1,0) = -2 B - zxy |(1,0) = 0 ,ACB2 =12 <0,所以函數(shù)在點(diǎn)（1,0）處無(wú)極值.三、計(jì)算題（本題共兩小題，滿分 14分）z1 .（7分）設(shè)函數(shù)z= f （xy,x+y）,其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 二 x:z1(7 分)解：=yf1f2x；：2z-2 一 x=y2fn 2yf12f222, 一，222 八二z： z2 .（7分）設(shè)函數(shù)x +y +z =2z,求一，一

37、， :x : y ；x. y解：令 F(x, y, z) =x2+y2+z2-2z,1分Fx =2x, Fy =2y, Fz = 2z - 22.zFxx ；z Fy y,:x Fz 1 - z ：:y Fz 1 -z將z看作x, y的函數(shù)，繼續(xù)求導(dǎo)，得-2二 z xyfx：y （1。z）30809A一、填空題（每小題 2分，滿分10分）1.極pM（四1,0）xy(x肥1,0)xy 1 -1xyxy,一22.曲面Z = X +設(shè) F(x, y,z) =x2.xy 1 12 ,.y 在點(diǎn)(1,1,2)處的切平面方程為+ y2 -z,切平面的法向量n =(2x,2 y,1兒壯尸(2,2,-1)切平

38、面方程 2(x-1)+2(y-1)-(z-2) =0 或2x+2y z 2 = 0 .二、選擇題（每題 2分，工茜分10分）1 .函數(shù)f （x, y）在（X0, y0）可微是它在該點(diǎn)兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在的（A ）.（A）充分條件；（B ）必要條件；（C）充要條件；（D）非充分亦非必要條件2 .設(shè)2=乂丫 在點(diǎn)（0,0）處（C ）.（A）取得極大值；（B ）取得極小值；（C）無(wú)極值；（D）無(wú)法判定是否有極值三、求偏導(dǎo)數(shù)或全微分（每小題8分，滿分24分）1.設(shè)函數(shù)Z-244.2 2Z=x + y -4x y ,求 dz 和2 .Fxj -Z 32cz 32斛：一二4x -8xy , = 4y -8

39、x y, xy.Z_3_2_32dz =(4x -8xy )dx (4y -8x y)dy,二 2二z3_2_2_2- =(4x3 -8xy2) =12x2 -8y2.x 二 x2 .X2.設(shè) z=u Inv, u= ,v=3x2y,y,：z.X-：zy解:z 2x3x2=-2 ln 3x-12y 2.x y3x -2y y2z 2x ,二- -3- ln 3x - 2yy y2x23x-2y y23設(shè)z = z(x, y)由z = f (xyz, x+ y +z)確定，f有一階連續(xù)偏導(dǎo)，求 , 二 x 二 y解：設(shè) F(x, y, z) =z f (xyz,x+y+z).則Fx =-(f1

40、yz f2),Fy =-(xz f2), Fz =1-(G xy f2)-z 二 Fx 二yzf1f2-xFz 1-(xyf fz _ Fy _ xzf1 f2:y Fz 1-(xyf f六、(8 分)求函數(shù) f (x, y) = (6x x2)(4y y2)的極值, -一 一2 一解：解方程組fx(x, y)=(6-2x)(4yy )=0r2fy(x,y) =(6x-x )(4-2y)=0x=3 x=0 x=0 x=6 x=6求得以下五組解；y=2 y=0 |y = 4 Jy=0 y=4于是駐點(diǎn)(0,0)；(0,4);(6,0);(6,4);(3,2),又22fxx(x,y)=2y -8y;

41、 fxy(x,y) =4(x-3)(y-2); fyy(x, y) =2x -12x,所以1 .在(0,0)處 A = fxx(0,0) =0,B = fxy(0,0) =24,C = fyy(0,0) =0,一_ _ 2_2ACB =24 <0,故 f(0,0)不是極值；2 .在(0,4)處 A = fxx(0,4) =0,B = fxy(0,4) = 24,C = fyy(0,4) =0AC B2 = 242 <0,故 f (0,0)不是極值；3 .在(6,0)處 A= fxx(6,0) =0,B = fxy(6,0) =24,C = fyy(6,0) =022AC -B =2

42、4 <0,故 f(6,0)不是極值；4 .在(6,4)處 A = fxx(6,4) =0,B = fxy(6,4) = 24,C = fyy(6,4) =0AC B2 = -242 <0,故 f (6,0)不是極值；5 .在(3, 2)處 A = fxx(3,2) = 8 < 0,B = fxy(3,2) = 0,C = fyy(3,2) = 18AC -B2 = 144 a 0,故函數(shù)在（3,2）點(diǎn)取得極大值，極大值為 36.綜上所述，函數(shù)的極大值為36,無(wú)極小值.0910高數(shù)A一、填空題（每小題3分，共18分）1.設(shè) ez - xyz = 0 ,則0=.；:x：z _ y

