競(jìng)賽課件11：天體運(yùn)動(dòng)種種

1、直通直通競(jìng)賽競(jìng)賽賽前賽前準(zhǔn)備準(zhǔn)備開(kāi)普勒三定律開(kāi)普勒三定律 面積定律面積定律 軌道定律軌道定律 周期定律周期定律萬(wàn)有引力定律萬(wàn)有引力定律2GMmFr 牛頓運(yùn)動(dòng)定律牛頓運(yùn)動(dòng)定律32akT 2222GMmvmmrrTr t3t4Bt2t1A行星行星太陽(yáng)太陽(yáng)ba機(jī)械能機(jī)械能在同一軌道上機(jī)械能守恒在同一軌道上機(jī)械能守恒!軌道軌道(對(duì)環(huán)繞中心對(duì)環(huán)繞中心)越高越高,總機(jī)械能越大總機(jī)械能越大!赤道平面軌道赤道平面軌道極地軌道極地軌道其它軌道其它軌道角速度角速度周期周期速度速度加速度加速度與軌道半徑關(guān)系與軌道半徑關(guān)系軌道半徑軌道半徑R中心天體半徑中心天體半徑R00020GMagR2GMagR21aR0000GM

2、vR gRGMvRgR1vR300022RRTgGM322RRTgGM 3TR0300gGMRR 3gGMRR 31R GM環(huán)繞系統(tǒng)的環(huán)繞系統(tǒng)的“高斯常數(shù)高斯常數(shù)”20GMmFR 引引F引引mF向向20FmR 向向2020GMmGmRR mF引引F向向20cosFmR 向向地面上物體的重力是地心引力除去隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力地面上物體的重力是地心引力除去隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力( (只是地心只是地心引力極小一部分引力極小一部分) )的部分的部分, ,產(chǎn)生使支持物形變或重力加速度的效果產(chǎn)生使支持物形變或重力加速度的效果天上衛(wèi)星的重力即全部地心引力天上衛(wèi)星的重力即全部地心引力, 產(chǎn)生繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)向心加速度

3、的效果產(chǎn)生繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)向心加速度的效果 GFF引引向向心心 22mMmRMR mMRMRm mMMRLMmmRLMm ,mMmMvvRR mMvMvm mMaMam 模型特征：模型特征：故有故有之二：之二：角速度相同，即角速度相同，即之三：之三：兩天體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等，兩天體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等，之四：之四：之一：兩天體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力均為兩天體間的萬(wàn)有引兩天體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力均為兩天體間的萬(wàn)有引力，大小相等，即力，大小相等，即模型規(guī)律：模型規(guī)律：ORmmMRMvMvm兩顆相近的天體繞它們連線上的某兩顆相近的天體繞它們連線上的某點(diǎn)（質(zhì)心點(diǎn)（質(zhì)心）以共同的角速度做勻速）以共同的

4、角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng) .222GMmMmLLTMm 由由 32LTG Mm 之五：之五：雙星系統(tǒng)動(dòng)量守恒雙星系統(tǒng)動(dòng)量守恒GM m2mR 22RT 4G 3 3R2R4 2 2RT23GT 地球公轉(zhuǎn)軌道平面地球公轉(zhuǎn)軌道平面日DXQCh對(duì)北半球而言對(duì)北半球而言, ,在冬季過(guò)近日點(diǎn)在冬季過(guò)近日點(diǎn), ,夏季過(guò)遠(yuǎn)日點(diǎn)夏季過(guò)遠(yuǎn)日點(diǎn)t3t4Bt2t1A行星行星太陽(yáng)太陽(yáng)ba1122abvt avt b abvavbab abvv 如圖所示為地球繞太陽(yáng)運(yùn)行示意圖，圖中橢圓表示地球公如圖所示為地球繞太陽(yáng)運(yùn)行示意圖，圖中橢圓表示地球公轉(zhuǎn)軌道，轉(zhuǎn)軌道，Ch、Q、X、D分別表示中國(guó)農(nóng)歷節(jié)氣中的春分、秋分、夏至、

5、冬至?xí)r分別表示中國(guó)農(nóng)歷節(jié)氣中的春分、秋分、夏至、冬至?xí)r地球所在的位置試說(shuō)明，一年之內(nèi)秋冬兩季比春夏兩季要少幾天的原因地球所在的位置試說(shuō)明，一年之內(nèi)秋冬兩季比春夏兩季要少幾天的原因 地球公轉(zhuǎn)軌道平面地球公轉(zhuǎn)軌道平面日日DXQCh由面積定律由面積定律: :321224T R gR 同步軌道半徑設(shè)為同步軌道半徑設(shè)為R1同步衛(wèi)星軌道在影區(qū)的弧所對(duì)圓心角同步衛(wèi)星軌道在影區(qū)的弧所對(duì)圓心角2，有有11sinRR 因衛(wèi)星在影區(qū)、不反射陽(yáng)光而看不到的時(shí)間為因衛(wèi)星在影區(qū)、不反射陽(yáng)光而看不到的時(shí)間為tT 112RTg 由由2R 某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，

6、他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽(yáng)光照射的此衛(wèi)星，試問(wèn)，春分那天者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽(yáng)光照射的此衛(wèi)星，試問(wèn)，春分那天（太陽(yáng)光直射赤道）在日落（太陽(yáng)光直射赤道）在日落12小時(shí)內(nèi)有多長(zhǎng)時(shí)間該觀察者看不見(jiàn)此小時(shí)內(nèi)有多長(zhǎng)時(shí)間該觀察者看不見(jiàn)此衛(wèi)星？已知地球半徑為衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為，地球表面處的重力加速度為g,地球自轉(zhuǎn)地球自轉(zhuǎn)周期為周期為T，不考慮大氣對(duì)光的折射，不考慮大氣對(duì)光的折射R132124sinRgTT 極地衛(wèi)星周期為極地衛(wèi)星周期為hTnT每晝夜衛(wèi)星經(jīng)日照下的赤道的次數(shù)為每晝夜衛(wèi)星經(jīng)日照下的赤道的次數(shù)為322hRhTR g 每次應(yīng)拍攝每次應(yīng)拍攝3224R hRlnTg 偵

7、察衛(wèi)星在通過(guò)地球兩極上空的圓軌道上運(yùn)行，偵察衛(wèi)星在通過(guò)地球兩極上空的圓軌道上運(yùn)行，它的運(yùn)行軌道距地面高度為它的運(yùn)行軌道距地面高度為h，要使衛(wèi)星在一天的時(shí)間內(nèi)將地面上，要使衛(wèi)星在一天的時(shí)間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的全部情況全都拍攝下來(lái)，衛(wèi)星在通過(guò)赤道赤道各處在日照條件下的全部情況全都拍攝下來(lái)，衛(wèi)星在通過(guò)赤道上空時(shí)，衛(wèi)星上的攝像機(jī)至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長(zhǎng)是多少？上空時(shí)，衛(wèi)星上的攝像機(jī)至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長(zhǎng)是多少？設(shè)地球半徑為設(shè)地球半徑為R，地面重力加速度為，地面重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為，地球自轉(zhuǎn)的周期為T.30RHTTRh 故故222GMmmrTr 由由3220TRHT

