高等數學課件：8-3任意項級數審斂法

1、二、絕對收斂與條件收斂二、絕對收斂與條件收斂第三節(jié)一、交錯級數及其審斂法一、交錯級數及其審斂法 任意項級數的審斂法 第八八章 一、交錯級數及其審斂法一、交錯級數及其審斂法 nnuuuu1321)1(交錯級數交錯級數 :定理定理8.6 (萊布尼茨審斂法萊布尼茨審斂法) 若若交錯級數交錯級數滿足滿足:則則; ),2,1()11 nuunn,0lim)2 nnunnnu 11)1(收斂收斂 , 且其和且其和 ,1uS 其余項滿足其余項滿足.1 nnur）（0 nu1. 定義定義稱滿足條件稱滿足條件1), 2)的級的級數為數為萊布尼萊布尼茨交錯級數茨交錯級數)()(43212uuuuSn )()(54

2、3212uuuuuSn 1u 單調增加且有上界單調增加且有上界2nS12limuSSnn 22 nSnu2 1 先證先證部分和數列部分和數列S2n單調增加且有上界單調增加且有上界.)(212nnuu )(1222 nnuu)(21222nnnuuS 0 un 遞減遞減證證證明思路：證明思路：,lim2SSnn SSnn 12limSSnn lim+故級數收斂于故級數收斂于S, 且且,1uS :的余項的余項nSnnSSr )(21 nnuu 21nnnuur.1 nu,limSSnn 仍為萊布尼茨仍為萊布尼茨 交錯級數交錯級數2 再證再證SSnn 12lim又又12lim nnSnnS2lim

3、S )(lim122 nnnuS注注1 萊布尼茨定理中的條件萊布尼茨定理中的條件(1)可換成：可換成：)(1Nnuunn 不單調不單調2nu;)0()1(11發(fā)散發(fā)散 nnnnuu反例：反例：，對對于于nnnn2)1(2)1(11 nnnu2) 1(2 0不單調，不單調，雖然雖然nu事實上，事實上，單調增加單調增加3nu;)0()1(11發(fā)散發(fā)散 nnnnuu)0lim( nnu121221 kkuk222 ,2322kku nnnu2) 1(2 nnnn2)1(2)1(11 但但21)21(11nnn 收斂收斂 111)1(npnn 例例1 證明交錯級數：證明交錯級數： pp31211 pn

4、n1)1(1)0( p收斂，并估計其余項收斂，并估計其余項 rn .解解pnnu1 因因),(0 npnnu1 且且 111 npun由由萊萊布布尼尼茨茨審審斂斂法法 pnnnur111 且且知知級級數數收收斂斂，需證需證un遞減趨于零遞減趨于零得得收收斂斂級級數數取取, 1 p 111nnn即即和和為為, 2ln 2ln111 nnn231211 nn111注注 1(第五節(jié)第五節(jié)) 11,1)1(nnn收斂收斂.11發(fā)散發(fā)散但但 nn絕對值級數絕對值級數問題問題:斂斂散散性性的的關關系系？與與 11nnnnuu二、絕對收斂與條件收斂二、絕對收斂與條件收斂 1. 定義定義 111)1(npnn

5、 1nnu若若收斂收斂 ； 11nnu）（ 12nnu）（條件收斂條件收斂,例如：例如：絕對收斂：絕對收斂：條件收斂條件收斂: 1nnu發(fā)散發(fā)散. 1nnu若若收斂，但收斂，但絕對收斂絕對收斂,.11發(fā)發(fā)散散但但 npn 11,1) 1(npnn收收斂斂；10 p. 1 p收斂收斂 11npn2. 定理定理 (絕對收斂與收斂的關系絕對收斂與收斂的關系)證證 設設 1nnunv令令 0 1nnv收斂收斂, 12nnv,2nnnvuu 而而 1nnu 1nnu收斂收斂.)(21nnuu nv,nu 收斂收斂 ,定理定理8.7若級數若級數 絕對收斂，絕對收斂， 1nnu則該級數必收斂則該級數必收斂.

