數(shù)列之累加法與累乘法老師專用

1、數(shù)列之累加法與累乘法老師專用1. 累加法設(shè)數(shù)列a中，a? =2, a=a+ n+2,則通項(xiàng)a=解析：由已知得 aa=n+2,于是有a-a?=(aa)+(aa)+(aa) +(a? -a?)(n+ 1) +2x ( n 1)n2 +3n 4 2a= a?n2 +3n4 n2 +3n n(n +2=2=2(n>2)經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)n= 1時(shí)也符合該式.， a= n（n2. 設(shè)數(shù)列a中，a? =3, a=a + 2n,則通項(xiàng) a = _.解析：由已知得 aa=2n,于是有 a-a?=(aa)+(aa)+(aa) +(a? -a?)2n+ 4=2 x ( n1) = (n + 2)( n a= a? +

2、 ( n +2)( n1) =3+( n+2)( n1) = n2 +n+1 (n>2).-、.,一. 一一 a. 一 ， ,3. （2010遼寧卷T16）已知數(shù)列a滿足a? =33, a-a=2n,則一的最小值為 n2(n 1) = n( n解析：a? -a? =2, a? - a? =4, a-a? =6,，a - a= 2( n- 1),以上各式左右兩邊分別相加，得 a a? =a+4+6+a= a? + n( n1) = 33+n(n1),則 一 33n+nT，/*若x>0, xC R,由基本不等式可得33xx>2 33 ,當(dāng)且僅當(dāng)x=、33時(shí)取得最小值.最接近 33

3、的兩個(gè)整數(shù)是a所以a的最小值為21 n5 和 6 . */當(dāng)n=5時(shí)，n =35%馬3一， a當(dāng) n=6 時(shí)，- =33 + =21 <53n 6 524. （2011四川卷T8）數(shù)列a的首項(xiàng)為3, b為等差數(shù)列且b= a- a( nC N*).若 b? = - 2, b= 12,貝Ua解析：設(shè)b的公差為 d,則 d= ?603 =2,bn=b? +( n3)d= 2( n 4),即 aa=2(n 則 a? - a? =6, a? - a? = - 4, a - a? = 2,，aa=2(n 5. （2015江蘇卷T11）累加法&裂項(xiàng)相消法設(shè)數(shù)列a滿足a? = 1,且a- a=

4、n+ 1 ( n N*),則數(shù)列L前10項(xiàng)的和為解析：由 a? = 1,且 a a= n+ 1 ( n N*)得,a =a? +(a? - a? ) + (a? a? ) +(a-a )=1 + 2+ =n( n +2,1則,2an( n + 1)12( n n+ 1故數(shù)列17前10項(xiàng)的和為S11111202(1 2 + 2 3 + + 10 11) =2(1 I1 ) Tr6.數(shù)列a滿足a? =1,且對(duì)任意的m, nCN,都有 a=a+a+mn 則a?a?a?解析：令mi= 1,則有a= a? +a+n,即 aa=n+1,所以 a? - a? =2, a? - a? =3, a- a? =4

5、,a- a =累加彳導(dǎo)到 a-a? =2+3 + 4+ + n (n+22( n-,故 a=a? ( n+g2 n( nJ1112012 2013)40242013.-2111111an(n+1)=2( n . n+1) , .' a.+ a.+a =2(1 -2 + 2 . 3+7. 已知數(shù)列a中，a? =p, a? = q,且a2a+a=d,求數(shù)列a的通項(xiàng)公式.解析：原式可化為(a a) (a a) = d.令b=a-a,則b-b= d,所以數(shù)列bn是以b? = a? -a? =qp為首項(xiàng)，以d為公差的等差數(shù)列. b=b?+(ni)d= qp+(ni)d.即 aa= qp+(n1)

6、d.于是有 a a?n 2=(n 1)( q p) + 2 x ( nn 2= (n- 1)( q-p+ 2n_ 2n 2o . z 八/ 9 d) = p+( n- 1)( q-p+ 9 d) - a= a? + (n -1)( q - p 2'、 八2,，一， 一人，、n-2經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)n= 1時(shí)也付合該式.，a= p+ (n-1)( q- p ? d)18. 已知數(shù)列a中，a? =5,滿足a=(1 + )a,求數(shù)列a的通項(xiàng)公式.解析：原式可化為 =1 +=n± 于是有 * -aaxx.- n ,a? a a aan '= n+1 x n x n-1x.x 4 x 3

7、 H+1.n n-1 n-2 =(n+= x 1(n + 2X13222一一5 ,a =a?皮+ 1 =萬(n +29. 已知數(shù)列a中，a?112,一、a= )a,求數(shù)列a的通項(xiàng)公式.,滿足 (+33 3n解析：原式可化為于是有部VaXaa x-a1.=(一)n+1 c X X 3 n-1nn-2n- 1x xn- 3n- 2n 一 45,43、/X x x一x32an = a? x x (n + = x 33(n+1)n= (n + v22 x 310. 在數(shù)列a與b中，a? =1, b? =4,數(shù)列a的前n項(xiàng)和 創(chuàng)足nS ( n+ 3) S= 0, 2a為b與b的等比中項(xiàng)，n N*.求a?

8、 , b?的值； 求數(shù)列a與b的通項(xiàng)公式.解析：令n=1可得S? =4S?=4,a? =S?a?=3.(2 a? 2a?為 b?與 b?的等比中項(xiàng),=9.由原式可得nS于是有S= SSSS SSS= (n + 3)S ,Srn+ 3=n+2xn+1* n n 1 n 2 n 3X n 1 X X 6 Xn- 4(n+ 2)( n+ 1) n ( n+2)( n +3X2X1S=(n+2)( n+1)n (n+2)( n +.于是有S=則當(dāng) n>2 時(shí)，a=S- S=(n + 2)( n+ 1) n ( n + 1) n( n(n+ 1) n( n-6-1)_(n+2,經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí)也符合上式，a= (n 2由已知 b- b= (2 a) 2 =( n+1)( n+2) 2 ,則 b- b=( n+2)( n+3) 2 , b?兩式相除得-=(n+3)2 ,于是有b?十(1 )2電？ ) bn +1b以上各式連乘可W： &