雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、2021/8/61雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 2021/8/621. 1. 橢圓的定義橢圓的定義和和 等于常數(shù)等于常數(shù)2a ( 2a|F1F2|0) 的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的的距離的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入問題：引入問題：差差等于常數(shù)等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？的點(diǎn)的軌跡是什么呢？平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的的距離的復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) 2021/8/632021/8/64 兩個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點(diǎn)焦點(diǎn); |F1F2|=2c 焦距焦

2、距.（1）2a0 ；雙曲線定義雙曲線定義思考：思考：（1）若）若2a= |F1F2|,則軌跡是？則軌跡是？（2）若）若2a |F1F2|,則軌跡是？則軌跡是？說明說明（3）若）若2a=0,則軌跡是？則軌跡是？ | |MF1| - |MF2| | = 2a( (1) )兩條射線兩條射線( (2) )不表示任何軌跡不表示任何軌跡2021/8/65如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單；原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單； ( (一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸所在的直線作為坐標(biāo)軸.)

3、.) 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案OxyOxyOxy方案一方案一Oxy(對稱、對稱、“簡潔簡潔”)1F2FMOxy方案二方案二2021/8/66F2 2F1 1MxOy求曲線方程的步驟：求曲線方程的步驟：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1. 1. 建系建系. .以以F1,F2所在的直線為所在的直線為x軸，線段軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系2.2.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)設(shè)設(shè)M（x , y）,則則F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1| - |MF2|=2a4.4.化簡化簡aycxycx2)()(2222即2021/8/67ay

4、cxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0, 0(12222babyax此即為此即為焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸上的軸上的雙曲線雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)方程方程2021/8/6812222byax12222bxayF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系時(shí)若建系時(shí),焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上呢軸上呢?2021/8/69看看 前的系數(shù)，哪一個(gè)為正，前的系數(shù)，哪一個(gè)為正，則在哪一個(gè)軸上則在哪一個(gè)軸上22, yx2021/8/610222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0，b0，

5、但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 橢橢 圓圓雙曲線雙曲線F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab2021/8/6122021/8/613利用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程利用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1）首先找出兩個(gè)定點(diǎn)）首先找出兩個(gè)定點(diǎn)(即雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)即雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn))；2）然后再根據(jù)條件尋找動點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離然后再根據(jù)條件尋找動點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的差(或差的絕對值或差的絕對值)是否為常數(shù)，這

6、樣確定是否為常數(shù)，這樣確定c和和a的值，的值，3）再由再由c2a2b2求求b2，進(jìn)而求雙曲線的方程，進(jìn)而求雙曲線的方程2021/8/6142021/8/615對雙曲線定義的理解對雙曲線定義的理解雙曲線定義中雙曲線定義中|PF1|PF2|2a(2a680|AB|680m, ,所以爆炸點(diǎn)所以爆炸點(diǎn)的軌跡是以的軌跡是以A A、B B為焦點(diǎn)的雙曲線在靠近為焦點(diǎn)的雙曲線在靠近B B處的一支上處的一支上. . 例例3 3.(.(課本第課本第5454頁例頁例) )已知已知A,BA,B兩地相距兩地相距800800m, ,在在A A地聽到炮彈爆地聽到炮彈爆炸聲比在炸聲比在B B地晚地晚2 2s, ,且聲速為且聲

7、速為340340m/ /s, ,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程. .如圖所示，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xO Oy, ,設(shè)爆炸點(diǎn)設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (x, ,y) )，則則340 2680PAPB即即 2a=680，a=340800AB 8006800,0PAPBx 1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為44400bca 2 22 22 22021/8/617答答: :再增設(shè)一個(gè)觀測點(diǎn)再增設(shè)一個(gè)觀測點(diǎn)C，利用，利用B、C（或（或A、C）兩處）兩處測得的爆炸聲的時(shí)間

8、差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方測得的爆炸聲的時(shí)間差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置準(zhǔn)確位置. .這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用. .2021/8/618例例2利用雙曲線的定義求軌跡問題利用雙曲線的定義求軌跡問題 動圓動圓M與圓與圓C1：(x3)2y29外外切，且與圓切，且與圓C2：(x3)2y21內(nèi)切，求動內(nèi)切，求動圓圓心圓圓心M的軌跡方程的軌跡方程2021/8/6192021/8/620例例2 2: :如果方程如果方程 表示雙表示雙曲線，求曲線，求m的取值范圍的取值范圍. .22121xymm 解解: :22121xymm 思考：思考：21mm 得得或或(2)(1)0m m由由2021/8/621例例32021/8/6222021/8/623雙曲線的定義是解決與雙曲線有關(guān)的問題的雙曲線的定義是解決與雙曲線有關(guān)的問題的主要依據(jù)，在應(yīng)用時(shí)，主要依據(jù)，在應(yīng)用時(shí)，一是注意條件一是注意條件|PF