2020年廣東省佛山市高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)答案解析

1、2020年廣東省佛山市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）答案解析、選擇題（共12題）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1-21對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A.第一象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.【解答】解：:(1-21)(1+20，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)已知集合A=x|x* 2A. (T, 1)5iL-2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,2xv0, B = x| 1<x< 1,則B . (T, 2)1）,位于第二象限.AAB=(1, 0)D. (0, 1)【解答】 解：. A=x|0vxv 2, B=x|- 1<x< 1,，An b=(0, 1).3.已知 x, yCR,且 x>y>0,則（）A . cosx

2、 cosy > 0B. cosx+cosy>0C. Inx - Iny >0D. Inx+lny > 0【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng):對(duì)于 A, y= cosx 在(0, +0°)上不是單調(diào)函數(shù)，故cosx - cosy > 0不一定成立，A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)x=兀，y =7T2時(shí),cosx+cosy = - 1< 0, B 不一定成立;對(duì)于 C, y=lnx 在(0, +8)上為增函數(shù)，若x>y>0,則 lnx>lny,必有 Inx - Iny > 0,C正確;對(duì)于D,當(dāng)x=1, y =,Inx+lny = lny&l

3、t;0D不一定成立;故選:C.4.函數(shù)f （x）的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與y=ex關(guān)于x軸對(duì)稱，則f（x）5.已知函數(shù) f (x) =2x+ln (x+Jw + /) (aCR)為奇函數(shù)，則 a=()A . - 1B. 0C. 1D.近【解答】解：f (x)是奇函數(shù)，f ( - x) = - f (x),即 f (- x) +f (x) = 0,即2x+ln (- x+Jw + .) +2x+ln (*+寸私+工2) = 0,得1n x+VU)+ln(x+47)= 0，即 ln x%十/)(xM+F)=0.得 ln (a+x2-x2) =lna=0,得 a = 1,故選：C.6.希

4、爾賓斯基三角形是一種分形,由波蘭數(shù)學(xué)家希爾賓斯基在1915年提出，先作一個(gè)正三角形，挖去一個(gè)“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，我們用白色代表挖去的面積，那么黑三角形為剩下的面積（我們稱黑三角形為希爾賓斯基三角形）.在如圖第3個(gè)大正三角形中隨機(jī)取 點(diǎn)， 則 落 在 黑 色 區(qū) 域 的 概 率 為【解答】解：由題意可知：每次挖去的面積為前一個(gè)三角形剩下面積的工，不妨設(shè)第4個(gè)三角形的面積為1.，第三個(gè)三角形的面積為 1;則陰影部分的面積之為（1-4）士）鳥:4416第3個(gè)大正三角形中隨機(jī)取點(diǎn)，則落在黑色區(qū)域的概率:9后 91 -1

5、67.已知a為銳角,COS a=tv aAjB-lC. 2D. 3【解答】解：:a為銳角,COS a=sin a=1 5tan a=a2ta5s工或 tan-5=解得-2 （舍），tan (）TV Cltair-tan-L+t a 口- tsrr-）是現(xiàn)在商家一種常見促8 .“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一顆金蛋，如果有獎(jiǎng)品，則“中獎(jiǎng)”銷手段.今年“雙十一”期間，甲、乙、丙、丁四位顧客在商場(chǎng)購物時(shí)，每人均獲得砸一顆金蛋的機(jī)會(huì).游戲開始前，甲、乙、丙、丁四位顧客對(duì)游戲中獎(jiǎng)結(jié)果進(jìn)行了預(yù)測(cè),預(yù)測(cè)結(jié)果如下:甲說：“我或乙能中獎(jiǎng)”；乙說：“丁能中獎(jiǎng)”；丙說：“我或乙能中獎(jiǎng)” ；丁說：“甲不能中獎(jiǎng)”游戲結(jié)束后

6、，這四位同學(xué)中只有一位同學(xué)中獎(jiǎng)，且只有一位同學(xué)的預(yù)測(cè)結(jié)果是正確的,則中獎(jiǎng)的同學(xué)是（）A.甲B.乙C.丙D. 丁【解答】解：若中獎(jiǎng)的同學(xué)是甲，則甲預(yù)測(cè)結(jié)果是正確的，與題設(shè)相符，故中獎(jiǎng)的同學(xué)是甲，若中獎(jiǎng)的同學(xué)是乙，則甲、丙、丁預(yù)測(cè)結(jié)果是正確的，與題設(shè)矛盾，故中獎(jiǎng)的同學(xué)不是乙，若中獎(jiǎng)的同學(xué)是丙，則丙、丁預(yù)測(cè)結(jié)果是正確的， 與題設(shè)矛盾，故中獎(jiǎng)的同學(xué)不是丙,若中獎(jiǎng)的同學(xué)是丁，則乙、丁預(yù)測(cè)結(jié)果是正確的， 與題設(shè)矛盾，故中獎(jiǎng)的同學(xué)不是丁,綜合 得：中獎(jiǎng)的同學(xué)是甲,9 .地球上的風(fēng)能取之不盡，用之不竭.風(fēng)能是清潔能源，也是可再生能源.世界各國(guó)致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電，近10年來，全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量連年攀升，中

