2018年高考數學一輪復習專題28數列的概念與簡單表示法教學案文

1、專題28數列的概念與簡單表示法 1. 了解數列的概念和幾種簡單的表示方法 （列表、圖象、通項公式） 2. 了解數列是自變量為正整數的一類函數. 1.數列的定義 按照一定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項. 2 數列的分類 分類原則 類型 滿足條件 按項數分類 有窮數列 項數有限 無窮數列 項數無限 按項與項間 的大小關系 分類 遞增數列 an + 1 an 其中 n N 遞減數列 an +1 V an 常數列 an + 1 = an 按其他 標準分類 有界數列 存在正數 M使| an| w M 擺動數列 從第二項起，有些項大于它的前一項， 有些 項小于它的前一項的數列

2、3. 數列的表示法 數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法. 4 數列的通項公式 如果數列an的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示， 那么這個公式叫做這個數 列的通項公式. 5.已知數列an的前n項和S,貝U an= S （ “一 1）， Sn一 Sn- 1 （n2） 考情解高頻考點一 由數列的前幾項求數列的通項公式1 -3 - 例 1、根據下面各數列前幾項的值，寫出數列的一個通項公式: 一 1, 7, 13, 19,; 2 4 6 8 10 一 一 一 一 一； 3 15 35 63 99 1 9 25 2，2，2，8, ，； 5 , 55, 555, 5 555， 解

3、( (1)偶數項為正，奇數項為員,故通項公式必含有因式(-ITS觀察各項的絕對值，后一項的絕對值總比 它前一項的絕對值大故數列的一個通項公式為=(-1)X6?!-5). 這是一個分數數列茸分子枸成偶數數列，而分母可分解為1旳，3XS. 5X7, 7X9, 9X11, .每一 項都是兩個相鄰奇數的乘積，分子依次為2, 4,相鄰的偶數-故所求數列的一個通項公式為血二 _ (2nl) (2n-Fl) (3)數列的各項，有的是分數，有的是整數，可將數列的各項都統(tǒng)一成分數再觀察 9 16 25 、 n 2，2， 2，分子為項數的平方，從而可得數列的一個通項公式為 an=. 5 5 5 n 將原數列改寫為

4、 9X 9, 9X 99, 9X 999,，易知數列 9, 99, 999，的通項為 10 1, 5 n 故所求的數列的一個通項公式為 an=9(10n 1). 【方法規(guī)律】根據所給數列的前幾項求其通項時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征: (1) 分式中分子、分母的各自特征； 相鄰項的聯系特征； (3) 拆項后的各部分特征； (4) 符號特征.應多進行對比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯想 2 4 6 【變式探究】(1)數列 0 的一個通項公式為( ) 3 5 7 n 1 A. an = ( n N+) n + 2 / n 1 B.an= 2n+ 1( n N+) 2 (n 1)

5、 C.an = 2n 1 (n N+) 2n D.an= 2n+ 1( n N+) 1 1 1 1 數列1X2,藥，3X；，4X，的一個通項公式an= 解析(1)注意到分子 0, 2, 4, 6 都是偶數，對照選項排除即可 . (2)這個數列前 4 項的絕對值都等于序號與序號加 1 的積的倒數，且奇數項為負，偶數項為正, 所以它的一個通項公式為 an = ( 一 1) n (n+ 1) -4 - n 1 答案C（2）（ - 高頻考點二 由數列的前n項和求數列的通項公式 2 * 例 2、設數列a的前n項和為S,數列S的前n項和為Tn,滿足Tn = 2S n, n N. （1）求ai的值； 求數列

6、an的通項公式. 解令孔=1時，Fi=25i-b 心時，7；j=2SAi-仗一 I， 則 SHTJL 7M-1 2Sa /l2 2S!H-1 （rt If =2（ 2n +1 = 22n+ L 因為當?i二1時/ 2i-Si-l也滿足上式， 所以弘二加加+lOL力 當？ 2 時耳“=加一1一2（?11）+1, 兩式相屈得11=2 加 2, 所以 an= 2an-1 + 2（ n2），所以 an+ 2= 2（ an-1 + 2）, 因為a1+ 2= 3 工 0, 所以數列an + 2是以 3 為首項，公比為 2 的等比數列. 所以 a卄 2= 3X2n1,所以 an= 3X2 n 1 2, 當n

