多面體與球名師課件

1、由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體 多面體多面體： 稱為多面體。稱為多面體。 圍成多面體的各個(gè)多邊形稱為圍成多面體的各個(gè)多邊形稱為 多面體的面多面體的面，兩個(gè)，兩個(gè)面的公共邊叫做面的公共邊叫做多面體的棱多面體的棱，若干個(gè)面的公共頂點(diǎn)叫，若干個(gè)面的公共頂點(diǎn)叫做做多面體的頂點(diǎn)多面體的頂點(diǎn)。 食鹽食鹽 明礬明礬 石膏石膏 （1）凸多面體凸多面體： 把多面體的任何一個(gè)面伸展為平面，如果所有其他把多面體的任何一個(gè)面伸展為平面，如果所有其他各面都在這個(gè)平面的同側(cè)，這樣的多面體叫做凸多各面都在這個(gè)平面的同側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體。面體。 V C D A E B （2）多面體分類

2、：）多面體分類： 按多面體面數(shù)分類按多面體面數(shù)分類 如四面體、五面體、六面體等如四面體、五面體、六面體等 （3）正多面體：）正多面體： 定義：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊定義：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)都有相同棱數(shù)的凸多面形，每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)都有相同棱數(shù)的凸多面體，叫做體，叫做正多面體正多面體 正多面體有且僅有五種：正四面體、正多面體有且僅有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體十面體 正多面體的展開圖正多面體的展開圖 多面體多面體 簡(jiǎn)單多面體簡(jiǎn)單多面體 表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形能變成一個(gè)球面的多面體能變成一個(gè)球

3、面的多面體 ( 5 ) （6） ( 7 ) ( 8 ) 如棱柱、棱錐等都是簡(jiǎn)單多面體 不是簡(jiǎn)單多面體！ 棱柱、 棱錐、 正四面體、 凸多面體、 正多面體、 正方體等 簡(jiǎn)單多面體分類簡(jiǎn)單多面體分類 歐拉公式歐拉公式 (1)設(shè)簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為設(shè)簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V，面數(shù)為，面數(shù)為F，棱數(shù)，棱數(shù)為為E，則它們的關(guān)系為，則它們的關(guān)系為V+F-E= 2 (2)設(shè)正多面體每個(gè)面是正設(shè)正多面體每個(gè)面是正n邊形，每個(gè)頂點(diǎn)有邊形，每個(gè)頂點(diǎn)有m mV條棱，頂點(diǎn)數(shù)為條棱，頂點(diǎn)數(shù)為V，面數(shù)為，面數(shù)為F，則棱數(shù)，則棱數(shù) E?2 nF或或 E?2歐拉公式的應(yīng)用歐拉公式的應(yīng)用 例例1 1996年的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予對(duì)發(fā)

4、現(xiàn)年的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予對(duì)發(fā)現(xiàn)C60有重大貢獻(xiàn)的有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家三位科學(xué)家C60是有是有60 個(gè)個(gè)C原子組成的分子，它結(jié)構(gòu)為簡(jiǎn)原子組成的分子，它結(jié)構(gòu)為簡(jiǎn)單多面體形狀這個(gè)多面體有單多面體形狀這個(gè)多面體有60個(gè)頂點(diǎn)，從每個(gè)頂點(diǎn)都引出個(gè)頂點(diǎn)，從每個(gè)頂點(diǎn)都引出3條棱，各面的形狀分別為五邊星或六邊形兩種計(jì)算條棱，各面的形狀分別為五邊星或六邊形兩種計(jì)算C60分分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有多少？子中形狀為五邊形和六邊形的面各有多少？ 解：設(shè)解：設(shè)C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有x個(gè)和個(gè)和 y個(gè)個(gè) 1由題意有頂點(diǎn)數(shù)由題意有頂點(diǎn)數(shù)V=60，面數(shù)，面數(shù)=x+y=

5、x+y，棱數(shù)，棱數(shù)E= E= （3 36060） 21根據(jù)歐拉公式，可得根據(jù)歐拉公式，可得 60+（x+y) （360）=2 2另一方面，棱數(shù)也可由多邊形的邊數(shù)來(lái)表示，即另一方面，棱數(shù)也可由多邊形的邊數(shù)來(lái)表示，即 11 （5x+6y)= （360） 22由以上兩個(gè)方程可解出由以上兩個(gè)方程可解出 x=12,y=20 答：答：C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有12個(gè)和個(gè)和20個(gè)個(gè) 歐拉公式的應(yīng)用歐拉公式的應(yīng)用 1 例例2、有沒(méi)有棱數(shù)是、有沒(méi)有棱數(shù)是7 的簡(jiǎn)單多面體？的簡(jiǎn)單多面體？ 解：假設(shè)有一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的棱數(shù)解：假設(shè)有一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的棱數(shù)E=7 根據(jù)歐拉公