7、國(guó)更是發(fā)展迅猛，在2014年累計(jì)裝機(jī)容量就突破了100GW,達(dá)到114.6GW,中國(guó)的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟，在全球范圍的能源升級(jí)換代行動(dòng)中體現(xiàn)出大國(guó)的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量與中國(guó)新增裝機(jī)容量圖.根據(jù)以上信息，正確的統(tǒng)計(jì)結(jié)論是（）近10年中國(guó)風(fēng)力發(fā)電新增裝機(jī)容量92A.截止到2015年中國(guó)累計(jì)裝機(jī)容量達(dá)到峰值8. 10年來全球新增裝機(jī)容量連年攀升C . 10年來中國(guó)新增裝機(jī)容量平均超過20GWD.截止到2015年中國(guó)累計(jì)裝機(jī)容量在全球累計(jì)裝機(jī)容量中占比超過二【解答】解：由圖1知沒有在截止到2015年中國(guó)累計(jì)裝機(jī)容量達(dá)到峰值，A錯(cuò)；由圖2知，10年來全球新增裝機(jī)容量起

8、伏，B錯(cuò)；由圖 1 知，10 年中國(guó)新增裝機(jī)總?cè)萘繛?3.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1 = 197.7,則10年來中國(guó)新增裝機(jī)容量平均為19.77GW, C錯(cuò)；故選：D.10 .已知拋物線y2=2px上不同三點(diǎn) A, B, C的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，那么下列說法正確的是（）A. A, B, C的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列B. A, B, C到x軸的距離成等差數(shù)列C. A, B, C到點(diǎn)O （0, 0）的距離成等差數(shù)列D. A, B, C到點(diǎn)F （色，0）的距離成等差數(shù)列【解答】 解：設(shè) A (xi, yi) , B (x2, y2), C (x3,

9、 y3), 因?yàn)锳, B, C的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，所以 2X2=X1 + X3,由拋物線的定義，得點(diǎn) A, B, C到焦點(diǎn)F但，0)的距離 2|AF|=xi+L, |BF|=x2+.L, |CF|=x3+-2|BF|=2x2+p,|AF|+|CF|=xi+x2+p,又因?yàn)?，?2|BF|=|AF|+|CF|,所以A, B, C到點(diǎn)F 發(fā)，0)的距離成等差數(shù)列.故選：D.11 .已知函數(shù)f (x) = sinx+sin (就)，現(xiàn)給出如下結(jié)論：f(x)是奇函數(shù)； f (x)是周期函數(shù)；f(x)在區(qū)間(0,兀)上有三個(gè)零點(diǎn)；(x)的最大值為2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A. 1B. 2C. 3D.

10、4【解答】 解：因?yàn)?f ( x) = sin ( x) +sin (一伙)=sinx - sin (兀x) = - f (x) 所以f (x)是奇函數(shù)，正確.假設(shè)存在周期T,貝U sin (x+T) +sin (兀(x+T) = sinx+sin ux,sin (x+T) - sinx= - sin (兀(x+T) - sin ux,而凹.T o 2x+T . I 2兀工+兀T小所以 sin?cos sin?cos,2222,2兀工口燈2耳口+T存在 XOCR, 使得 cos=0, 而 cosW0,將 xoR, - sin?cos空號(hào)注=0,由于ss"明工#，生.XTl 故-sin

11、 2 = 0,所以 sin= 0, sin "1 = 0, 22TJET=k ti, -=m Tt, k, m CZ,22所以k兀=m,矛盾，所以函數(shù)f (x) = sinx+sin (兀x),沒有周期，錯(cuò)誤.f （x） = sinx+sin （兀x） = 2sin函數(shù)的零點(diǎn)為方程sin-2±x=一或x=2（"2k）五1-冗,xC （0,兀）=0,x=2元所以f (x)在區(qū)間(0,兀)上有三個(gè)零點(diǎn)；故 正確.假設(shè)存在這樣的x0使得f (x)最大值為2,兀所以今一泳加=J+2k, kCZ,無解，故錯(cuò)誤.,（k2）12.已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1F2,過Fi的直線與 C交

