223向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義課件

1、2.2 平面向量的線性運(yùn)算2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義三維目標(biāo)1知識與技能(1)掌握向量數(shù)乘運(yùn)算的定義及其幾何意義，數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律，并能熟練運(yùn)用定義、運(yùn)算律進(jìn)行簡單的計算；(2)理解向量共線定理及其推導(dǎo)過程，會應(yīng)用向量共線定理判斷或證明兩個向量共線、三點(diǎn)共線及兩直線平行等簡單問題2過程與方法通過對兩個向量共線充要條件的探究與推導(dǎo)，讓學(xué)生對平面向量共線定理有更深刻的理解，學(xué)會根據(jù)條件判斷兩個向量是否平行為了幫助學(xué)生消化和鞏固相應(yīng)的知識，本節(jié)課設(shè)置了幾個例題及其變式引申，指導(dǎo)學(xué)生通過探究發(fā)現(xiàn)，并得出結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力和創(chuàng)新思維能力三維目標(biāo)3情感、態(tài)度與價值觀通過對向量數(shù)乘運(yùn)算的學(xué)習(xí)

2、和探究，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、類比、分析、歸納、抽象的思維能力以及邏輯推理能力，了解事物運(yùn)動變化的辨證思想重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)向量數(shù)乘運(yùn)算的定義、運(yùn)算律，向量平行的充要條件難點(diǎn)理解向量數(shù)乘運(yùn)算的定義，向量平行的充要條件教學(xué)建議1從實際問題出發(fā)引入新課，不但展示了教學(xué)的主要內(nèi)容，而且還激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣如可以通過物理中力與加速度的關(guān)系 Fma ，位移與速度的關(guān)系 svt 等實際問題引入實數(shù)與向量的積2實數(shù)與向量的三個運(yùn)算律，為了降低難度課本上沒有證明，可以結(jié)合圖形給學(xué)生直觀解釋，程度好的學(xué)生可以適當(dāng)指導(dǎo)給出證明，證明的關(guān)鍵是向量的兩要素：方向和大小3由于學(xué)生已理解平行向量，

3、因此可以讓學(xué)生觀察平行向量間的關(guān)系，可以從方向和大小兩個方面來考慮然后指出向量平行的充要條件實質(zhì)上是由實數(shù)與向量的積得到的給學(xué)生說明定理的作用，通常用來判斷三點(diǎn)在同一條直線上或兩直線平行，要指出與平面中直線間的平行的區(qū)別新課導(dǎo)入導(dǎo)入一 引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而時間、質(zhì)量等都是數(shù)量，這些向量與數(shù)量的關(guān)系常常在物理公式中體現(xiàn)如力與加速度的關(guān)系Fma ，位移與速度的關(guān)系 svt .這些公式都是實數(shù)與向量間的關(guān)系 師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法，請同學(xué)們作出向量 aaa和(a)(a)(a)，并回答和向量的長度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關(guān)？ 生：aaa 的長度是 a 的長度的

4、 3倍，其方向與 a 的方向相同，(a)(a)(a)的長度是 a的長度的 3倍，其方向與 a的方向相反 師：很好！本節(jié)課我們就來討論實數(shù)與向量的乘積問題 新課導(dǎo)入導(dǎo)入二 某年級在一條筆直跑道上做游戲從 A點(diǎn)向南跑 50 米到達(dá) B點(diǎn)處做一組數(shù)學(xué)練習(xí)題，做對后再向正南跑 50 米到達(dá) C 處做一組語文練習(xí)題，做對后又向正南方向跑 50 米到達(dá)終點(diǎn) D 處做一組“ 自然” 題，做對后原路跑回到起點(diǎn) A.用時少者為優(yōu)勝者我們把 A的方向、長度與 a的方向、長度之間有何關(guān)系？向量 DA到 B看作向量 a，觀察向量AD的方向、長度和向量 a的方向、長度之間有何關(guān)系？ aaa，且|AD|3|a|，與 a