7、= 1 時也成立， 所以 an= 3X2n 1 2. |S, n= 1, 【方法規(guī)律】數列的通項 an與前n項和S的關系是an = 當n= 1 時，a1若 S S1, n2. 適合 S S-1,貝U n= 1 的情況可并入n2時的通項a ;當n = 1 時，a1若不適合 S S-1,則 用分段函數的形式表示. n + 1 【變式探究】（1）已知數列an的前n項和S=，貝y a4等于（ ） 1 A. 30 1 1 B.32 D.20 1 -5 - C.34 已知數列an的前n項和S= 3n2 2n+ 1，則其通項公式為-6 - 2, n= 1, 答案 (1)A an= 6 5 2 |6n 5,

8、n2 解析 (1) a4 = S4 Se 5 4 1 6 5 30 2 (2) 當 n= 1 時，ai = S = 3X1 2X 1+ 1 = 2； 當n2時， 2 2 an= Sn Sn-1 = 3n 2n+ 1 3( n 1) 2(n 1) +1 =6n 5，顯然當n= 1 時，不滿足上式. 2，n= 1, 故數列的通項公式為 an= * 6n 5, n2. 高頻考點三、由數列的遞推關系求通項公式 例 3、在數列an中， (1)若 a1 = 2, an+1 = an+ n+1，則通項公式 an= _ n 1 在數列a“中，若a1 = 1, an= 齊an-1 (n2)，則通項公式 an=

9、an+1 = 2an+ 3,則通項公式 an = _ . 解析 (1)由題意得，當 n2 時，an= a1 + (a2 a + (a3 a2)+ (an an-1) = 2 + (2 + 3 + + n) = 2 + (n 1)( 2+ n) 2 n (n+ 1) 2 + 1. 1X( 1+ 1) 2 +1，符合上式，因此 an= + 1. 因為 ai = n 1 an1(n2), -7 - 以上仗- 1)個式子的等號兩端分別相乘得伽二創(chuàng)| .二 H 斗 _ On da-L On J OJ 0 _?T 1 IXI71 On - - 1 . 1 * 創(chuàng)= - fljt-1 Q-2 2a-3 G

10、n G)設遞推公式 皿i=2fln十3可以韓化為血+】十：=2(血十切 即直+1=2偽十&解得尸3. 故血 “ + 3=2(血+3)一 令 &=g+3,則 *1=01+3=4, n為i+i_ 血+i + 3_r 且毎+3亠 所以丘是以4為首項，2為公比的等比數列. n 1 n* i n 豐 i _ . bn = 4 2 = 2 , an= 2 3 宀 n （n+1） 1 n+1 答案（1） 2 + 1 （2）n （3）2 +1 3 【方法規(guī)律】(1)形如an+1 = a + f(n)的遞推關系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項, 保留多少項 形如an +1= an f (n

11、)的遞推關系式可化為 =f ( n)的形式，可用累乘法，也可用 an= an an an1 a2 ， . a1代入求出通項. an1 an - 2 a1 形如an+1= psh+ q的遞推關系式可以化為(an+1 + x) = p( an + x)的形式，構成新的等比數列， 求出通項公式，求變量 x是關鍵 【變式探究】 已知數列an滿足a1= 1, a2= 4, an+2+ 2an= 3a+1(n N+)，則數列an的通 項公式 an = _ 1 (2)在數列an中，a1= 3, an+1 = an + -: ，則通項公式 an= . n (n+ 1)所以 rt2 n 法打 _2 w n 1