6、式得根據(jù)歐拉公式得 V+F=E+2=9 因?yàn)槎嗝骟w的頂點(diǎn)數(shù)因?yàn)槎嗝骟w的頂點(diǎn)數(shù)V4，面數(shù)，面數(shù)F4，所以只有兩種，所以只有兩種情形：情形： V=4，F(xiàn)=5 或或 V=5，F(xiàn)=4 但是，有但是，有4 個(gè)頂點(diǎn)的多面體只有個(gè)頂點(diǎn)的多面體只有4個(gè)面，而四面體也只有個(gè)面，而四面體也只有四個(gè)頂點(diǎn)所以假設(shè)不成立，沒(méi)有棱數(shù)是四個(gè)頂點(diǎn)所以假設(shè)不成立，沒(méi)有棱數(shù)是7 的簡(jiǎn)單多面體的簡(jiǎn)單多面體 例例3.一個(gè)正一個(gè)正n面體共有面體共有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處共有三條個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處共有三條 棱，求棱，求n 解：解： V?88?3E ?122 F?E?2?V?6 n ? 6球面可看作與定點(diǎn)（球面可看作與定點(diǎn)（球心球心）的距離

7、等于定長(zhǎng)（的距離等于定長(zhǎng)（半徑半徑）的）的所有點(diǎn)的集合所有點(diǎn)的集合 球的大圓球的大圓 球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球的大圓得的圓叫做球的大圓 經(jīng)度經(jīng)度 經(jīng)度是指經(jīng)度是指0經(jīng)線與另一條經(jīng)線與另一條經(jīng)線所在平面經(jīng)線所在平面所成的二面角所成的二面角的度數(shù)的度數(shù) 緯度緯度 緯度是點(diǎn)與球心緯度是點(diǎn)與球心的連線與赤道面的連線與赤道面所成的線面角度所成的線面角度 緯線圓半徑 R cos?球的性質(zhì)球的性質(zhì) 球心與截面圓球心與截面圓的圓心的連線的圓心的連線垂直于截面圓垂直于截面圓 O O r? ?R? ?h22球的公式球的公式 球的體積球的體積 球的表面積球的表面積 43V? ? ?R

8、3S? ? 4? ?R2球面上兩點(diǎn)的球面距離球面上兩點(diǎn)的球面距離： 求法：求法： 利用定義求出經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)利用定義求出經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度間的一段劣弧的長(zhǎng)度. . BAOl?R? ?為為? ?OAB的大小，的大小， R為球的半徑為球的半徑. 計(jì)算A、B兩點(diǎn)間的球面距離步驟: 計(jì)算線段AB的長(zhǎng)度; 計(jì)算A、B到球心O的張角; 計(jì)算球大圓在A、B兩點(diǎn)間所夾的劣弧長(zhǎng). 2.在北緯在北緯60圈上，有甲、乙兩地，它們的緯度圓上圈上，有甲、乙兩地，它們的緯度圓上 R的弧長(zhǎng)等于的弧長(zhǎng)等于 ( R為地球半徑為地球半徑)，求甲、乙兩地間的距離，求甲、乙兩地間的距離. 2【解題回

9、顧】求球面上兩點(diǎn)的距離，就是求過(guò)這兩點(diǎn)【解題回顧】求球面上兩點(diǎn)的距離，就是求過(guò)這兩點(diǎn) 的大圓的劣弧長(zhǎng)，而不是緯線上的劣弧長(zhǎng)，求解的關(guān)的大圓的劣弧長(zhǎng)，而不是緯線上的劣弧長(zhǎng)，求解的關(guān) 鍵在于求兩點(diǎn)的球心角的大小，利用弧長(zhǎng)公式來(lái)求鍵在于求兩點(diǎn)的球心角的大小，利用弧長(zhǎng)公式來(lái)求 出：出：L=? R即為所求球面距離即為所求球面距離. 球的表面積是球的表面積是2500 ? ?，球內(nèi)有兩個(gè)，球內(nèi)有兩個(gè)平行截面的面積分別是平行截面的面積分別是49? ?、400? ?,求兩截面距離求兩截面距離 O1 O O A A O1 B O2 B O2 半球的半徑為半球的半徑為R，一正方體的四，一正方體的四個(gè)頂點(diǎn)在半球的底面