8、Rh 知知022TT 3RHRh 衛(wèi)星下方地面處于衛(wèi)星下方地面處于東經(jīng)東經(jīng)31180RHRh 0180移動(dòng)衛(wèi)星經(jīng)半周期又通過(guò)赤道上空，此間地移動(dòng)衛(wèi)星經(jīng)半周期又通過(guò)赤道上空，此間地球自轉(zhuǎn)了球自轉(zhuǎn)了角，有角，有 電視轉(zhuǎn)播用的電視轉(zhuǎn)播用的“地球同步衛(wèi)星地球同步衛(wèi)星”的軌道高度為的軌道高度為h，轉(zhuǎn)動(dòng)周期為轉(zhuǎn)動(dòng)周期為T0；衛(wèi)星定位系統(tǒng)用的某；衛(wèi)星定位系統(tǒng)用的某“移動(dòng)衛(wèi)星移動(dòng)衛(wèi)星”沿通過(guò)地球的南沿通過(guò)地球的南北兩極的圓形軌道運(yùn)行，離地面高度為北兩極的圓形軌道運(yùn)行，離地面高度為H，地球半徑為，地球半徑為R 該移該移動(dòng)衛(wèi)星連續(xù)兩次通過(guò)地球北極點(diǎn)上空的時(shí)間間隔是多少？動(dòng)衛(wèi)星連續(xù)兩次通過(guò)地球北極點(diǎn)上空的時(shí)間間隔是

9、多少？該移動(dòng)該移動(dòng)衛(wèi)星某時(shí)刻恰位于經(jīng)度為衛(wèi)星某時(shí)刻恰位于經(jīng)度為0度的赤道上空，那么它下一次通過(guò)赤道上度的赤道上空，那么它下一次通過(guò)赤道上空時(shí)，下方地面的經(jīng)度是多少？空時(shí)，下方地面的經(jīng)度是多少？ 要使一顆人造地球通訊衛(wèi)星（同步衛(wèi)星）能覆蓋要使一顆人造地球通訊衛(wèi)星（同步衛(wèi)星）能覆蓋赤道上東經(jīng)赤道上東經(jīng)75.0到東經(jīng)到東經(jīng)135.0之間的區(qū)域，則衛(wèi)星應(yīng)定位在哪個(gè)之間的區(qū)域，則衛(wèi)星應(yīng)定位在哪個(gè)經(jīng)度范圍內(nèi)的上空？地球半徑經(jīng)度范圍內(nèi)的上空？地球半徑R = 6.37106m地球表面處的重力地球表面處的重力加速度加速度g = 9. 80m/s2 3020022RRTgR g2200324T R gR 44.2

10、 10kmkm 221032243600641010m4 解答解答同步軌道半徑設(shè)為同步軌道半徑設(shè)為R R同步同步, ,其覆蓋經(jīng)度范圍的幾何關(guān)系如圖其覆蓋經(jīng)度范圍的幾何關(guān)系如圖: :RR同步同步 116.37coscos01428.RR 同同步步 7581156 156 751350 18054 恰能覆蓋東經(jīng)恰能覆蓋東經(jīng)75的衛(wèi)星定位的衛(wèi)星定位:恰能覆蓋東經(jīng)恰能覆蓋東經(jīng)135的衛(wèi)星定位的衛(wèi)星定位:1358154 讀題讀題衛(wèi)星應(yīng)定位在東經(jīng)衛(wèi)星應(yīng)定位在東經(jīng)54 156上空上空 地球質(zhì)量為地球質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為，自轉(zhuǎn)角速度為，萬(wàn)有引力恒量，萬(wàn)有引力恒量為為G，如果規(guī)定物體在離地球

11、無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為，如果規(guī)定物體在離地球無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為0，則質(zhì)量為，則質(zhì)量為m的物體離地心距離為的物體離地心距離為r時(shí)，具有的萬(wàn)有引力勢(shì)能可表示為時(shí)，具有的萬(wàn)有引力勢(shì)能可表示為 可供航天員居住與進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)的可供航天員居住與進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)的空間航天站離地面高度為空間航天站離地面高度為h，若在該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為，若在該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為m的小衛(wèi)星，使的小衛(wèi)星，使其能到達(dá)地球同步軌道并能在軌道上正常運(yùn)行，則該衛(wèi)星在離開(kāi)空間站時(shí)必須具其能到達(dá)地球同步軌道并能在軌道上正常運(yùn)行，則該衛(wèi)星在離開(kāi)空間站時(shí)必須具有多大的動(dòng)能？有多大的動(dòng)能？ pMmEGr 同步軌道半徑設(shè)為同步軌道半徑設(shè)為R0：20

12、20GMRR 由由302GMR 得得衛(wèi)星在同步軌道的引力勢(shì)能為衛(wèi)星在同步軌道的引力勢(shì)能為0pGMmER 同同動(dòng)能：動(dòng)能：2200GMmvmRR 由由002kGMmGMmGMmERhRR 空空3218kGMmRhGME 空空02kGMmER 同同衛(wèi)星在空間站的引力勢(shì)能為衛(wèi)星在空間站的引力勢(shì)能為pGMmERh 空空由機(jī)械能守恒：由機(jī)械能守恒：LMM(1)32222423222LMMLGGMNTLL 3312MNL 根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測(cè)量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測(cè)量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是星體的質(zhì)量都是M,兩者間相距兩者間相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周

13、運(yùn)動(dòng)，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)試試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期；計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期；若實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)周期為，且若實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)周期為，且 ,為了為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在暗物質(zhì)作為解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在暗物質(zhì)作為一種簡(jiǎn)化的模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布這種暗一種簡(jiǎn)化的模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布這種暗物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀察結(jié)果確定該星系物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀察結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度間

14、這種暗物質(zhì)的密度 1TTN:322LTGM 22222GMLMTL 由由F星F暗22GM mvmLL 黑黑(1)由(1)由353.6 10M 黑黑可可得得kgkg(2)(2) 天文學(xué)家根據(jù)觀察宣布了下列研究成果，銀河系天文學(xué)家根據(jù)觀察宣布了下列研究成果，銀河系中可能存在一個(gè)大中可能存在一個(gè)大“黑洞黑洞”，距黑洞，距黑洞60億千米的星體以億千米的星體以2000km/s的的速度繞其旋轉(zhuǎn)，接近速度繞其旋轉(zhuǎn)，接近“黑洞黑洞”的所有物質(zhì)即使速度等于光速也被的所有物質(zhì)即使速度等于光速也被“黑洞黑洞”吸入，試計(jì)算吸入，試計(jì)算“黑洞黑洞”的質(zhì)量和最大半徑的質(zhì)量和最大半徑 2GMvcR黑黑逃逃max22GMRC

15、 黑黑11351626.67 103.6 109 10 85.3 10 m m “大爆炸學(xué)說(shuō)大爆炸學(xué)說(shuō)”認(rèn)為：宇宙是很久以前發(fā)生的一認(rèn)為：宇宙是很久以前發(fā)生的一次大爆炸使聚集于某處的物質(zhì)分離開(kāi)來(lái)而成的，直到現(xiàn)在，這大爆次大爆炸使聚集于某處的物質(zhì)分離開(kāi)來(lái)而成的，直到現(xiàn)在，這大爆炸的炸的“碎片碎片”宇宙中的各星系仍在以不同的相對(duì)速率相互遠(yuǎn)宇宙中的各星系仍在以不同的相對(duì)速率相互遠(yuǎn)離觀察表明：離我們?cè)竭h(yuǎn)的星系遠(yuǎn)離我們飛去的速度越大例如，離觀察表明：離我們?cè)竭h(yuǎn)的星系遠(yuǎn)離我們飛去的速度越大例如，牧夫座內(nèi)一星云離我們銀河系的距離為牧夫座內(nèi)一星云離我們銀河系的距離為2.74109Ly(Ly為為“光光年年”，而

16、，而1 Ly=9.461015 m)，它正以，它正以3.93107 m/s的速率飛離銀河的速率飛離銀河系若大爆炸后形成的各星系分別是以不同的速率從大爆炸前物質(zhì)系若大爆炸后形成的各星系分別是以不同的速率從大爆炸前物質(zhì)的聚集處沿各個(gè)方向勻速飛離，則在下列兩種情況下求宇宙的年齡的聚集處沿各個(gè)方向勻速飛離，則在下列兩種情況下求宇宙的年齡T 假設(shè)大爆炸后銀河系與牧夫座的那個(gè)星云分別以速率假設(shè)大爆炸后銀河系與牧夫座的那個(gè)星云分別以速率V1和和V2沿相反方向飛離大爆炸前物質(zhì)的聚集處；沿相反方向飛離大爆炸前物質(zhì)的聚集處；假設(shè)大爆炸后銀河系與假設(shè)大爆炸后銀河系與牧夫座的那個(gè)星云分別以速率牧夫座的那個(gè)星云分別以速