12、于A,B兩點(diǎn)，若|AF2|=|FiF2|="|BFi|則C的離心率為(B.V3c 1C- 2D.【解答】解：橢圓C的焦點(diǎn)為Fi, F2過Fi的直線與 C交于A, B兩點(diǎn)，若|AF2|=|FiF2|=|BFi|=2c,所以 |AFi|=2a 2c|BF2|=2a-c,所以H（2a="）工,可得 2c2+9aC-5a2= 0即為 2x- y+1 = 0,故答案為：2x - y+1 = 0.14.若實(shí)數(shù)變量x, y滿足約束條件<真+y<l ,且z=2x+y的最大值和最小值分別為 m和n,貝U m+n= 0 .【解答】解：作出可行域，如圖所示，由z=2x+y可得y=-

13、2x+z,則z表示直線的縱截距，平移直線y= - 2x,結(jié)合圖象可知，當(dāng) 2=2*+丫過人（-1, - 1）時(shí)z取最小值-3,當(dāng)z=2x+y過B （2,-1）時(shí)z取最大值3故 m+n= 0,【解答】解：: a= 1 ABC的面積為，則c=_cosC=4 sinC=Vl-co s2,可得absinC =V?V?ab,解得 ab=2,b = 2,由余弦定理可得 c=2tb2-2abcOSC=yi2+23-2XiX2x1=V2故答案為：V2.16.已知正三棱柱 ABC-AiBiCi的側(cè)棱長(zhǎng)為 m (mCZ),底面邊長(zhǎng)為 n (nCZ),內(nèi)有一個(gè)體57兀積為V的球，若V的最大值為二兀，則此時(shí)三棱柱外接

14、球表面積的最小值為2【解答】解：當(dāng)球能與三側(cè)面相切時(shí)，底面內(nèi)切圓的半徑=-*,273由題意得：芻九3工，所以r=g, n=3/3, nCZ,不符題意；3 r 22當(dāng)球與上下底面能相切時(shí)，r =生，回由題意得：芻五 由12二，所以=4 m=3,3 r 22此時(shí)，-M旦所以n的最小值為6.2設(shè)外接球的半徑設(shè)為 R,則R2 = rnbn+1 ,即有 a2 = 2x (1+1) =4, n=2 時(shí)，a3b3=4b2+1,即有 a3+ (也)，外接球的表面積S= 4 tR2= 57兀.故答案為：57兀.三、解答題(共7題)17.已知數(shù)列an是等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足bi = b2=b3 =,an+1bn+

15、1 = 2nbn+1 .(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求bn的前n項(xiàng)和.【解答】解：(1)數(shù)列an是等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足b1 = b2,an+1bn+1=當(dāng) n = 1 可彳a a2b2= 2b1+1,可得等比數(shù)列an的公比為2,且 an=4?2n-2=2n;(2)由 an+1bn+1 = 2nbn+1 ,即 2n+1bn+1=2nbn+1 ,即有bn的前n項(xiàng)和為Sn= 1?772+n+14+3+n?g)+2?4相減可得Sn=2+ ()2222+n+13+ (二)nI可得2nbn為首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，可得 2nbn=1+n - 1 = n,貝U bn= n?(丁)n+1化簡(jiǎn)可得bn

16、的前n項(xiàng)和為2- (n+2)?“少年強(qiáng)則國(guó)強(qiáng)”，青少年身心健康、18 .黨中央、國(guó)務(wù)院歷來高度重視青少年的健康成長(zhǎng).體魄強(qiáng)健、意志堅(jiān)強(qiáng)、充滿活力，是一個(gè)民族旺盛生命力的體現(xiàn)，是社會(huì)文明進(jìn)步的標(biāo)志，是國(guó)家綜合實(shí)力的重要方面.全面實(shí)施國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)，把健康素質(zhì)作為評(píng)價(jià)學(xué)生全面健康發(fā)展的重要指標(biāo)，是新時(shí)代的要求.國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)有一項(xiàng)指標(biāo)是學(xué)生體質(zhì)指數(shù)(BMI),其計(jì)算公式為：二 體重，當(dāng)bmi>23.5時(shí)認(rèn) 身高,m?)為“超重”，應(yīng)加強(qiáng)鍛煉以改善 BMI .某高中高一、高二年級(jí)學(xué)生共2000人，人數(shù)分布如表(a).為了解這2000名學(xué)生的BMI指數(shù)情況，從中隨機(jī)抽取容量為160的