10、上，另四個(gè)個(gè)頂點(diǎn)在半球的底面上，另四個(gè)頂點(diǎn)在球面上，求正方體的棱長(zhǎng)頂點(diǎn)在球面上，求正方體的棱長(zhǎng) 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 1.一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為2，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面A 上，則此球的表面積為上，則此球的表面積為( ) 3 (A) (B) (C) (D) 3 4 6 3C 2.一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)為一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)為20，則它的各面多邊形的內(nèi)，則它的各面多邊形的內(nèi)角總和為角總和為( ) C (A)2160 (B)5400 (C)6480 (D)7200 3.將棱長(zhǎng)為將棱長(zhǎng)為3的正四面體的各棱長(zhǎng)三等分，經(jīng)過(guò)靠近頂?shù)恼拿骟w的各棱長(zhǎng)三等分，經(jīng)過(guò)靠近頂點(diǎn)的

11、各分點(diǎn)，將原正四面體各頂點(diǎn)均截去一個(gè)棱長(zhǎng)為點(diǎn)的各分點(diǎn)，將原正四面體各頂點(diǎn)均截去一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正四面體，剩下的多面體的棱數(shù)為的小正四面體，剩下的多面體的棱數(shù)為( ) C (A)16 (B)17 (C)18 (D)19 能力 思維 方法 1. 已知凸多面體每個(gè)面都是五邊形，每個(gè)頂點(diǎn)都有三已知凸多面體每個(gè)面都是五邊形，每個(gè)頂點(diǎn)都有三條棱，試求該多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)條棱，試求該多面體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù). 【解題回顧】用歐拉公式【解題回顧】用歐拉公式V+F-E= 2解題時(shí)，要善于發(fā)解題時(shí)，要善于發(fā) nF現(xiàn)棱數(shù)現(xiàn)棱數(shù)E與面數(shù)與面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)V的關(guān)系，一般有的關(guān)系，一般有 E?mV和和 E

12、?223. 設(shè)一個(gè)凸多面體有設(shè)一個(gè)凸多面體有V個(gè)頂點(diǎn)，求證它的各面多邊形個(gè)頂點(diǎn)，求證它的各面多邊形 的內(nèi)角總和為的內(nèi)角總和為(V- 2) ?360. 【解題回顧】此題要大膽設(shè)各面為【解題回顧】此題要大膽設(shè)各面為E1、E2EF邊形，邊形， 另外要知道另外要知道E1+E2+EF=2 E才行才行. 4. 三棱錐三棱錐A-BCD的兩條棱的兩條棱AB=CD= 6,其余各棱長(zhǎng)均為其余各棱長(zhǎng)均為5，求三棱錐的內(nèi)切球半徑求三棱錐的內(nèi)切球半徑. 【解題回顧】正如三角形的內(nèi)切圓經(jīng)常與面積發(fā)生關(guān)【解題回顧】正如三角形的內(nèi)切圓經(jīng)常與面積發(fā)生關(guān) 系一樣，多面體的內(nèi)切球的半徑也常與體積發(fā)生聯(lián)系系一樣，多面體的內(nèi)切球的半徑

13、也常與體積發(fā)生聯(lián)系. 延伸拓展 5. 過(guò)半徑為過(guò)半徑為R的球面上一點(diǎn)作三條兩兩垂直的弦的球面上一點(diǎn)作三條兩兩垂直的弦MA、MB、MC. (1)求證：求證：MA2+MB2+MC2為定值；為定值； (2)求三棱錐求三棱錐M-ABC的體積的最大值的體積的最大值. 【解題回顧】【解題回顧】(1)MA、MB、MC兩兩垂直兩兩垂直.根據(jù)球的對(duì)根據(jù)球的對(duì)稱性，采用補(bǔ)形的方法，可以把它補(bǔ)成一個(gè)球的內(nèi)接稱性，采用補(bǔ)形的方法，可以把它補(bǔ)成一個(gè)球的內(nèi)接長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體.長(zhǎng)方體的對(duì)角線的平方就是球的直徑的平方，長(zhǎng)方體的對(duì)角線的平方就是球的直徑的平方，即即MA2+MB2+MC2=4 R2.在做選擇題、填充題時(shí)就可直在做選擇題、填充題時(shí)就可直接用這個(gè)結(jié)論接用這個(gè)結(jié)論. (2)在球中的線段計(jì)算問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為小圓半徑，大圓在球中的線段計(jì)算問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為小圓半徑，大圓半徑