5、同向，所以 AD3a，DA(a)(a)解：AD |3|a|，與 a 反向，所以 DA3a.這就是我們本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的向(|DA a)，且 量的數(shù)乘運(yùn)算 預(yù)習(xí)探究知識點(diǎn)一向量數(shù)乘的定義一般地，我們規(guī)定，實數(shù) 與向量a的積是一個 _向量，這種運(yùn)算叫作記作_a它的長度與方向規(guī)定如下： |a|_. |a|當(dāng)0 時，a的方向與a的方向_相同； 當(dāng)1 時，有|a|a|，表示向量 a 的有向線段在原方向 (0)或反方向(0)伸長|倍； 當(dāng)|0)或反方向(0 時，a 與 a同向，模是|a| 的 倍；當(dāng) 0 考點(diǎn)類析答案 (1)C (2)C 解析 (1)正確，向量的數(shù)乘滿足分配律；錯誤，若m0，則 a，b 可以

6、是任意向量；正確，由 mana，得(mn)a0，又 a0，所以 mn0，即mn.故選 C. (2)易知，選項 C 正確 考點(diǎn)類析考點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算與應(yīng)用重點(diǎn)探究型例例 2 2 化簡：(1)6(3a2b )9 (2ab)； 解：(1)原式18a12b18a9b3b. ?7?1?7?213?1?73?71?17(2)原式?3a3a2bb?2a2a7b?3ab?a7b? a b a2?26?6?2?6?61 b0. 2(3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c6a2b. 考點(diǎn)類析【變式】 已知向量a，b，x，y滿足關(guān)系式 3x2ya，4x3yb，試用向量a，b表示向量x，y. 解：由題知 3x2y

7、a，4x3yb. 由 3 2，得 x3a2b. 代入，得 3(3a2b)2ya，所以 y4a3b. 考點(diǎn)類析小結(jié) 向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項式的運(yùn)算，實數(shù)運(yùn)算中去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在向量線性運(yùn)算中也可以使用 考點(diǎn)類析PCAB， 拓展 (1)已知點(diǎn)P在正三角形ABC所確定的平面上，且滿足P APB則ABP的面積與BCP的面積之比為( ) A11 B12 C13 D14 1(2)如圖 2-2-10 所示， 在平行四邊形OADB中，設(shè)OA a，OBb，BM3BC，CN1，ON及MN. 3CD.試用a，b表示OM 圖 2-2-10 考點(diǎn)類析答案 B PBPCAB，PAPCA

8、BPBAP，PC2AP，即點(diǎn) P 為解析 PA|PC線段 AC上靠近點(diǎn) A的三等分點(diǎn) ABP 的面積與BCP 的面積之比為|AP|12，故選 B. 1111(2)解：由題意知，在平行四邊形OADB 中，BM3BC6BA6(OAOB)6(a1111115OBBMb a b a b.因為CN CD，b) a b， 所以O(shè)M所以O(shè)N366666622221511ONOM (ab) a b a b. 3OD3(OAOB)3(ab)，則MN36626 考點(diǎn)類析考點(diǎn)三共線定理的應(yīng)用重點(diǎn)探究型共線導(dǎo)入 若存在不全為 0 的一對實數(shù) ，使 ab0，則向量a與b_ PBPCAC，則下列向量一定共例例 3 3 (

9、1)已知 P，A，B，C 是平面內(nèi)四點(diǎn)，且 PA線的是( ) 與PB B.PA與PB A.PC與PC D.PC與AB C.PAOAmOB，則 m(2)已知 A，B，C 三點(diǎn)共線，O 是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且 OC_ 考點(diǎn)類析答案 (1)B (2)1 PCAC，所以PAPBPCCA0，即2PAPB，所PB解析 (1)因為PA與PB共線 以PAtAB，即OCOAtOBtOA， (2)A，B，C 三點(diǎn)共線，AC(1t)OAtOB，m(1t)t1. OC 考點(diǎn)類析2e1ke2，CBe13e2，CD2e1e2，【變式】設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，AB若A，B，D三點(diǎn)共線，求實數(shù)k的值 與BD共線設(shè)ABB