17、一個(gè)樣本.性別 男生女生合計(jì)年級(jí)高一年級(jí)5506501200高二年級(jí)425375800合計(jì)97510252000表(a)(1)為了使抽取的160個(gè)學(xué)生更具代表性，宜采取分層抽樣，試給出一個(gè)合理的分層抽樣方案，并確定每層應(yīng)抽取出的學(xué)生人數(shù);(2)分析這160個(gè)學(xué)生的BMI值，統(tǒng)計(jì)出“超重”的學(xué)生人數(shù)分布如表( b).性別男生女生年級(jí)高一年級(jí)46高二年級(jí)24表(b)(i)試估計(jì)這2000名學(xué)生中“超重”的學(xué)生數(shù)；(ii)對(duì)于該校的2000名學(xué)生，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)，可分析出性別變量與年級(jí)變量哪一個(gè)與“是否超重”的關(guān)聯(lián)性更強(qiáng).應(yīng)用卡方檢驗(yàn)，可依次得到K2的觀察值ki, k2,試判斷ki和k2的大小

18、關(guān)系.（只需寫出結(jié)論）【解答】解：（1）考慮到BMI應(yīng)與年齡或性別均有關(guān)，最合理的分層應(yīng)為以下四層：（Wj "男生、Wj 一"女生、tWj二男生、tWj二女生；則高一男生抽取 f型Lx 160=44 （人），2000高一女生抽取 E!Lx 160 = 52 （人），2000高二男生抽取 BLx 160 = 34 （人），2000高二女生抽取160 = 30 （人）；（2） （i） 160 人中，“超重”人數(shù)為 4+6+2+4 = 16 （人），“超重”發(fā)生的頻率為 0.1,用樣本的頻率估計(jì)總體的頻率，估計(jì)這2000名學(xué)生中“超重”的學(xué)生數(shù)為2000X 0.1 =200 （人

19、）；（ii）應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)，分析出性別變量與年級(jí)變量哪一個(gè)與“是否超重”的關(guān)聯(lián)性更強(qiáng)，得出K2的觀察值k1, k2,則k1和k2的大小關(guān)系為k1>k2.19 .如圖，三棱錐 P-ABC 中，PA=PB=PC, / APB = /ACB = 90°，點(diǎn) E, F 分別是棱AB, PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是 BCE的重心.（1）證明：PEL平面ABC;（2）若GF與平面ABC所成的角為60° ,且GF = 2,求三棱錐P - ABC的體積.【解答】解：（1）證明：PA=PB, E是AB的中點(diǎn)，PEXAB,. /ACB=90° , E 是 AB 中點(diǎn)，EC=EA,

20、PC= PA, PE=PE,PECA PEA, ./ PEC=Z PEA=90° , PEL EC,. ABnEC=E, . PE，平面 ABC.(2)解：連結(jié)CG,并延長(zhǎng)，交 BE于點(diǎn)O,則點(diǎn)。為BE的中點(diǎn)，連結(jié) OF, .F是棱PB的中點(diǎn)，OF II PE,由(1)得OF，平面ABC,，/ FGO是GF與平面 ABC所成角，/ FGO=60° ,在 RtAFGO 中，GF = 2, . OG= 1, OF=/3, G是 BCE的重心，O, F分別是BE, BP的中點(diǎn)， .OC=3, PE = 2>/3,. PA=PB, Z APB=Z ACB = 90°

21、 , E, F 分別是 AB, BP 的中點(diǎn)， AB=4a,CE=2后，OE = «,則在 CEO 中，OE2+OC2= (V3) 2+32= 12= ( 2/3) 2=CE2, . OCAB, 二三棱錐P-ABC的體積：v=Tsaabc 'FE= 知'F E=惠力, 3 2炳=12 .20.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知兩定點(diǎn) A(- 2, 2), B (0, 2)動(dòng)點(diǎn)P滿足嵯L =/2 .(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)軌跡C上有兩動(dòng)點(diǎn)E, F,它們關(guān)于直線l: kx+y-4=0對(duì)稱，且滿足無研 =4, 求 OEF的面積.【解答】解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

22、x, v)則型一=阪FB一-0(廠 2 整理得(x-2) 2+ (y- 2) 2=8,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程是以(2, 2)為圓心，半徑 為2 .一的圓.(2)二軌跡C上有兩動(dòng)點(diǎn) 巳F,它們關(guān)于直線l: kx+y-4=0對(duì)稱；所以圓心(2, 2)在kx+y - 4= 0上，代入求得k= 1,故直線方程為：x+y - 4= 0;易知OC垂直于直線 L,且OC=R;設(shè)ef的中點(diǎn)為m,則麗?5F=(際+血)？(而十而)=(贏+而b?(6S-瓦)=國(guó)2 從鏟=4;又請(qǐng)=夜+方憶R2+回2，記2 = R2一回2；，2&2=4, |而尸&，|血尸而匚需=必，而42|ME|= 2叵.易知 O