17、率V1和和V2沿夾角為沿夾角為的兩個(gè)方向飛離在大的兩個(gè)方向飛離在大爆炸前物質(zhì)的聚集處爆炸前物質(zhì)的聚集處 9157122.74 109.46 10(1)3.93 10sstVVv 相相s sa a8210 10 兩天體分離速度成角度時(shí)，兩天體分離速度成角度時(shí)，相對(duì)速度情況如圖所示相對(duì)速度情況如圖所示V1V2v相對(duì)相對(duì)s s91572.74 109.46 103.93 10stv 相相a a8210 10 M1M2CR6060 地、月在相互間的萬(wàn)有引力作用下，繞它們的連地、月在相互間的萬(wàn)有引力作用下，繞它們的連線上的一點(diǎn)線上的一點(diǎn)C作等角速度的轉(zhuǎn)動(dòng)太空城的首選位置在月球軌道上作等角速度的轉(zhuǎn)動(dòng)太空城

18、的首選位置在月球軌道上與月球及地球等距的地方，如圖所示這里，太空城在地、月引力與月球及地球等距的地方，如圖所示這里，太空城在地、月引力共同作用下，相對(duì)于地、月均處于平衡試證明，太空城在這里所共同作用下，相對(duì)于地、月均處于平衡試證明，太空城在這里所受地、月引力的合力作用線指向受地、月引力的合力作用線指向 地球地球月球月球太空城太空城C設(shè)地球質(zhì)量為設(shè)地球質(zhì)量為MM1 1，月球質(zhì)量為，月球質(zhì)量為MM2 2 ，地球與月球間距離為地球與月球間距離為R R，如圖，如圖122212121222cos60tan3()sin60GMGMMMRRGMGMMMRR 2122tan32MRRMMR 設(shè)太空城所受合力作

19、用線與地、月連設(shè)太空城所受合力作用線與地、月連線的中垂線夾角為線的中垂線夾角為 ，太空城所在位置和，太空城所在位置和C C點(diǎn)的連線與中垂線夾角為點(diǎn)的連線與中垂線夾角為 ，則，則F1F2F 12123()MMMM 估算空間太陽(yáng)能電站一晝夜間由于被估算空間太陽(yáng)能電站一晝夜間由于被地球遮擋而不能發(fā)電的最長(zhǎng)時(shí)間取地球本影長(zhǎng)為地地球遮擋而不能發(fā)電的最長(zhǎng)時(shí)間取地球本影長(zhǎng)為地球半徑的球半徑的216倍，同步軌道高度為地球半徑的倍，同步軌道高度為地球半徑的5.5倍倍日日地地衛(wèi)星衛(wèi)星 影影 110000coscosRRnRRtT RR0nR0m mi in n1111coscos2166.52460t 61min

20、 估算估算從地球表面向火星發(fā)射火星控測(cè)器設(shè)地球從地球表面向火星發(fā)射火星控測(cè)器設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，火星軌道半徑約為地球和火星都在同一平面上繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，火星軌道半徑約為地球軌道半徑軌道半徑R0的的1.5倍，簡(jiǎn)單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過(guò)程可分為兩步倍，簡(jiǎn)單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過(guò)程可分為兩步進(jìn)行：第一步，在地球表面用火箭對(duì)探測(cè)器進(jìn)行加速，使之獲得足進(jìn)行：第一步，在地球表面用火箭對(duì)探測(cè)器進(jìn)行加速，使之獲得足夠動(dòng)能，從而脫離地球引力作用成為一個(gè)沿地球軌道運(yùn)動(dòng)的人造行夠動(dòng)能，從而脫離地球引力作用成為一個(gè)沿地球軌道運(yùn)動(dòng)的人造行星；第二步是在適當(dāng)時(shí)刻點(diǎn)燃與探測(cè)器連在一起的火箭發(fā)動(dòng)

21、機(jī)，在星；第二步是在適當(dāng)時(shí)刻點(diǎn)燃與探測(cè)器連在一起的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，在短時(shí)間內(nèi)對(duì)探測(cè)器沿原方向加速，使其速度增加到適當(dāng)值，從而使短時(shí)間內(nèi)對(duì)探測(cè)器沿原方向加速，使其速度增加到適當(dāng)值，從而使得探測(cè)器沿著一個(gè)與地球軌道及火星軌道分別在長(zhǎng)軸兩端相切的半得探測(cè)器沿著一個(gè)與地球軌道及火星軌道分別在長(zhǎng)軸兩端相切的半個(gè)橢圓軌道正好射到火星上，如圖甲當(dāng)探測(cè)器脫離地球引力并沿個(gè)橢圓軌道正好射到火星上，如圖甲當(dāng)探測(cè)器脫離地球引力并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運(yùn)行后，在某年地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運(yùn)行后，在某年3月月1日零時(shí)測(cè)得探測(cè)器與火星之日零時(shí)測(cè)得探測(cè)器與火星之間的角距離為間的角距離為60，如圖乙所示已知地球半徑為：，如圖乙所示已知地球

22、半徑為：Rr=6.4106 m；地球公轉(zhuǎn)周期為：地球公轉(zhuǎn)周期為：Te=365天，（時(shí)間計(jì)算僅需精確到天，（時(shí)間計(jì)算僅需精確到日）日）求出火星的公轉(zhuǎn)周期和探測(cè)器沿半個(gè)橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；求出火星的公轉(zhuǎn)周期和探測(cè)器沿半個(gè)橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；通過(guò)計(jì)算說(shuō)明在何年何月何日點(diǎn)燃探測(cè)器上火箭發(fā)動(dòng)機(jī)方能使探通過(guò)計(jì)算說(shuō)明在何年何月何日點(diǎn)燃探測(cè)器上火箭發(fā)動(dòng)機(jī)方能使探測(cè)器恰好落在火星表面？測(cè)器恰好落在火星表面？ 331.51.840; 1.251.400 解答解答飛船飛船太陽(yáng)太陽(yáng)地球地球火星火星地球地球探測(cè)器探測(cè)器o60甲甲乙乙由開(kāi)三律由開(kāi)三律:23323671.15eeeTRTTTR火火火火火火日日255t 日日

23、233321.252511eeeeTRTTTRR 探探探探火火日日則探測(cè)器沿半橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)間為則探測(cè)器沿半橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)間為探測(cè)器沿半橢圓發(fā)生探測(cè)器沿半橢圓發(fā)生180角位移的時(shí)間內(nèi)火星通過(guò)的角度為角位移的時(shí)間內(nèi)火星通過(guò)的角度為360255137671 則探測(cè)器開(kāi)始進(jìn)入橢圓軌道的位置應(yīng)與火星的角距離成則探測(cè)器開(kāi)始進(jìn)入橢圓軌道的位置應(yīng)與火星的角距離成43!36036017365671t 由由 38t 日日從從3月月1日探測(cè)器與火星的角距離成日探測(cè)器與火星的角距離成60經(jīng)經(jīng)38天到天到4月月8日日時(shí)時(shí)成成 43讀題讀題v0bacde2012GMmEmvr0E 2dvGMr 0E bvGMr 0E 2evG