12、-8 - 解析由血z +亦一3盤+1=0； 得 d+工一= - An）, :數列皿1-血是以血如=?為首項，2為公比的等比數列，二gi $=3X2曠打 tlM2 時，On-On-l = 3x2n2 , 0302 = 3x2，0 0 = 3 將以上各式累加得 陽一創(chuàng)二 3 *2廠 + _ _ _ + 3 X2+3=3（2h_1-l）, 二直=射2廠一2（當？r=l時也満足）. 原遞推公式可化為 an+1 = an + -丄, n n+1 1 1 逐項相加得，an= ai + 1-,故an= 4= n n n , 1 答案 （1）3 X2 -1 - 2 （2）4 - n 高頻考點四 數列的性質 n

13、 1 例 4、已知an= n+1，那么數列an是（ ） A.遞減數列 B.遞增數列 C.常數列 D.擺動數列 答案 B 2 * 解析 an= 1 -，將an看作關于n的函數，nN,易知an是遞增數列. 、 1 【變式探究】數列 an滿足 a+1= , a8= 2,貝U a1 = _ I an 1 答案 2小 1 1 貝y a2= a1+ 彳一 a3 = 1 a2+2 一 a4= a3 + 3-4, 1 an-1=an-2+ 三 an= an-1 + 1 n- 1 1 n-9 - 解析 an+ 1 = 1 1-an， -10 - 1 OM-1 1 一 *1 一 1 1 On-1 1_血斗 二周期

14、 T=(n+Y)-n-2)=3. 0 或anV 0）與 1 的大小關系進行判斷. an 結合相應函數的圖象直觀判斷. 解決數列周期性問題的方法 先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值. （3）數列的最值可以利用數列的單調性或求函數最值的思想求解. 為 _ . 設金=-3n2+ 15n18,則數列an中的最大項的值是（ A 16 A 亍 C. 4 2 答案(1) (2)D 5 解析 （1）由已知可得，a2= 2x | 1 = 5, 1 2 1伽-1 01-1 Xn-l 【舉一反(1)數列an滿足 an+ 1= c 1 2an, Ow anW 2, 1 2an- 1, 2

15、3a =2 (2 n 2) X3 n, 所以 S= (n 1)3n + 1. 2. (2014 新課標全國卷I 已知數列an的前n項和為S, a1= 1, an0, anan+1=入 S 1, 其中入為常數. (1) 證明：an + 2 an =入. (2) 是否存在 入，使得an為等差數列？并說明理由. 【解析】(1)證明：由題設，anan+1 =入 S 1, an+1an+2=入S+1 1, 兩式相減得 an + 1( an+ 2 an)=入 an + 1. 因為an+ 1工 0,所以 an+2 an=入. 由題設，a1= 1, a2 =入 Si 1,可得a2=入一 1, 由(1)知，a3

16、 =入 +1. 若an為等差數列，則 2a2 = a1 + a3,解得 入=4,故an+2 an = 4. 由此可得 a2n- 1是首項為 1,公差為 4 的等差數列, 真題感悟 n= 2 或 3 時，an最大，最大值為 0. -13 - a2n 1 =4n 3; a2n是首項為 3，公差為 4 的等差數列，a2n= 4n 1. 所以 an= 2n 1, an+1 an= 2. 因此存在 入=4，使得數列 an為等差數列. 3. (2014 新課標全國卷n 已知數列an滿足a1= 1, an+1= 3an+ 1. 1 (1) 證明 仙+ 2 是等比數列，并求an的通項公式; 1 1 1 3 (

17、2) 證明+ + -. a1 a2 an 2 【解析】(1)由 &+1= 3an+1 得 an+1 +1 = 3 an + 2 . r .1 n 1 3 1 3 亠 1 3 又a1+ =2，所以a + 2 是首項為 2，公比為 3 的等比數列，所以 an+- =2，因此數列an的 3n 一 1 通項公式為an = 1 ? 證明：由知討茫？ 因為當Ifel時，贊一 S 尸打 所以 于是舟+占+十掃+ ”+令二熱_*)弓 所以丄 + + ai 02 血2 4. (2014 重慶卷)設 a1= 1, an+1 = ./an 2a + 2+ b( nN ). (1)若b= 1,求a2, as及

