一元二次方程題型分類總結(jié)

1、一元二次方程題型分類總結(jié)則m的值為 o知識梳理、知識結(jié)構(gòu):解與解法一元二次方程根的判別韋達定理考點類型一概念（1）定義：|只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的整式方程 II就是一元二次方程。（2） 一般表達式： ax2 bx c 0（a 0）難點：卜何理解 “未知數(shù)的最高次數(shù)是2 ” ：該項系數(shù)不為“0”；未知數(shù)指數(shù)為“ 2”；若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例1、下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A八，2 八，一11八八A3x12x1B20x 2xax bx c 0變式：當(dāng)k 時，關(guān)于x的方程kx2 2x x2 3是一元二

2、次方程。例2、方程 m 2 xm 3mx 1 0是關(guān)于x的一元二次方程，則 m的值針對練習(xí)： 1、方程8x2 7的一次項系數(shù)是 ,常數(shù)項是。 2、若方程m 2 x|m| 1 0是關(guān)于x的一元一次方程，求m的值；寫出關(guān)于x的一元一次方程。 3、若方程m 1 x2 Jm?x 1是關(guān)于x的一元二次方程，則 m的取值范圍是 04、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=3,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考點類型二方程的解概念：|使方程兩邊相等的未知數(shù)的值,就是方程的解。應(yīng)用：愀用根的概念求代數(shù)式的值;典型例題：例1、已知2y2 y 3的值為2,則

3、4y2 2y 1的值為。例2、關(guān)于x的一元二次方程a 2 x2 x a2 4 0的一個根為0,則a的值為 o例3、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的系數(shù)滿足a c b ,則 此方程必有一根為。例4、已知a,b是方程x2 4x m 0的兩個根，b,c是方程y2 8y 5m 0的兩 個根，針對練習(xí)：2 1、已知萬程x kx 10 0的一根是2,則k為,另一根是 X 12、已知關(guān)于X的方程X2例2、若9x 116 x 2 ，則x的值為。針對練習(xí)：|下列方程無解的是()2222A. x 3 2x 1 B. x 20 C. 2x 3 1 x D. x 9 0 kx 2 0的一個解與方

4、程 3的解相同。x 1求k的值；方程的另一個解。223、已知m是萬程x x 1 0的一個根，則代數(shù)式 m m 。22_ 4、已知a是x 3x 1 0的根，則2a 6a 。2 5、萬程abx bcxca 0的一個根為()A 1B 1C b cD a 6、若 2x 5y 3 0,則 4x?32y ?？键c類型三解法方法：|直接開方法;因式分解法；配方法；公式法關(guān)鍵點：群次類型一、直接開方法：x2 m m 0 , x mm222對于x a m, ax m bx n等形式均適用直接開方法典型例題：22一 2例 1、解萬程：1 2x 8 0;2 25 16x =0;3 1 x 9 0;類型二、因式分解法：

5、x x1 x x20 x x1，或 x x2方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積,”,方程形式：力口 ax2 c2x 2ax a典型例題:例 1、2x x 3的根為（Xi52，x2例2、若4x y2 3 4x4 0,則 4x+y的值為22 2變式1 ： a bb26 0,則 a2b2變式3 :若x2xyxyx 28 ,則x+y的值為例3、方程x26 0的解為A. x13, X2B. x13, x2C. x13, x23 D. x1 2, x2例4、解方程:2 .32,3例5、已知2x23xy2y20,M- xy的值為 y變式：已知2x23xy2y20,yy的值為 y針對練習(xí): 1、下列說法

6、中:方程x2 px q 0的二根為x1 , x2,則2x pxq (x xi)(x x2)x2 6x 8 (x 2)(x 4). a2 5ab 6b2 (a 2)(a 3) x2 y2 （x y）（、,x . y）（,x , y）方程（3x 1）2 7 0可變形為（3x 1 "）（3x 1 此 0正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個D.4個2、以i a與1 "為根的一元二次方程是（）22A.x2x6 0B.x2x 60C.y22y6 0D.y22y 603、寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1,且兩根互為倒數(shù):寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1 ,且兩根互

7、為相反數(shù)： 4、若實數(shù)x、y滿足xy3xy 2 0,則x+y的值為（）A、-1 或-2 B、-1 或 2C、1 或-2 D、1 或 215、方程：x 2的解是。 x6、已知 V6x2 xy V6y2 0,且 x 0, y 0 ,求 2x_ '6y 的值。 3x y2 7、萬程1999x1998 2000x 1 0的較大根為 r , 萬程2007x2 2008x 1 0的較小根為s,則s-r的值為。類型三、配方法ax2 bx c 0 a 0b 2 b2 4ac2a 4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式 的值或極值之類的問題。典型例題:例1、試用配方法說明x2 2x

8、3的值恒大于0例2、已知x、y為實數(shù)，求代數(shù)式x2 y2 2x 4y 7的最小值例3、已知x2 y2 4x 6y 13 0, x、y為實數(shù)，求xy的值。例4、分解因式：4x2 12x 3針對練習(xí):1、試用配方法說明10x2 7x 4的值恒小于00111 2、已知x丁 x 40,則xxxx 3、若t2 3 3x212x9,則t的最大值為 ,最小值為。 4、如果 a b v'c1 1 4va2 2vb 1 4,那么 a 2b 3c 的值2_0,且 b4ac 0例1、選擇適當(dāng)方法解下列方程:8. x2 4x 1 0 3x2 4x 1 01 3x 12x 5 .、2(1)31 x 6.例2、在