6、則則由收斂級數的基本性質，由收斂級數的基本性質，注注 收斂收斂1nnu絕對收斂絕對收斂 1nnu?由比較審斂法知由比較審斂法知,1 nnu 12nnv均收斂均收斂 12!sinnnn級級數數,1!sin22nnnun 解解例例2.!sin12 nnn絕絕對對收收斂斂即即,112收收斂斂而而 nn 12!sinnnn收收斂斂條件收斂、條件收斂、絕對收斂還是發(fā)散？絕對收斂還是發(fā)散？ 判定交錯級數判定交錯級數 110)1(nnnn的斂散性的斂散性. . 例例3解解nnnnuvnnu)1(10 ，絕對收斂性絕對收斂性110 nnuvnn)1(101 nn,1011發(fā)散發(fā)散而而 nn發(fā)散發(fā)散 1nnv)

7、,(nf令令 10 nnun)0(10)( xxxxf2)10()10(21)( xxxxxf2)10(210 xxx)10(0 x單單調調減減少少，時時，當當)(10 xfx 條件收斂性條件收斂性2分析分析10 nnun需判定需判定遞遞減減、趨趨于于零零時，時，故當故當10 n)()1(nfnf )10(1 nuunn即即 nnulim又又10lim nnnnnn101lim 由由萊萊尼尼布布茨茨判判別別法法知知 110)1(nnnn 收斂收斂. . 0 綜合綜合1, 2 可知：可知： 110)1(nnnn 條件收斂條件收斂. . 注注 1 用萊布尼茨判別法判斷交錯級數用萊布尼茨判別法判斷交

8、錯級數)0()1(11 nnnnuu是否收斂時，要考察是否收斂時，要考察 un 是否單調減少，通常是否單調減少，通常有以下有以下三種三種方法：方法：比值法：比值法：1)(1?1Nnuunn 差值法：差值法：2)(0?1Nnuunn 函數法：函數法：3由由un 找一個可導函數找一個可導函數 f (x),)(nunf 使使?0)( xf再考察再考察2 關系關系收斂收斂 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu收斂收斂 1nnu?（一般地）（一般地）但但特殊地，特殊地，有有定理定理8.8設任意項級數設任意項級數滿足滿足 1nnu1lim1 uunnn)1lim( unnn或或則級數則級數,1發(fā)散

9、發(fā)散 nnu.1發(fā)散發(fā)散且且 nnu, 1lim1 uunnn由由),(1Nnuunn 可得可得, 0lim nnu于是于是, 0lim nnu從而從而.1發(fā)散發(fā)散故故 nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu說明說明:（用比值法或（用比值法或 根值法判）根值法判）證證 ,!11 nnnnnnnnnnnuu1lim 又又nnn)11(lim 知知，由由定定理理8 . 8 散？散？收斂、條件收斂還是發(fā)收斂、條件收斂還是發(fā)是絕對是絕對級數級數 1!nnnn例例4解解 nnnnnnn!11lim1 , 1 e .!1發(fā)發(fā)散散 nnnn ,!11發(fā)發(fā)散散 nnnnnnnn比值法判定比值法判定定理定理

10、8.9，對任意項級數對任意項級數 1nnu）（），），（令令nnnnnnuuuu-2121 絕對收斂的充要條件是絕對收斂的充要條件是則級數則級數 1nnu 11nnnn，數數則得到兩個新的正項級則得到兩個新的正項級都收斂。都收斂。和和 11nnnnnnnu 定理定理8.10條件收斂，條件收斂，若級數若級數 1nnu都發(fā)散。都發(fā)散。和和則則 11nnnn證證 反證法反證法 （充分性）（充分性）都收斂，都收斂，和和設設 11nnnnnnnu 矛盾。矛盾。收斂，收斂， 1nnu有一個發(fā)散，有一個發(fā)散，和和若若 11nnnnnnnnnnuu- 或或由由收斂，收斂，以及以及 1nnu盾。盾。另外一個級數