18、數列&的通項公式. 若b= 1,問：是否存在實數 c使得a2nca2n+1對所有nN成立？證明你的結論. 【解析】(1)方法一:a2 = 2, a3=“2 + 1. 再由題設條件知 2 2 (an+1 1) = (an 1) + 1. 從而( an 1)2是首項為 0，公差為 1 的等差數列， 故(an 1)2= n 1, 即 an=：n 1 + 1(nN). 方法二：a2= 2, a3= 2 + 1. -14 - 可與為 ai =習 1 1 + 1, a2= i 2 1 +1, a3= j 3 1 + 1.因此猜想 an=n 1 + 1. 下面用數學歸納法證明上式. 當n= 1 時，

19、結論顯然成立. 假設n = k時結論成立，即 ak= k 1+ 1,貝 U 1 2 . r ak+1 = (ak 1) + 1 + 1= (k 1)+ 1 + 1= ( k+ 1) 1 + 1, 這戒是說，當直=盅+1時結論成立. 所以 On二、5匚1+ 方法一：設用)=* U1-1,則亦】訴1). 令 CJc),即 c (c-1) a + l-1、解得 c 下面用數學歸納法證明命題 當？:=1時，血二夬1)二0,他=夬0)=邁1，所決 qw 孑爼5f(a2k+1)f (1) = a2,即卩 1ca2k + 2a2. 再由 f (x)在(m, 1上為減函數，得 c = f (c)f (a2k+

20、 2)f (a2)= a31, 故ca2k+31，因此a2(k+1)ca?(k+ n +11,這就是說，當 n= k + 1 時結論成立. 1 * 綜上，存在 c = 4 使a2nCa2a+1對所有nN成立. 方法二：設 f(x) = (x 1) 2+ 1 1,則 an+1= f (an). 先證：Ow an w 1(nN). 當n= 1 時，結論明顯成立. 假設n = k時結論成立，即 0 w ak w 1. 易知f (x)在(g, 1上為減函數，從而 -15 - o= f(i)W f(ak) W f(0) = 2 11. 即 ow a+1W1.這就是說，當n= k+ 1 時結論成立.故成立

21、. 再證：a2nai( nN*). 當 n= 1 時，a2= f (1) = 0, a3= f) = f (0) = 2 1,所以 a2a3,即卩 n= 1 時成立. 假設n = k時，結論成立，即 a2ka2k+1. 由及f (x)在(一g, 1上為減函數，得 G 十+1 =7(盤 2習(齢 1)二乞齢廠 G(Jt+1)二人血齢 1)勺(齢 2) Oi(jt+1)+1 - 這就是說,當力=氏+1時成立.所以對一切成立. 由得 血-+ 2-1, 即減+1嚴島-2+2, 因此 乂由及加)在1上為減函數，得曲列 g 心 即血斗】沁也 所嘆血現+17心十1一202時1 + 2-1,解得如 1 ” 綜

22、上，由知存在 c=;使a2nc0),因為所有 AnBn相互平行且 a1= 1, a2 = 2，所以 S 梯形 ABB2A-16 - A. pi, p2 B . p3, p4 C . p2, p3 D . pi , p4 【答案】D 【解析】因為數列an中 d0，所以a n是遞增數列，則 pi為真命題.而數列an+ 3nd也是遞 增數列，所以 P4為真命題，故選 D. 7. （2013 -全國卷）等差數列an前 n項和為 S.已知$= a2,且 S, S2, S 成等比數列，求an 的通項公式.an OA =3m當n2時，不=OA1= m+( n 1)x 3m f3n 2 m+( n 2)x 3