9、實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1) x2 2<2x 3;(2)4x2 8x 1. 2x2 4xy 5y2說明：對于二次三項式ax2 bx c的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解,一般情況要用求根公式，這種方法首先令 ax2 bx c=0,求出兩根，再寫成2ax bx c=a(x x1)(x x2).分解結(jié)果是否把二次項系數(shù)乘進括號內(nèi)，取決于能否把括號內(nèi)的分母化去類型五、“降次思想”的應(yīng)用求代數(shù)式的值；解二元二次方程組。典型例題：2 一 一x 1 x 1.例1、 已知x 3x 2 0,求代數(shù)式的值。x 1例2、如果x2 x 1 0,那么代數(shù)式x3 2x2 7的值。例3、已知a是一元二次方程x2

10、3x 1一3 2a 2 a 5a 1 “0的一根，求2的值a 1例4、用兩種不同的方法解方程組2x y 6,(1)22x2 5xy 6y2 0.(2)說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種： 先消元，再降次；先降次， 再消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學(xué)思想一一化歸思想， 即把新問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為 我們已知的問題.考點類型四根的判別式b2-4ac根的判別式的作用定根的個數(shù)；求待定系數(shù)的值；應(yīng)用于其它。典型例題：例1、若關(guān)于x的方程x2 2lkx 1 0有兩個不相等的實數(shù)根，則 k的取值范 圍是 0例2、關(guān)于x的方程m 1 x2 2mx m 0有實數(shù)根，則m的取值范圍是()A. m 0且m 1 B.

11、 m 0 C. m 1D. m 1例3、已知關(guān)于x的方程x2 k 2 x 2k 0(1)求證：無論k取何值時，方程總有實數(shù)根；(2)若等腰 ABC的一邊長為1 ,另兩邊長恰好是方程的兩個根，求 ABC的周例4、已知二次三項式9x2 (m 6)x m 2是一個完全平方式，試求 m的值.例5、m為何值時，方程組x 2y 6,有兩個不同的實數(shù)解？有兩個相同的實mxy 3.數(shù)解?針對練習(xí)： 1、當(dāng)k 時，關(guān)于x的二次三項式x2 kx 9是完全平方式。 2、當(dāng)k取何值時，多項式3x2 4x 2k是一個完全平方式？這個完全平方式是什么？ 3、已知方程mx2 mx 2 0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值是.

12、ykx 2. 4、k為何值時，方程組 2y2 4x 2y 1 0.(1)有兩組相等的實數(shù)解，并求此解;(2)有兩組不相等的實數(shù)解;(3)沒有實數(shù)解. 5當(dāng)k取何值時，方程x2 4mx 4x 3m2 2m 4k 0的根與m均為有理數(shù)？考點類型五方程類問題中的“分類討論”典型例題：例1、關(guān)于x的方程m 1 x2 2mx 3 0有兩個實數(shù)根，則m為,只有一個根，則m為。例2、不解方程，判斷關(guān)于x的方程x2 2 x k k2 3根的情況。例3、如果關(guān)于x的方程x2 kx 2 0及方程x2 x 2k 0均有實數(shù)根，問這兩方程是否有相同的根？若有，請求出這相同的根及 k的值；若沒有，請說明理由?？键c類型六

13、應(yīng)用解答題“碰面”問題；“復(fù)利率”問題；“幾何”問題;“最值”型問題；“圖表”類問題典型例題：1、五羊足球隊的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯990次，問晚宴共有多少人出席？2、某小組每人送他人一張照片，全組共送了 90張，那么這個小組共多少人？3、北京申奧成功，促進了一批產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，某通訊公司開發(fā)了一種新型通訊產(chǎn)品投放、，一、一一一一 一 一， 1 一一市場，根據(jù)計劃，第一年投入資金 600萬兀，第二年比第一年減少 -，第三年比第二年減3，1、,、一,一，少一，該產(chǎn)品第一年收入資金約 400萬元，公司計劃三年內(nèi)不僅要將投入的總資金全部收21回，還要盈利3,要實現(xiàn)這一目標(biāo)，該產(chǎn)品收入的

14、年平均增長率約為多少？(結(jié)果精確到0.1,而 3.61)4、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出 500千克，銷售單價每漲 1元，月銷售量就減少10千克，針對此回答： (1)當(dāng)銷售價定為每千克 55元時，計算月銷售量和月銷售利潤。(2)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到 8000元，銷售單價應(yīng)定為多少？5、將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長作成一個正方形。(1)要使這兩個正方形的面積之和等于17cm 2,那么這兩段鐵絲的長度分別為多少?(2)兩個正方形的面積之和可能等于12cm 2嗎？

15、若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由。(3)兩個正方形的面積之和最小為多少？6、A、B兩地間的路程為 36千米.甲從A地，乙從B地同時出發(fā)相向而行，兩人相遇后, 甲再走2小時30分到達B地，乙再走1小時36分到達A地，求兩人的速度.考點類型七根與系數(shù)的關(guān)系前提：對于ax2 bx c 0而言，當(dāng)滿足a 0、0時,才能用韋達定理。主要內(nèi)容： X1 X2, X1X2 -a a應(yīng)用：脹體代入求值。典型例題：例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程 2x2 8x 7 0的兩根，則這個直角三角形的斜邊是()A. 3B.3C.6D. .6例2、已知關(guān)于x的方程k2x2 2k 1 x 1 0有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2,(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出 k的值；若不存在，請說明理由。例3、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程(二次項系數(shù)為1)時，小明因看錯常數(shù)項，而得到解為8和2,小紅因看錯了一次項系數(shù)，而得到解為-9和-1。你知道原來的方程是什么嗎？其正確解應(yīng)該是多少？例 4、已知 a b, a2 2a 1 0 , b2 2b 1 0,求 a b 變式：若a2 2a