11、收斂，矛另外一個級數收斂，矛分別為分別為 *3. 絕對收斂級數性質絕對收斂級數性質*性質性質1 (交換律交換律).S則則逐項相乘逐項相乘 ，jivu 1nnw并按并按任意順序任意順序排列排列也絕對收斂也絕對收斂, 1nnv 1nnu 與與設設都絕對收斂都絕對收斂,S其和為其和為絕對收斂級數不因絕對收斂級數不因改變項的位置改變項的位置而改變其和而改變其和.*性質性質2 (分配律分配律)其和其和得到的級數得到的級數 1nnv 1nnu故故 11121)(nnnnvuvuvuS 柯西乘積柯西乘積1. 利用部分和極限利用部分和極限:3. 利用正項級數審斂法利用正項級數審斂法0lim nnu比值審斂法比

12、值審斂法根值審斂法根值審斂法比較審斂法比較審斂法內容小結內容小結（任意項級數審斂法）（任意項級數審斂法）2. 利用收斂的必要條件利用收斂的必要條件:發(fā)散發(fā)散 不存在不存在SSnnlim 發(fā)散發(fā)散收斂收斂收斂收斂判判 1nnu收斂收斂 1nnu發(fā)散發(fā)散判判 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu4. 萊布尼茨萊布尼茨判別法判別法: 收斂收斂交錯級數交錯級數nnnu 1)1( 11!1)1()2nnn nnn2) 1(222112 1!1)2nn 12)3nnn發(fā)散發(fā)散;收斂收斂;收斂收斂.備用題備用題例例1-1 判定下列的斂散性：判定下列的斂散性： !31!211 !1)1(1nn 112) 1() 3nn

13、nn問題問題 上述級數的絕對值級數上述級數的絕對值級數 是否收斂是否收斂 ? 1nnv 111) 1() 1nnn 31211 nn1) 1(1收斂收斂收斂收斂收斂收斂 11)1nn解解，因因ppnnnx1cos ,)1(11收收斂斂級級數數又又 pnpnp收收斂斂，故故 1cosnpnnx例例2-1 是是絕絕對對收收斂斂、級級數數1cos1 pnnxnp?條條件件收收斂斂還還是是發(fā)發(fā)散散.cos1絕絕對對收收斂斂從從而而 npnnx例例2-2 證明證明 1214) 1()2(;sin) 1 (nnnnennn 證證 (1),1sin44nnn 因因而而 141nn收斂收斂 , 14sinnn

14、n 故故收斂收斂,因此因此 14sinnnn 絕對收斂絕對收斂 .絕對收斂絕對收斂 .,2nnenu 令令nnnuu1lim 因因 lim n121 nen）（nen2211lim nnen11 e因此因此 12)1(nnnen 12)1(nnnen故故收斂收斂,絕對收斂絕對收斂. 12) 1()2(nnnen .0sin11的的斂斂散散性性判判定定 nnxnx例例3-1解解 nxunnsin1 因因)( nnx發(fā)發(fā)散散，而而 1nnx發(fā)發(fā)散散， 1nnunxsin 由由比比較較法法知知.故故原原級級數數非非絕絕對對收收斂斂,0sinlim nxn且且 是是）（故故xnnxnn2sin11 ,萊萊布布尼尼茨茨交交錯錯級級數數 xnnxnx21sinsin又又.因因此此條條件件收收斂斂例例3-2 ), 3 , 2 , 1(0 nun設設, 1lim nnun且且則則 ).()(11111 nnnnuu(A) 發(fā)散發(fā)散 ; (B) 絕對收斂絕對收斂;(C) 條件收斂條件收斂 ; (D) 收斂性根據條件不能確定收斂性根據條件不能確定.分析分析, 1lim nunn由由,11nun知知選選 (B) 錯錯 ;)(2111uunS 又又)(3211uu C)(4311uu )(5411uu )()1(1111 nnuun