23、m , 3n 5, 故2 3n 2 2 an an 3n 5 2 3n- 5 2 Cln 1小 3-8an2, 2 3n- 8-2 cm2 3n- “ “ an 3, -11 2 4 2 a2= 1-a1 以上各式累乘可得 2 2 an(3n 2)a 1, 所以an 3n 2. 6. (2013 -遼寧卷） 下面是天于公P1：數列 an是遞增數列； P2 : 數列 nan是遞增數列； P3：數列* a瀑遞增數列； P4：數列 an + 3nd是遞增數列. 其中的真命題為（ ) 因為 ai= 1, d0 的等差數列 an的四個命題: -17 - 【解析】設麺的公差為d. 由S： = 3*,得3忑

24、=衛(wèi)，故辺=0或42 = 3. 由兒S打乩成等比數列得S；?=S1弭 又 51=3；d, S;=2a;d., S44a；- 2dj 故卩 a； - dF二仙一d)(4az 4- 2d). 若 =0,貝Jd2=-2d 所嘆 40， 此時Sn=Dj不合題意； 若 32=3,則(6-d)2=G-d)(L2+2d), 解得d=O或d=2. 因此吐的通項公，式為3t=3或3n=2n 1. n n B. cos 解析 令n= 1, 2, 3,，逐一驗證四個選項，易得 D 正確. 答案 D 2 4 6 8 2. 數列一？，-，的第 10 項是( ) 3 5 7 9 解析所給數列呈現分數形式且正員相間，求通項

25、公式P寸，我們可次把每一部分進行分解：符號、分樂 分子”很容剔玉內出數列昭的通項公式血=(- 1嚴器亍故閔尸-養(yǎng) 答案 C 3. 在數列an中，已知a1= 1, an+1 = 2an+ 1，則其通項公式 an=( ) n n 1 A.2 1 B.2 1+ 1 C.2 n-1 D.2 (n 1) 解析 法一一 由 an+1= 2ai+ 1,可求 32= 3, a3 = 7, a4= 15，驗證可知 an= 2 1. 法二 由題意知3n+ 1 + 1 = 2(3n+ 1) ,數列3n+ 1是以 2 為首項，2 為公比的等比數列,A. 一 n+1 C. cos 2 n n+ 2 D.cos 2 n

26、16 18 20 22 D. 23 1.數列 0, 1, 0, - 1, 0, 1, 0, - 1,的一個通項公式是 an等于(-18 - an + 1 = 2 ,. an = 2 1. 答案 A 4.數列an的前 n項積為n2,那么當n2時，an等于（ ） A.2 n 1 B. n2 廠(n+ 1) 2 C. 2 n 2 n D. 2 (n 1) 解析 設數列an的前n項積為Tn,則Tn= n2, 答案 D 5.數列an滿足 an+1 + an = 2n 3，若 a1 = 2,貝U a8 a4=( ) A.7 B.6 C.5 D.4 依題意得(an+ 2+ an+1) (an+1 + an)

27、 = 2( n+ 1) 3 (2 n 3)，即 an+2 an = 2,所以 a8 a4 = (a8 a6)+ (a6 a4)= 2 + 2 = 4. 答案 D 1 34 6.若數列an滿足關系an+1 = 1 + , a8=訂，貝U a5 =_ , an 21 21 13 8 解析 借助遞推關系，則 a8遞推依次得到a7 = , a6= , a5=. 13 8 5 答案8 5 2 7.已知數列an的前n項和S = n + 2n+1（n N+），貝U an= _ 解析 當 虺2時）血=Si Sk_i=2?r+1， 當丘=1 時01=51=4#2 1+1, 4, n-1, 如+1,心2 8.已知數列an的前 n 項和為 Sn，且 an*0( n N+)，又 anan+1= S,貝U as a1 = 解析 因為 an an + 1= S, 所以令 n= 1 得 aa2= S= a1，即卩 a?= 1, 令 n = 2,得 a2a3= 82= a1+ a2,即卩 a3= 1 + a1,所以 a3 a1= 1. 答案 1 9. 數列an的通項公式是an = n2 7n+ 6.當n2時, an = T. Tn 1 (n 1) 解析 答案 4, n= 1, 2n+ 1, n2 -19 - (1) 這個數列的第 4 項是多少？ (2) 150 是不是這個數列的項？若是這個數列的項，它是第幾