24、Mr 軌道與軌道與能量能量引力勢(shì)引力勢(shì)能能2012GMmEmvr 恒恒量量軌道與軌道與能量能量?jī)蓚€(gè)天體相互作用過(guò)程中，如果其它星系離它們很遙遠(yuǎn)，對(duì)它們的作兩個(gè)天體相互作用過(guò)程中，如果其它星系離它們很遙遠(yuǎn)，對(duì)它們的作用可以忽略的話，這兩個(gè)天體的總動(dòng)量守恒，兩個(gè)天體從相距很遠(yuǎn)到相互用可以忽略的話，這兩個(gè)天體的總動(dòng)量守恒，兩個(gè)天體從相距很遠(yuǎn)到相互作用直到遠(yuǎn)離，它們的始末速度滿足彈性碰撞的方程組，那么在它們相互作用直到遠(yuǎn)離，它們的始末速度滿足彈性碰撞的方程組，那么在它們相互作用的前后相對(duì)速度遵守作用的前后相對(duì)速度遵守“反射定律反射定律”，如果是一維方向上的，如果是一維方向上的“彈性碰彈性碰撞撞”，則相

25、對(duì)速度等值反向若一個(gè)飛船向外噴氣或拋射物體，則系統(tǒng)的，則相對(duì)速度等值反向若一個(gè)飛船向外噴氣或拋射物體，則系統(tǒng)的動(dòng)量守恒而機(jī)械能不守恒動(dòng)量守恒而機(jī)械能不守恒 角動(dòng)量角動(dòng)量若作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)某定點(diǎn)的力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該定點(diǎn)的角動(dòng)量保若作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)某定點(diǎn)的力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該定點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變，這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律物體在受有心力作用而繞著中心天持不變，這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律物體在受有心力作用而繞著中心天體運(yùn)動(dòng)，或幾個(gè)天體互相繞其系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于有心力必過(guò)力心，對(duì)力體運(yùn)動(dòng)，或幾個(gè)天體互相繞其系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于有心力必過(guò)力心，對(duì)力心的力矩為零，故系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒即心的力矩為零，

26、故系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒即 sinmvr 恒恒量量示例示例模型與模型與方法方法A1A2AnA3r1rnMm 物體只在引力作用下繞中心天體運(yùn)行，其機(jī)械能守物體只在引力作用下繞中心天體運(yùn)行，其機(jī)械能守恒引力是保守力，引力場(chǎng)是勢(shì)場(chǎng)，在平方反比力場(chǎng)恒引力是保守力，引力場(chǎng)是勢(shì)場(chǎng)，在平方反比力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)的引力勢(shì)能取決于其在有心力場(chǎng)中的位置中，質(zhì)點(diǎn)的引力勢(shì)能取決于其在有心力場(chǎng)中的位置在中心引力場(chǎng)中，在中心引力場(chǎng)中，m從從A A1 1移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，引力移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，引力做負(fù)功為：做負(fù)功為： 121limniiniiGMmWrrr 12231111111limnnnGMmrrrrrr 111limniiniiirrG

27、Mmr r 1111limnniiiGMmrr 111nGMmrr 以無(wú)窮遠(yuǎn)處為零引力勢(shì)以無(wú)窮遠(yuǎn)處為零引力勢(shì)能位置，能位置，物體在距中心物體在距中心天體天體r遠(yuǎn)處的引力勢(shì)能為遠(yuǎn)處的引力勢(shì)能為pEGMmr 返回返回OpmOr矢量矢量r稱位置矢量，或稱矢徑稱位置矢量，或稱矢徑繞定點(diǎn)圓運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的（線）動(dòng)量為繞定點(diǎn)圓運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的（線）動(dòng)量為方向總是與矢徑方向總是與矢徑r r垂直垂直pvm 定義定義: : 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量大小質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量大小mv與矢徑大小與矢徑大小r的乘積為質(zhì)點(diǎn)對(duì)的乘積為質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)（圓心）定點(diǎn)（圓心）O的角動(dòng)量：的角動(dòng)量：L=pr 當(dāng)當(dāng)p與與r方向不垂直而成角度方向不垂直而成角度： prA角動(dòng)量大小

28、角動(dòng)量大小sinLpr 等于動(dòng)量大小與等于動(dòng)量大小與O點(diǎn)到動(dòng)量矢點(diǎn)到動(dòng)量矢量量p的垂直距離的乘積的垂直距離的乘積 ;方向方向遵守右手定則遵守右手定則,矢量定義式為矢量定義式為L(zhǎng)rp 返回返回r2r1mO 2 1 1S 2S M12122212,S mS mFGFGrr 兩面元質(zhì)量各為兩面元質(zhì)量各為1124MSSr 2224MSSr r兩面元對(duì)殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)兩面元對(duì)殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)m的引力各為的引力各為由幾何關(guān)系由幾何關(guān)系: :2111cosSr 2222cosSr 12FF 整個(gè)球殼對(duì)球殼內(nèi)物整個(gè)球殼對(duì)球殼內(nèi)物質(zhì)的萬(wàn)有引力為零質(zhì)的萬(wàn)有引力為零! 對(duì)于一個(gè)質(zhì)量均勻半徑為對(duì)于一個(gè)質(zhì)量均勻半徑為R的實(shí)心球，在距球

29、心的實(shí)心球，在距球心r（R）處質(zhì)點(diǎn)只受半徑為處質(zhì)點(diǎn)只受半徑為r的球內(nèi)質(zhì)量的球內(nèi)質(zhì)量的萬(wàn)有引力，而的萬(wàn)有引力，而r以外球殼（即以外球殼（即R為外徑為外徑r為內(nèi)徑的球殼）則對(duì)為內(nèi)徑的球殼）則對(duì)質(zhì)點(diǎn)無(wú)引力的作用質(zhì)點(diǎn)無(wú)引力的作用 rMRm距球心距球心r處所置質(zhì)點(diǎn)受到引力大小處所置質(zhì)點(diǎn)受到引力大小 332rM mRFGr 3MmGrR 距球心距球心r處所置質(zhì)點(diǎn)的引力勢(shì)能處所置質(zhì)點(diǎn)的引力勢(shì)能 32pMm RrGMmGRrERR 由由 22332pMmGrRRE 返回返回理想化方法理想化方法軌道極限模型軌道極限模型矢量法與微元法矢量法與微元法 試推導(dǎo)地球上的第三宇宙速度試推導(dǎo)地球上的第三宇宙速度v3 地球質(zhì)

30、量地球質(zhì)量M 太陽(yáng)質(zhì)量太陽(yáng)質(zhì)量MS 地球半徑地球半徑R 日地距離日地距離r 物體質(zhì)量物體質(zhì)量m第一宇宙速度v1： (地球環(huán)繞速度地球環(huán)繞速度) 這是以日為參照物之速度，而地球?qū)μ?yáng)的公轉(zhuǎn)速度這是以日為參照物之速度，而地球?qū)μ?yáng)的公轉(zhuǎn)速度= =29.8 km/s；則以地球?yàn)閰⒄瘴?，這個(gè)速度為；則以地球?yàn)閰⒄瘴?，這個(gè)速度為212vGMmmRR 由由17.9 km/sGMvR 第二宇宙速度v2： (地球逃逸速度地球逃逸速度)由能量守恒由能量守恒2212GMmmvR 211.2 km/s2GMvR 第三宇宙速度v3： (太陽(yáng)逃逸速度太陽(yáng)逃逸速度)原處于太陽(yáng)系中地球軌道位置的物體離原處于太陽(yáng)系中地球軌道

31、位置的物體離開(kāi)太陽(yáng)系所需開(kāi)太陽(yáng)系所需“逃逸速度逃逸速度” 242.21km/ssGMvr 2vv 地地日日 由能量守恒：由能量守恒： 22321122GMmmvm vvR 地地日日 23216.5km/s2GMvvvR 地地日日2圓RstT RRbv0vp012vt R RbstT 橢12Pvt b 0pvv 要發(fā)射一臺(tái)探測(cè)太陽(yáng)的探測(cè)器，使其與地球具有相同的繞日運(yùn)要發(fā)射一臺(tái)探測(cè)太陽(yáng)的探測(cè)器，使其與地球具有相同的繞日運(yùn)動(dòng)周期，以便發(fā)射一年后又將與地球相遇而發(fā)回探測(cè)資料由地球發(fā)射這樣一臺(tái)動(dòng)周期，以便發(fā)射一年后又將與地球相遇而發(fā)回探測(cè)資料由地球發(fā)射這樣一臺(tái)探測(cè)器，應(yīng)使其具有多大的繞日速度？探測(cè)器，應(yīng)

