最新《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、學(xué)習(xí)-好資料導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)f(X2) f (Xi)X2 - Xi、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義1. 函數(shù)的平均變化率：函數(shù)f(x)在區(qū)間x1, x2上的平均變化率為:2. 導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù) y =f(x)在區(qū)間(a,b)上有定義，(a,b)，若Cx無限趨近于 0時(shí)，比值 弓(x° 學(xué) f(x°)無限趨近于一個(gè)常數(shù) A，則稱函數(shù)f(x)在x = xo處可導(dǎo), 并稱該常數(shù)A為函數(shù)f(x)在X=Xo處的導(dǎo)數(shù)，記作f (xo)。函數(shù)f (x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)的實(shí) 質(zhì)是在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。3. 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本步驟：(1)求函數(shù)的增量.Vy =f(Xo .Vx) - f (Xo)

2、 ；( 2)求平均變化率：f(Xo . ：x) f(Xo)；( 3)取極限，當(dāng)lx無限趨近與0時(shí)，f(Xo：X) f(Xo)無限趨ZAx近與一個(gè)常數(shù)A，貝y f (x0A.4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在x=Xo處的導(dǎo)數(shù)就是曲線 y=f(x)在點(diǎn)(Xo,f(Xo)處的切線的斜率。由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，具體求法分兩步：(1) 求出y = f(x)在xo處的導(dǎo)數(shù)，即為曲線 y = f(x)在點(diǎn)(xo, f (xo)處的切線的斜率;(2) 在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y -yo =(xo)(x -xo)。當(dāng)點(diǎn)P(xo, yo)不在y =f(x)上時(shí)，求經(jīng)過點(diǎn) P

3、的y = f(x)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)， 由切點(diǎn)坐標(biāo)得到切線方程，再將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入確定切點(diǎn)。特別地，如果曲線y = f(x)在點(diǎn)(xo, f(xo)處的切線平行與y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為x=x°。5. 導(dǎo)數(shù)的物理意義：質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的位移S是時(shí)間t的函數(shù)S(t)，則V =S(t)表示瞬時(shí)速度，a=v(t)表示瞬時(shí)加速度。二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) (kx bf = k(k,b 為常數(shù))；(2)C =0(C 為常數(shù))；(3) (x) =1 ;(4)(x2) =2x ；(5)(x3) =3x2;(6)(1)'丄一舌；x x學(xué)習(xí)-好資

4、料(7) (. x)y_1_ ;2仮(9) (ax)二axlna(a 0,a=1)；(11) (ex)ex ；(13) (sin x) =cosx ;(8) (x“)： = ox"(a為常數(shù))；(10) (logaX)Wlogae=：x1a(a 0,a=1);(12) (lnx)：W ;(14) (cosx) = _sin x。2. 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)：(1) f(x) _g(x) =f (x)_g(x)；(2) Cf (x)KCf (x)( C 為常數(shù))；(3) f(x)g(x)ff (x)g(x) f (x)g (x)；(4) 単(x)g(x)2 f(x (g(x)=0)

5、。g(x)g (x)3. 簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):若 y = f (u), u 二ax b，貝V yyu Ux，即 yx =yu a。三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 求函數(shù)的單調(diào)性：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法：設(shè)函數(shù) y二f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，(1) 如果恒f (x) 0 ,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù)；(2) 如果恒f (x) :0，則函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù)；(3) 如果恒f (x)=0，則函數(shù)y二f(x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：求函數(shù) y = f (x)的定義域；求導(dǎo)數(shù) (x)； 解不等式f(x) .0，解集在定義

6、域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間；解不等式f(x)：0，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減區(qū)間。反過來，也可以利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問題(如確定參數(shù)的取值范圍)：設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，(1) 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù)，則f(x)_0(其中使f (x0的x值不構(gòu) 成區(qū)間)；(2) 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù)，則f (x)乞0(其中使f(x)=0的x值不構(gòu) 成區(qū)間)；(3) 如果函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù)，則f (x) =0恒成立。2. 求函數(shù)的極值：設(shè)函數(shù)y=f(x)在X。及其附近有定義，如果對(duì) X。附近的所有的點(diǎn)都

7、有f(x) f(x0)(或f (x) £ f(X0),則稱f(X0)是函數(shù)f (x)的極小值(或極大值)可導(dǎo)函數(shù)的極值，可通過研究函數(shù)的單調(diào)性求得，基本步驟是：學(xué)習(xí)-好資料(1 )確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f (x) ; (3)求方程f(x)=o的全部實(shí)根，Xi ：X2 ：:：:Xn，順次將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，并列表：X變化時(shí)，f(X)和f (x)值的變化情況：X(°o, X1)X(MX)Xn(Xn , Sf (X)正負(fù)0正負(fù)0正負(fù)f(x)單調(diào)性單調(diào)性單調(diào)性(4) 檢查f(X)的符號(hào)并由表格判斷極值。3. 求函數(shù)的最大值與最小值：如果函數(shù)f(X)在定義域I內(nèi)

8、存在Xo，使得對(duì)任意的X，I，總有f(X)_f(Xo)，則稱f(Xo)為函數(shù)在定義域上的最大值。函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不一定唯一，但在定義域內(nèi)的最值是唯一的。求函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上的最大值和最小值的步驟：(1 )求f (x)在區(qū)間(a,b)上的極值；(2)將第一步中求得的極值與f(a), f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間a,b上的最大值與最小值。4. 解決不等式的有關(guān)問題：(1)不等式恒成立問題(絕對(duì)不等式問題)可考慮值域。f (x)(x A)的值域是a,b時(shí),不等式f(x) ：0恒成立的充要條件是f (X)max : 0 ,即 b 0 ；不等式f(x) 0恒成立的充要條件是f(x)min 0，即 a 0。f(x)(xA)的值域是(a,b)時(shí)，不等式f (x) :：: 0恒成立的充要條件是 b豈0 ；不等式f(x) 0恒成立的充要條件是 a _ 0。(2)證明不等式f(x) <0可轉(zhuǎn)化為證明f(X)max ：0，或