43、z:x ez - xy3. 函數(shù) z = x2 + y2的全微分為.2 xdx 2 ydy、選擇題（每小題3分，共18分）4.曲面Vx +。+后=Y3在任一點(diǎn)處的切平面與坐標(biāo)軸的截距之和為B (A)哀；(B) 3;(C) 9;(D) 1.三、計(jì)算題（每小題8分,1.設(shè)z=sin求二z.yx :y共32分）.2二 z.:x；:y1 x x . x f cos sin 一 y2 y y3 y四、應(yīng)用題（每小題8分,共16分）21.在已給的橢球面' +a22匕.二b2 c2=1內(nèi)的一切內(nèi)接長(zhǎng)方體（各邊分別平行于坐標(biāo)軸）中，求其體積最大者.解：此題是條件極值，約束條件是內(nèi)接于橢球面由橢球的對(duì)稱

44、性，不妨設(shè) （x, y, z）是該球2 x面上位于第I卦限的任一點(diǎn)，則約束條件為3a2+勺=1,本題不易變?yōu)橐辉瘮?shù), c采用拉格朗日數(shù)乘法解之。設(shè)內(nèi)接長(zhǎng)方體的相鄰邊長(zhǎng)為2x,2y,2z(x, y,z>0),其體積為:y2b22一) cV = 8xyz .2x構(gòu)造拉格朗日函數(shù) L(x, y, z, ) = 8xyz - 1 ( a十/曰 /、 a b c8abcfe（x,y,z）,3, .3, .3 ,"=8距=3,3六、（8分）設(shè)函數(shù)f （u）在（0,+書(shū)內(nèi)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，且z = f (；'x2 +y2)滿足等式-2.2:z : z=0. 驗(yàn)證f "(u)

45、 +工獨(dú)=0 ; 若f (1) =0, f «) =1,求函數(shù)f (u)的表達(dá)式. u解：設(shè)u =x2 +y2 ,則.:z:xx=f (u)；u；2z.:X2x 21=(-)2f (u) f (u) uu2 X f (u) u同理， 三=d)2 f (u)f (u)工 f (u)uu u3:z: z14由一Z Z =0= f (u) f (u) =0.設(shè) f r(u) = p, f tu)=生,du則原方程化為：dp 1p=0=蟲(chóng)- -du:Xfyudu up u積分得：p=C,即f(u)=C,6uu由=1,得C=1.于是 f (u) uln |u| C1代入 f (1) =0 得：

46、C1=0.函數(shù)f (u)的表達(dá)式為：f(u) = ln |u |.1011高數(shù)A一、填空題(每小題3分，共15分). sin(xy)1 、 lim -=.(x,y)(0,2)x2二、選擇題(每小題3分，共15分)1、設(shè)可導(dǎo)函數(shù) f(x,y)滿足 f；(x0,y0)= fy'(x0,y0) =0 則A、(%,y。)是 f(x,y)的極值點(diǎn)B、(x0,y0)是 f (x, y)的駐點(diǎn)C、(x0, y0)是f (x, y)的連續(xù)點(diǎn)D、f (x, y)在(x0, y0)處可微分三、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(每小題6分，共18分)八y , ；z ；z1、已知 z = arctan,求一,一x ：x 二

47、y解:z:xy1x2_-y 遼 x22， 一 、，L x y z i.( y)2xx圮 z八十 z :z2、已知 e -xyz = 0，求， Fx兇解：設(shè) F (x, y, z) = ez xyz.貝U Fx = -yz,Fy - xz, Fz = ez - xy ,:zFx yz ；zFyxzz , z:xFz e -xy ryFze -xy22、. :z fz3、已知z = f (xy, x - y ),求， x .:y解：；:x二 z=yf1 2xf2, =xf1 2yf2.：:y1112高數(shù)A、填空題(每小題2分，共10分)極限(/。丁0二、選擇題(每小題2分，共10分)(1)函數(shù)f(

48、x,y)在點(diǎn)(x°,y0)處的全微分存在的充分條件是(C )(A) f (x, y)在點(diǎn)(x°, y°)處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在.(B) f(x,y)在點(diǎn)(x0,y。)處連續(xù).(C) f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù).(D) f (x, y)在點(diǎn)(x°, y°)處連續(xù)并且兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在.設(shè)z = x2+y3,則它在點(diǎn)(0,0)處 (B)(A)取得極大值.(B)無(wú)極值.(C)取得極小值.(D)無(wú)法判定是否有極值-一，zx = 2x = 0- x = 0解：解萬(wàn)程組22，求得解«.于是駐點(diǎn)(0,0),又zy =3y =0y = 0fxx(x, y) = 2; fxy(x, y) = 0; fyy(x, y) = 6y,所以在(0,0)處人=£40,0) =2,B = fxy(0,0)=0,c= fyy(0,0)=0,AC -B2 = -242 =0, (0,0)可能是極值點(diǎn),也可能不是極值點(diǎn)但是在(0,0)附近函數(shù)有大于0的點(diǎn)也有小于0的點(diǎn).所以在(0,0)處無(wú)極值三、計(jì)算題(每小題10分，共40分)-_- 2_ 2(1)