32、使其具有多大的繞日速度？ 取發(fā)射時(shí)的一小段時(shí)間取發(fā)射時(shí)的一小段時(shí)間t0002bRbRVTRg 火箭矢徑的火箭矢徑的“面積速度面積速度”為為: :火箭飛行期間矢徑掃過(guò)的面積火箭飛行期間矢徑掃過(guò)的面積: :00222bRbRS 則則 02RStVg 34.1 10 s sv1 火箭從地面上以第一宇宙速度豎直向上發(fā)射，返回火箭從地面上以第一宇宙速度豎直向上發(fā)射，返回時(shí)落回離發(fā)射場(chǎng)不遠(yuǎn)處空氣阻力不計(jì)，試估算火箭飛行的時(shí)間，時(shí)落回離發(fā)射場(chǎng)不遠(yuǎn)處空氣阻力不計(jì)，試估算火箭飛行的時(shí)間，地球半徑取地球半徑取R0=6400 km 豎直上拋運(yùn)動(dòng)中，以豎直上拋運(yùn)動(dòng)中，以T表示到達(dá)最高點(diǎn)所用時(shí)間，以表示到達(dá)最高點(diǎn)所用時(shí)

33、間，以H表示最高點(diǎn)離地球表面的距離，表示最高點(diǎn)離地球表面的距離，R表示地球半徑，表示地球半徑，M表示地球質(zhì)量，表示地球質(zhì)量，G為萬(wàn)有引力恒量，不計(jì)空氣阻力，從考慮萬(wàn)有引力是為萬(wàn)有引力恒量，不計(jì)空氣阻力，從考慮萬(wàn)有引力是“平方反比平方反比力力”出發(fā)，確定時(shí)間出發(fā)，確定時(shí)間T的數(shù)學(xué)表達(dá)式的數(shù)學(xué)表達(dá)式 從考慮萬(wàn)有引力出發(fā)，物體在從考慮萬(wàn)有引力出發(fā)，物體在平方反比力作用下所作的平方反比力作用下所作的“豎豎直上拋運(yùn)動(dòng)直上拋運(yùn)動(dòng)”，其軌跡應(yīng)是以，其軌跡應(yīng)是以地心為焦點(diǎn)的一個(gè)狹長(zhǎng)的橢圓地心為焦點(diǎn)的一個(gè)狹長(zhǎng)的橢圓上的一部分，該橢圓的長(zhǎng)軸可上的一部分，該橢圓的長(zhǎng)軸可取作取作R R+ +H H，該橢圓是許多繞地，

34、該橢圓是許多繞地衛(wèi)星可能的開(kāi)普勒軌道中的一衛(wèi)星可能的開(kāi)普勒軌道中的一個(gè)，如圖示個(gè)，如圖示: :地心地心v1R RH H設(shè)在這樣的軌道上運(yùn)動(dòng)的設(shè)在這樣的軌道上運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)行周期為物體的運(yùn)行周期為T, b RHVT 物體的物體的“面積速度面積速度”為為:續(xù)解續(xù)解物體的物體的“面積速度面積速度”為為:3202THRTR 物體運(yùn)動(dòng)的周期與物體運(yùn)動(dòng)的周期與“貼地貼地”衛(wèi)星周衛(wèi)星周期關(guān)系由開(kāi)三律：期關(guān)系由開(kāi)三律： 2RHTRHGM 物體飛行期間矢徑掃過(guò)的面積物體飛行期間矢徑掃過(guò)的面積:SSS yx,2RHx 由橢圓方程由橢圓方程222212xybRH ,0b2 RHxbRH 122SxR 2 RHbRR

35、H 2GbHVMR 讀題讀題讀圖讀圖2222RHSRHRHSbb 其中其中1cosRHRH 21cos22R HR HR HSRHR H 1cos2R HR HR HSbb RHR HR H 1cos2RHRHSbb RHRH 1cos2RHRHbb RHRHTV 1cos22RHRHRHRHGMRHT 設(shè)想宇宙中有一由質(zhì)量分別為設(shè)想宇宙中有一由質(zhì)量分別為m1、m2mN的星體的星體1、2N構(gòu)構(gòu)成的孤立星團(tuán)，各星體空間位置間距離均為成的孤立星團(tuán)，各星體空間位置間距離均為a，系統(tǒng)總質(zhì)量為，系統(tǒng)總質(zhì)量為M由于萬(wàn)有引力的由于萬(wàn)有引力的作用，作用，個(gè)星體將同時(shí)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)試問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間各星體將會(huì)相遇

36、？個(gè)星體將同時(shí)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)試問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間各星體將會(huì)相遇？ 設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心為設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心為O星體星體1與與i位矢如圖位矢如圖r1ri星體星體1與與i的萬(wàn)有引力大小為的萬(wàn)有引力大小為112iiGmmFa a 1113iiiGm ma F Fr rr r同理同理 1221213Gmma F Fr rr r 1331313Gmma F Fr rr r 1113NNNGmma F Fr rr r 11 12 21213N NNG mmmmm mma 1 1F Fr rr rr rr r系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒0 M 113Gm Ma 1 1FrFr設(shè)矢量設(shè)矢量r1大小大小r1=ka, 3121Gm

37、k MFr 1 1 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)1在這個(gè)平方反比力作用下，在以在這個(gè)平方反比力作用下，在以O(shè)為一個(gè)焦點(diǎn)，以為一個(gè)焦點(diǎn)，以ka/2為長(zhǎng)半軸而短半軸逼近為長(zhǎng)半軸而短半軸逼近于零的于零的“橢圓軌道橢圓軌道”運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng) 1 3322kaTtG k M 38aGM i質(zhì)心質(zhì)心 遠(yuǎn)點(diǎn)在木星軌道而繞日運(yùn)行的彗星稱為木星彗星，它的形成可遠(yuǎn)點(diǎn)在木星軌道而繞日運(yùn)行的彗星稱為木星彗星，它的形成可看成是從無(wú)限遠(yuǎn)處落向太陽(yáng)的天體經(jīng)木星吸引偏轉(zhuǎn)而成為太陽(yáng)的彗星，求其近日看成是從無(wú)限遠(yuǎn)處落向太陽(yáng)的天體經(jīng)木星吸引偏轉(zhuǎn)而成為太陽(yáng)的彗星，求其近日點(diǎn)（已知木星的公轉(zhuǎn)軌道半徑為點(diǎn)（已知木星的公轉(zhuǎn)軌道半徑為R） 理想化模型：理想化模型：從無(wú)

38、限遠(yuǎn)處落向太陽(yáng)的天體在木星軌道經(jīng)與木從無(wú)限遠(yuǎn)處落向太陽(yáng)的天體在木星軌道經(jīng)與木星發(fā)生星發(fā)生“彈性碰撞彈性碰撞”改變運(yùn)動(dòng)方向進(jìn)入繞日軌道，如圖改變運(yùn)動(dòng)方向進(jìn)入繞日軌道，如圖木星軌道木星軌道太陽(yáng)太陽(yáng)v0vVv1202M MvGMRR 日日由由得木星得木星“碰撞碰撞”前速度為前速度為0MvGR 日日由機(jī)械能守恒，從無(wú)限遠(yuǎn)處被由機(jī)械能守恒，從無(wú)限遠(yuǎn)處被太陽(yáng)吸引到木星軌道附近時(shí)速太陽(yáng)吸引到木星軌道附近時(shí)速度度v滿足滿足 2102M mmvGR 日日022MvGRv 日日與木星與木星 “ “完全彈性碰撞完全彈性碰撞” ” 過(guò)程速度矢量關(guān)系如圖：過(guò)程速度矢量關(guān)系如圖： 續(xù)解續(xù)解rv0vV接近接近V分離分離V“