23、C II EF,O到直線EF的距離等于CM ,Saqef =1x2/6x72=2/3.21.已知函數(shù)f(x)= 1 - 2asinx-ex,(»是£(»的導(dǎo)函數(shù)，且f'(0)=0.(1)求a的值，并證明f (x)在x= 0處取得極值；(2)證明：f (x)在區(qū)間2k%, 2k兀/匚(kCN)有唯一零點(diǎn).2【解答】 解：(1) f' (x) = - 2acosx+e x,令 f' ( 0) = 0,得-2a+1 =0,自= .f (x) = 1 - sinx- e x, f' (x) = - cosx+e x= e x (1 - ex

24、cosx),當(dāng) xv 0 時(shí)，e x> 1 >cosx, f' (x) = - cosx+e x>0,故 f (x)在(-°0,。)單調(diào)遞增；當(dāng) x>0 時(shí)，令 g (x) =1excosx,則 g' (x) = ex (sinx-cosx),在區(qū)間(0,)上，4g' ( x) v 0,故g (x)是(0,上的減函數(shù)， g (x) vg (0) =0,即在區(qū)間(0,工)上 f' (x) = e xg (x) < 0,4 .f (x)是to, 工)上的減函數(shù)，4綜上所述，f (x)在x= 0處取得極大值f (0) =0;(2

25、)證明：由(1) f (x) = 1 sinx- e x,TT_(如 n -4)f(2kTt) =1-e 2k»0, f(2k兀r)*e 2 <0,f (x)在區(qū)間2k %, 2k (kCN)至少有一個(gè)零點(diǎn)，2以下討論函數(shù)f (x)在區(qū)間2k %, 2k兀$上函數(shù)值的變化情況：由(1) f'(x)= cosx+ex= e x (1 excosx),令 g(x)= 1 excosx,貝Ug'(x)=ex (sinx - cosx),令g' (x) =0,在(0, +8)上，解得元力冗4，mEN，當(dāng)k=。時(shí)，在區(qū)間s,上，g' (x) <0,

26、g (x)遞減，式二)晨二口；在44區(qū)間(JL, 二)上，g' (x) >o, g (x)遞增，鼠 1ilLi故存在唯一實(shí)數(shù).E =,.)，使得g (xo) =0,即嚴(yán)3/二。式4)二" -L.14故在(0, xc)上，f (x) V0, f (x)遞減，f (x) vf (0) =0；在(5,二)上，f'IT(x) >0, f (x)遞增，而 f(-)=_e 2 Vo,故在0,上f (x) & 0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f (0) = 0,故f (x)在0, 上有唯一零點(diǎn)；對(duì)任意正整數(shù)k ,在區(qū)間(2k兀，2k冗J'或 GX0,4Q遞減， 4

27、g(2k兀<呂(2k冗)二1 一已2卜“ <。，在 區(qū) 間(2攵兀 4，2k兀4)，葭(冥)>0.式k)遞增，式法冗修)=1>0,7TTT故存在唯一實(shí)數(shù) 網(wǎng)(2及冗。一，2k冗七1)，使得g門切=0, K42即針(n)二J%式4)二0,在(2k兀，xk)上，因?yàn)間 (x) <0, TLX*L故 f'( x)v 0,f(x)遞減，在2k兀上，因?yàn)?g(x)> 0,故 f'(x)>K 2叮 一 (2k Rd)0J門)遞增，式2上冗>>一須71>0, f(xJ<f(2kH+2L>.e 2 <0 Kzf (2

28、kTt) f (xk) <0,ITf (x)在(2kTt, xk)即2k", 2kn力有唯一零點(diǎn)，綜上，f (x)在區(qū)間2kTt, 2k兀+3(kCN)有唯一零點(diǎn).P 直二 4m222 .在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).y=4m(1)寫出曲線C的普通方程，并說明它表示什么曲線；(2)已知傾斜角互補(bǔ)的兩條直線11, 12,其中11與曲線C交于A, B兩點(diǎn)，12與C交于M, N 兩點(diǎn),11 與 12 交于點(diǎn) P (x0, y0),求證：|PA|?|PB|= |PM|?|PN|.【解答】解：(1)解：由y=4m,得m=1_,代入 x=4m2,得 y2=4x,曲線C的普通方程為y2=4x,.C的普通方程為y2=4x,表示開口向右，焦點(diǎn)為 F (1, 0)的拋物線.(2)證明：