高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 含參不等式恒成立問(wèn)題的求解策略

1、含參不等式恒成立問(wèn)題的求解策略 “含參不等式恒成立問(wèn)題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，其以覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解法靈活等特點(diǎn)而倍受高考、競(jìng)賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類(lèi)討論”等數(shù)學(xué)思想對(duì)鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨(dú)到的作用。本文就結(jié)合實(shí)例談?wù)勥@類(lèi)問(wèn)題的一般求解策略。一、判別式法若所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對(duì)于二次函數(shù),有1）對(duì)恒成立; 2）對(duì)恒成立 例1已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題設(shè)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)恒成立，

2、即有解得。所以實(shí)數(shù)的取值范圍為。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問(wèn)題。例2設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，恒成立Oxyx-1當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為。二、最值法 將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題的一種處理方法，其一般類(lèi)型有：1）恒成立2）恒成立例3已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則由題可知對(duì)任意恒成立令，得而即實(shí)數(shù)的取值范圍為。例4函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：若對(duì)任意，恒成立，即對(duì)，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時(shí)恒成立而得而拋物線(xiàn)在的最小值得注：本題還可將變

3、形為，討論其單調(diào)性從而求出最小值。三、分離變量法若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：1）恒成立2）恒成立實(shí)際上，上題就可利用此法解決。略解：在時(shí)恒成立，只要在時(shí)恒成立。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為，所以。 例5已知函數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解： 將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立。令，則由可知在上為減函數(shù)，故即的取值范圍為。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問(wèn)題順利得到解決。四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問(wèn)題時(shí)，若能適時(shí)的把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行“換位

4、”思考，往往會(huì)使問(wèn)題降次、簡(jiǎn)化。例6對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問(wèn)題。解：令，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。 當(dāng)時(shí)，可得，不合題意。當(dāng)時(shí)，應(yīng)有解之得。故的取值范圍為。注：一般地，一次函數(shù)在上恒有的充要條件為。四、數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，這充分說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問(wèn)題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。x-2-4yO-4例7設(shè) , ,若恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出及 的圖象 如圖所示，的圖象是半圓 的圖象是平行的直線(xiàn)系。要使恒成立，則圓心到直線(xiàn)的距離滿(mǎn)足 解得（舍去)由上可見(jiàn)，含參不等式恒成立問(wèn)題