39、完全彈性碰撞完全彈性碰撞”接近速接近速度與分離速度大小相等！度與分離速度大小相等！ 2200023VVvvv分分離離接接近近0VVv分分離離而而 031Vv 天體進(jìn)入太陽(yáng)彗星軌道，設(shè)其繞日軌道近日點(diǎn)距太陽(yáng)天體進(jìn)入太陽(yáng)彗星軌道，設(shè)其繞日軌道近日點(diǎn)距太陽(yáng)r，過(guò)近日，過(guò)近日點(diǎn)時(shí)速度為點(diǎn)時(shí)速度為v1 1讀圖讀圖由機(jī)械能守恒有由機(jī)械能守恒有 2211122M mM mmVGmvGRr 日日日日由角動(dòng)量守恒有由角動(dòng)量守恒有 1mVRmv r 1RvVr 312rR yxO 如圖所示，地球沿半徑為如圖所示，地球沿半徑為R0的圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，彗星繞太陽(yáng)的圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，彗星繞太陽(yáng)沿拋物線軌道運(yùn)動(dòng)已知此拋物

40、線與地球圓軌道一直徑的兩端相交，不計(jì)地球與沿拋物線軌道運(yùn)動(dòng)已知此拋物線與地球圓軌道一直徑的兩端相交，不計(jì)地球與彗星之間的引力，試求彗星在地球軌道內(nèi)的運(yùn)行時(shí)間彗星之間的引力，試求彗星在地球軌道內(nèi)的運(yùn)行時(shí)間 0,0R 00,R準(zhǔn)線準(zhǔn)線00,2R v0vOxyy=R0ABCC0S續(xù)解續(xù)解0CABC太陽(yáng)、彗星、地球質(zhì)量依次為太陽(yáng)、彗星、地球質(zhì)量依次為M、m、m0S0S解題方向解題方向比較兩天體比較兩天體矢徑掃過(guò)的矢徑掃過(guò)的面積，比較面積，比較兩天體兩天體“面面積速度積速度”，可得兩天體可得兩天體運(yùn)行時(shí)間關(guān)運(yùn)行時(shí)間關(guān)系！系！彗星軌跡為拋物線，由機(jī)械能守恒，有關(guān)系式彗星軌跡為拋物線，由機(jī)械能守恒，有關(guān)系式

41、20102/2MmmvGR由由02GMvR 而地球繞日運(yùn)行有關(guān)系式而地球繞日運(yùn)行有關(guān)系式 2000200MmvGmRR 由由00GMvR 02v 設(shè)彗星以速率設(shè)彗星以速率v通過(guò)其軌道頂點(diǎn)通過(guò)其軌道頂點(diǎn)C歷時(shí)歷時(shí)t（ t 0）讀圖讀圖0122RSvt 地球以速率地球以速率v0通過(guò)其軌道頂點(diǎn)通過(guò)其軌道頂點(diǎn)C0歷時(shí)歷時(shí)t 0（ t0 0）000012SvtR00 042R vR vSt 00 002SR vt 兩者的兩者的“面積面積速度速度”相同！相同！2000222323RSRR20012SR 00043StttS 于于是是有有23 a a 一衛(wèi)星在半徑為一衛(wèi)星在半徑為r的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)周期

42、為的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)周期為T，如果給衛(wèi)，如果給衛(wèi)星一個(gè)附加的徑向速度星一個(gè)附加的徑向速度un或一個(gè)附加的切向速度或一個(gè)附加的切向速度ut，衛(wèi)星都將沿一個(gè)橢圓軌道運(yùn)，衛(wèi)星都將沿一個(gè)橢圓軌道運(yùn)動(dòng)動(dòng) 確定在上述二種情況中衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)周期確定在上述二種情況中衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)周期 所附加的徑向速度所附加的徑向速度un和切向速和切向速度度ut必須滿足什么關(guān)系，才能使兩種情況下，衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)周期相等？必須滿足什么關(guān)系，才能使兩種情況下，衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)周期相等？衛(wèi)星在半徑衛(wèi)星在半徑r軌道圓運(yùn)動(dòng)速度為軌道圓運(yùn)動(dòng)速度為中心天體質(zhì)量為中心天體質(zhì)量為M、“遠(yuǎn)遠(yuǎn)(近近)地點(diǎn)地點(diǎn)”速度為速度為V、矢徑為、矢徑為rn（t）2 rGMvT

43、r 衛(wèi)星附加速度衛(wèi)星附加速度u為徑向時(shí)為徑向時(shí)讀圖讀圖機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 222111122nnvuVGMrr角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒nv rV rnnvrrvu 2nnnvvarvuvu222nnvvaru 對(duì)同一環(huán)繞中心，兩軌道周期滿足對(duì)同一環(huán)繞中心，兩軌道周期滿足3222nnTvTvu 322222244nnrTru TT 衛(wèi)星附加速度衛(wèi)星附加速度u為切向時(shí)為切向時(shí) 221111222ttvuVGMrar nv rV r2222tttvrvvuau 3222222444tttrrruTu TT 要使要使Tn=Tt，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，必，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，必有有an=at，即有，即有 2

44、2222nttvuvvuu 224nttruuuT 試手試手原軌道原軌道原軌道原軌道vunr變軌道變軌道rnV2an續(xù)解續(xù)解vut變軌道變軌道2atVrt衛(wèi)星附加速度衛(wèi)星附加速度u為徑向時(shí)為徑向時(shí)衛(wèi)星附加速度衛(wèi)星附加速度u為切向時(shí)為切向時(shí) 設(shè)有兩個(gè)地球人造衛(wèi)星設(shè)有兩個(gè)地球人造衛(wèi)星M和和N沿同一橢圓沿同一橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，地球中心在這橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)軌道運(yùn)動(dòng)，地球中心在這橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F上，又設(shè)上，又設(shè)M和和N相距不遠(yuǎn)，因此可將橢圓弧看作直線已知相距不遠(yuǎn)，因此可將橢圓弧看作直線已知MN的中點(diǎn)的中點(diǎn)經(jīng)近地點(diǎn)時(shí)經(jīng)近地點(diǎn)時(shí)MN=a，近地點(diǎn)到地心的距離為，近地點(diǎn)到地心的距離為r，遠(yuǎn)地點(diǎn)到地，遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離

45、為心的距離為R，求，求M、N的中點(diǎn)經(jīng)遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)兩顆衛(wèi)星間的的中點(diǎn)經(jīng)遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)兩顆衛(wèi)星間的距離距離 設(shè)在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)兩衛(wèi)星距離設(shè)在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)兩衛(wèi)星距離lFNMMNrR在同一軌道上，衛(wèi)星面積速度相同在同一軌道上，衛(wèi)星面積速度相同ala rl R lraR 空間兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為空間兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1和和m2，彼此以萬(wàn)有引，彼此以萬(wàn)有引力相互作用開(kāi)始時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)靜止，相距力相互作用開(kāi)始時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)靜止，相距r0，在引力作用下彼此接近并，在引力作用下彼此接近并相碰，試求兩質(zhì)點(diǎn)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到相碰所經(jīng)歷的時(shí)間相碰，試求兩質(zhì)點(diǎn)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到相碰所經(jīng)歷的時(shí)間 r1r2r0m1m2質(zhì)心質(zhì)心O O設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心為設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心為O 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)