10、D(R)， 解：若 A，B，D 三點(diǎn)共線，則 ABCDCB2e1e2(e13e2)e14e2， BD2e1ke2e14e2.由 e1與 e2不共線可得 2，k8. 考點(diǎn)類析小結(jié) 要用向量證明共線問題，只要考慮根據(jù)共線向量的條件，尋找向量間的關(guān)系，從而得以證明問題 備課素材平面向量共線定理及其應(yīng)用 用向量法證明三點(diǎn)共線時，關(guān)鍵是能否找到一個實數(shù) ，使得 ba(a，b為這三點(diǎn)構(gòu)成的其中任意兩個向量)證明步驟是先證明向量共線，然后再由兩向量有公共點(diǎn)，證得三點(diǎn)共線 解決與中點(diǎn)相關(guān)的問題，要注意到中點(diǎn)分線段為相等兩段后成相反向量這一特點(diǎn)，然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使問題得以解決，還要注意重心的性質(zhì)的應(yīng)用 備課

11、素材1例 在ABC中，G 是ABC的重心證明：AG3(AB AC) DE. 證明：延長 AG交 BC于點(diǎn) D，再延長 AD到 E，使AD G 是ABC的重心，D 是 BC的中點(diǎn)， 四邊形 ABEC是平行四邊形， 2AE AB AC.又AE2AD ，AG3AD ， 11AG3AE 3(AB AC) 當(dāng)堂自測14 (ab)3 (ab)b等于(Aa2b Ba Ca6b ) Da8b答案 D 解析 原式4a4b3a3bba8b. 當(dāng)堂自測2已知平行四邊形ABCD中，DAa，b，其對角線的交點(diǎn)為O，則OB等于( A.1b Ba12a2b C.12(ab) Dab DC) 答案 C 解析 DADCDAAB

12、DB2OB，所以O(shè)B12(ab)，故選 C. 當(dāng)堂自測3已知，R，則下列結(jié)論中正確的是( ) Aa與a同向 B0a0 C( )aa a D若ba，則|b|a| 答案 C 解析 對于 A， 當(dāng) 0 時正確；對于 B，0a0；對于 D，若 ba，則|b|a|.故選 C. 當(dāng)堂自測4點(diǎn)C在線段AB的延長線上，且等于( ) A2AB B.13AB C13AB D2AB AC3AB，則BC答案 D 解析 BCACAB3ABAB2AB. 當(dāng)堂自測5. 已知向量a，b，且ABa2b，BC5a6b，CD7a2b，則一定共線的三點(diǎn)是( ) AA，B，D BA，B，C CB，C，D DA，C，D 答案 A 解析

13、因為 BDBCCD(5a6b)(7a2b)2a4b2(a2b)2AB，所以 A，B，D 三點(diǎn)共線 備課素材小結(jié) 1a 的理解 (1)可以將 a的長度擴(kuò)大 (|1 時)， 也可以縮小 (|0時)，也可以改變 a 的方向(0 時) (2)當(dāng) 0 時，a0，而當(dāng) 0 時，若 a0，也有 a0. (3)實數(shù)與向量可以求積，結(jié)果仍是一個向量，它可以看成實數(shù)與實數(shù)的積的定義的推廣，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如： a，a 無意義 2對兩向量共線的條件的理解 (1)判斷兩向量共線，其實就是找一個實數(shù)，使得它與一個向量的積等于另一個向量可以用來證明幾何中的三點(diǎn)共線及兩直線平行的問題 備課素材(2)規(guī)定“ 非零向量 a” 的原因是：若 a0，b0 時，不存在實數(shù) 使得 ba；若 a0 ，b0，則存在不唯一的實數(shù)滿足等式 (3)若