46、點(diǎn)1與與2位矢如圖位矢如圖質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)1與與2的萬(wàn)有引力大小為的萬(wàn)有引力大小為122120GmmFr F Fr rr r12212130Gm mr r rr rr r11 12 212130Gmmmmmr r r112130Gmmmr 令矢量令矢量r1大小大小r1=kr0, 3112011211221322011GmmmkrGmmmkGmmmkFrrrk等效于中心質(zhì)量等效于中心質(zhì)量k3 (m1+m2 )，兩質(zhì)點(diǎn)，兩質(zhì)點(diǎn)各在以中心為焦點(diǎn)、到中心距離為各在以中心為焦點(diǎn)、到中心距離為長(zhǎng)軸的退化為直線的扁橢圓上向中長(zhǎng)軸的退化為直線的扁橢圓上向中心運(yùn)動(dòng)，經(jīng)半周期相遇，故心運(yùn)動(dòng)，經(jīng)半周期相遇，故 303122

47、2krTtGkmm 301222rG mm 一質(zhì)點(diǎn)受一與距離一質(zhì)點(diǎn)受一與距離3/2次反比引力作用而在一直線次反比引力作用而在一直線上運(yùn)動(dòng)試證此質(zhì)點(diǎn)自無(wú)窮遠(yuǎn)處到達(dá)距力心上運(yùn)動(dòng)試證此質(zhì)點(diǎn)自無(wú)窮遠(yuǎn)處到達(dá)距力心a處時(shí)的速率與從處時(shí)的速率與從a處由處由靜止出發(fā)，到達(dá)靜止出發(fā)，到達(dá)a/4處時(shí)的速率相同處時(shí)的速率相同 導(dǎo)出此力場(chǎng)中的勢(shì)能公式：導(dǎo)出此力場(chǎng)中的勢(shì)能公式： BAri-ri+1rAMrB在引力作用下質(zhì)點(diǎn)從在引力作用下質(zhì)點(diǎn)從A A點(diǎn)點(diǎn)向力心移到向力心移到B B點(diǎn)點(diǎn) 引力做元功為：引力做元功為： 32iikFr 132iiiikWrrr 由從由從A A移至移至B B，引力做功為：，引力做功為： 1312

48、limnABiiniikWrrr 111112212212111111112222211111limlimlimiiiiinnninnniiiiiiiiirrrrrrkkkrrrrrr 111111112222222223243111111111limnABnkrrrrrrrr 11BAkrr 由機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒，質(zhì)點(diǎn)從無(wú)窮遠(yuǎn)處到達(dá)距力心質(zhì)點(diǎn)從無(wú)窮遠(yuǎn)處到達(dá)距力心a處時(shí)處時(shí)2111122kkmvvam aa處由靜止出發(fā)，到達(dá)處由靜止出發(fā)，到達(dá)a/4處時(shí)處時(shí) 22221122kkmvvaam a12vv pkEr 有一個(gè)質(zhì)量大而體積小的星球，一個(gè)物體離這個(gè)有一個(gè)質(zhì)量大而體積小的星球，一個(gè)物

49、體離這個(gè)星球的距離為星球的距離為r，物體從靜止出發(fā)自由落向此星球，求物體落到這個(gè)，物體從靜止出發(fā)自由落向此星球，求物體落到這個(gè)星球上經(jīng)歷多少時(shí)間？（已知星球的質(zhì)量為星球上經(jīng)歷多少時(shí)間？（已知星球的質(zhì)量為M） 將此星球視作質(zhì)點(diǎn)，落向此星球的物體的軌將此星球視作質(zhì)點(diǎn)，落向此星球的物體的軌道視作退化為直線的橢圓，其半長(zhǎng)軸為道視作退化為直線的橢圓，其半長(zhǎng)軸為2ra 若周期為若周期為T，則自由下落到星球歷時(shí)，則自由下落到星球歷時(shí)2Tt 設(shè)想同一環(huán)繞系統(tǒng)另有一物體在半徑為設(shè)想同一環(huán)繞系統(tǒng)另有一物體在半徑為r的圓軌道運(yùn)動(dòng)，其周期的圓軌道運(yùn)動(dòng)，其周期圓軌道圓軌道星球星球32rTGM 根據(jù)開(kāi)普勒第三定律根據(jù)開(kāi)普

50、勒第三定律 3182rTTGM 322rtGM 根據(jù)某種假設(shè)，星球是由星際物質(zhì)（宇宙塵埃）根據(jù)某種假設(shè)，星球是由星際物質(zhì)（宇宙塵埃）在萬(wàn)有引力的作用下經(jīng)壓縮而成的試估算由密度在萬(wàn)有引力的作用下經(jīng)壓縮而成的試估算由密度=210-20g/cm3的宇宙塵埃組成的巨大的云團(tuán)到生成一顆星球需要多長(zhǎng)時(shí)間？的宇宙塵埃組成的巨大的云團(tuán)到生成一顆星球需要多長(zhǎng)時(shí)間？ 取理想化模型：認(rèn)為塵埃組成的巨大取理想化模型：認(rèn)為塵埃組成的巨大云團(tuán)是密度均勻分布的質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)自云團(tuán)是密度均勻分布的質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)自由落向云團(tuán)中心，最后密集成一顆星球，由落向云團(tuán)中心，最后密集成一顆星球，星球形成所需時(shí)間即是最外層塵埃落至中星球形

51、成所需時(shí)間即是最外層塵埃落至中心的時(shí)間即心的時(shí)間即 332232rtGMG 11173s32 6.67 102.0 10 131.5 10 s 48 萬(wàn)萬(wàn)年年 如行星突然在其軌道上某處停止運(yùn)動(dòng)（假如行星突然在其軌道上某處停止運(yùn)動(dòng)（假定軌道為圓形）則將被吸引而至太陽(yáng)，試求其所需時(shí)間，定軌道為圓形）則將被吸引而至太陽(yáng)，試求其所需時(shí)間，設(shè)太陽(yáng)的高斯常數(shù)（設(shè)太陽(yáng)的高斯常數(shù)（GM）為）為k，行星質(zhì)量為，行星質(zhì)量為m 設(shè)行星原在力設(shè)行星原在力 2kmFr 作用下繞日作半徑為作用下繞日作半徑為r勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有 222krTr 32Trk 從距日為從距日為r處突然停止而被吸引向太陽(yáng)的行星

52、，其軌處突然停止而被吸引向太陽(yáng)的行星，其軌道可視作退化為直線的橢圓，出發(fā)于遠(yuǎn)日點(diǎn)，經(jīng)半個(gè)道可視作退化為直線的橢圓，出發(fā)于遠(yuǎn)日點(diǎn)，經(jīng)半個(gè)周期周期(T/2)到近日點(diǎn)，其半長(zhǎng)軸為到近日點(diǎn)，其半長(zhǎng)軸為2ra 根據(jù)開(kāi)普勒第三定律根據(jù)開(kāi)普勒第三定律 18TT 32rk 2Tt 322rk 某彗星的軌道為拋物線，其近日點(diǎn)距離為地球軌某彗星的軌道為拋物線，其近日點(diǎn)距離為地球軌道（假定為圓軌道）半徑的道（假定為圓軌道）半徑的1/n，求此彗星運(yùn)行時(shí)，在地球軌道內(nèi)停，求此彗星運(yùn)行時(shí)，在地球軌道內(nèi)停留的時(shí)間留的時(shí)間 解題方向解題方向比較兩天體矢徑掃過(guò)的面積，比較兩天體比較兩天體矢徑掃過(guò)的面積，比較兩天體“面面積速度積

53、速度”，可得兩天體運(yùn)行時(shí)間關(guān)系！，可得兩天體運(yùn)行時(shí)間關(guān)系！太陽(yáng)、彗星、地球質(zhì)量依次為太陽(yáng)、彗星、地球質(zhì)量依次為M、m、m0讀圖讀圖地球繞日運(yùn)行有關(guān)系式地球繞日運(yùn)行有關(guān)系式 2000200MmvGmRR 00GMvR 彗星軌跡為拋物線，由機(jī)械能守恒，有關(guān)系式彗星軌跡為拋物線，由機(jī)械能守恒，有關(guān)系式20102/MmmvGRn02GMnvR 02nv 設(shè)彗星、地球各以速率設(shè)彗星、地球各以速率v和和v0通過(guò)其軌道頂點(diǎn)歷時(shí)各通過(guò)其軌道頂點(diǎn)歷時(shí)各t（ t 0）和）和t 0（ t0 0）012RSvtn 000012SvtR00 022R vR vStnn 00 002SR vt 兩者的兩者的“面積面積速度

54、速度”之比為之比為2n續(xù)解續(xù)解0Syx , xy O 00,R00,Rn v002yRn v021Rn0CACB返回返回S021,xnRn 2004RnyxnR續(xù)解續(xù)解22002 41211 41232nnnnSRRnnnnn000002StSttSSn ttt 2021223nnRn慧星從慧星從A到到B時(shí)間由時(shí)間由 20000RStT 002SttSn 2000220012232nnSnRTn SR 地球矢徑掃過(guò)面積地球矢徑掃過(guò)面積 22213a ann nnt 讀圖讀圖 如圖，從地球發(fā)射火箭到火星去進(jìn)行探測(cè)，發(fā)射后火箭繞如圖，從地球發(fā)射火箭到火星去進(jìn)行探測(cè)，發(fā)射后火箭繞太陽(yáng)橢圓軌道運(yùn)行為了

55、節(jié)省能源，火箭離開(kāi)地球的速度方向與地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)太陽(yáng)橢圓軌道運(yùn)行為了節(jié)省能源，火箭離開(kāi)地球的速度方向與地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的速度方向一致，并且選擇適當(dāng)?shù)陌l(fā)射時(shí)機(jī)，使火箭橢圓軌道的遠(yuǎn)日點(diǎn)為火星，的速度方向一致，并且選擇適當(dāng)?shù)陌l(fā)射時(shí)機(jī)，使火箭橢圓軌道的遠(yuǎn)日點(diǎn)為火星，軌道近日點(diǎn)為地球假定地球和火星均繞太陽(yáng)作圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道半徑分別為軌道近日點(diǎn)為地球假定地球和火星均繞太陽(yáng)作圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道半徑分別為r與與R，忽略其它行星對(duì)火箭的作用，求火箭應(yīng)以多大的對(duì)地速度離開(kāi)地球？火箭到，忽略其它行星對(duì)火箭的作用，求火箭應(yīng)以多大的對(duì)地速度離開(kāi)地球？火箭到達(dá)火星要用多長(zhǎng)時(shí)間？達(dá)火星要用多長(zhǎng)時(shí)間？ 日日地球軌道地球軌道火星軌

56、道火星軌道Rr設(shè)太陽(yáng)、火箭質(zhì)量依次為設(shè)太陽(yáng)、火箭質(zhì)量依次為M、mv1v2由機(jī)械能守恒有由機(jī)械能守恒有 22121122MmMmmvGmvGrR 由角動(dòng)量守恒有由角動(dòng)量守恒有 12rvRv 12GMrvRr R 1vvv地地對(duì)日速度對(duì)日速度! 火箭離地速度應(yīng)為火箭離地速度應(yīng)為GMvr 地地21GMRrRr 到達(dá)火星的時(shí)間是到達(dá)火星的時(shí)間是火箭運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期火箭運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期T 302RrTTr 3122Rrrt 假設(shè)地球是一個(gè)均勻球體，現(xiàn)在地球的東半球北緯假設(shè)地球是一個(gè)均勻球體，現(xiàn)在地球的東半球北緯30的的a處開(kāi)一個(gè)穿過(guò)地軸的直線隧道直通西半球北緯處開(kāi)一個(gè)穿過(guò)地軸的直線隧道直通西半球北緯30的的b處

57、，如圖所示已知地球的處，如圖所示已知地球的半徑是半徑是6370 km，地面的重力加速度，地面的重力加速度g=9.8 m/s2，第一宇宙速度，第一宇宙速度v1=7.9 km/s，假設(shè)，假設(shè)隧道光滑現(xiàn)將一個(gè)物體以隧道光滑現(xiàn)將一個(gè)物體以v=v1/3的初速度從的初速度從a處拋入隧道，問(wèn)物體從處拋入隧道，問(wèn)物體從b處出來(lái)后能處出來(lái)后能飛離地面的最大高度是多少？飛離地面的最大高度是多少？ ab30解題方向解題方向 考慮對(duì)稱性，物體從考慮對(duì)稱性，物體從b處飛出的速度大小為處飛出的速度大小為v1/3，此后在地心引力作用下沿一橢圓軌道的遠(yuǎn)地橢圓弧運(yùn)動(dòng)；此后在地心引力作用下沿一橢圓軌道的遠(yuǎn)地橢圓弧運(yùn)動(dòng)；由守恒定律

58、求最大高度由守恒定律求最大高度.由機(jī)械能守恒有由機(jī)械能守恒有 22111232vGMmGMmmmVRRh h13vV由角動(dòng)量守恒有由角動(dòng)量守恒有 R 1sin303vRV Rh R+h21GMvR 注注意意到到285h kmkm 有一航天器（不帶動(dòng)力裝置）自遠(yuǎn)方以速度有一航天器（不帶動(dòng)力裝置）自遠(yuǎn)方以速度v0射射向某一行星，計(jì)劃在行星上著陸，如圖示如以向某一行星，計(jì)劃在行星上著陸，如圖示如以b表示表示v0與行星的垂與行星的垂直距離（稱為瞄準(zhǔn)距離），求直距離（稱為瞄準(zhǔn)距離），求b最大值為多少時(shí)，航天器可以在行星最大值為多少時(shí)，航天器可以在行星上著陸已知航天器質(zhì)量為上著陸已知航天器質(zhì)量為m，行星的

59、質(zhì)量為，行星的質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R mORbV由機(jī)械能守恒有由機(jī)械能守恒有 2201122GMmmvmVR 由角動(dòng)量守恒有由角動(dòng)量守恒有 00Vmv bmVrbrv 0VRv 0max221GMRv Rb rbV202GMvRV v0XAO 如圖，一質(zhì)量為如圖，一質(zhì)量為m12 t的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上旋的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上旋轉(zhuǎn)，其高度轉(zhuǎn)，其高度h100 km為使飛船降落到月球表面，噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)在為使飛船降落到月球表面，噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)在X點(diǎn)作一次短時(shí)點(diǎn)作一次短時(shí)間發(fā)動(dòng)從噴口噴出的熱氣流相對(duì)飛船的速度為間發(fā)動(dòng)從噴口噴出的熱氣流相對(duì)飛船的速度為u10 km/s月球半徑月球半徑R17

60、00 km，月球表面上自由落體的重力加速度為，月球表面上自由落體的重力加速度為g月月=1.7 m/s2飛船可用兩種不同方式到飛船可用兩種不同方式到達(dá)月球：達(dá)月球：到達(dá)月球上的到達(dá)月球上的A點(diǎn)，該點(diǎn)正好與點(diǎn)，該點(diǎn)正好與X點(diǎn)相對(duì)；點(diǎn)相對(duì)；在在X點(diǎn)給一指向月球中心點(diǎn)給一指向月球中心的動(dòng)量后，與月球表面相切于的動(dòng)量后，與月球表面相切于B點(diǎn)試計(jì)算上述兩種情況下所需的燃料量點(diǎn)試計(jì)算上述兩種情況下所需的燃料量 按此方式，飛船橢圓軌道按此方式，飛船橢圓軌道X為遠(yuǎn)月點(diǎn)，為遠(yuǎn)月點(diǎn)，A為近月點(diǎn)，為近月點(diǎn)，XA為長(zhǎng)軸，月心為焦點(diǎn)為長(zhǎng)軸，月心為焦點(diǎn)，vX0vu由牛頓草圖可知，由牛頓草圖可知，飛船在飛船在X點(diǎn)是向運(yùn)動(dòng)方向