《物理剛體力學(xué)》ppt課件

1、電子教案電子教案1第四章 剛體力學(xué)2本章本章教學(xué)要求：教學(xué)要求：了解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念。理解剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能的了解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念。理解剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能的概念。理解剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和剛體在概念。理解剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和剛體在繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量守恒定律。了解進(jìn)動(dòng)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量守恒定律。了解進(jìn)動(dòng)的概念。的概念。本章重點(diǎn)：本章重點(diǎn)：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和剛體在繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和剛體在繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量守恒定律。剛體質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量守恒定律。剛體質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)問題問題本章難點(diǎn)：本章難點(diǎn)： 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體角動(dòng)量守恒定律剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，

2、剛體角動(dòng)量守恒定律下一頁上一頁3體（理想模型）剛體：不發(fā)生形變的物在剛體之外?？梢源┻^剛體，也可以（固）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（繞某軸線轉(zhuǎn)動(dòng)）剛體運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng) 剛體在剛體在平動(dòng)平動(dòng)時(shí)，在任意一段時(shí)間內(nèi)，剛體中所時(shí)，在任意一段時(shí)間內(nèi)，剛體中所有質(zhì)點(diǎn)的位移都是相同的。而且在任何時(shí)刻，各個(gè)有質(zhì)點(diǎn)的位移都是相同的。而且在任何時(shí)刻，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度也都是相同的。所以剛體內(nèi)任質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度也都是相同的。所以剛體內(nèi)任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，都可代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，都可代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。 當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果剛體內(nèi)任何一條給定的直線，當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果剛體內(nèi)任何一條給定的直線，在運(yùn)動(dòng)中始終保

3、持它的方向不變，這種運(yùn)動(dòng)叫平動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)中始終保持它的方向不變，這種運(yùn)動(dòng)叫平動(dòng)。4點(diǎn)，交于設(shè)某個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)平面與轉(zhuǎn)軸o任一垂直于轉(zhuǎn)軸的平面稱為轉(zhuǎn)動(dòng)平面。點(diǎn)均則該轉(zhuǎn)動(dòng)平面上所有質(zhì)同）。點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)（半徑不繞o參考方向oo)irivPim定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)： 剛體上各點(diǎn)都繞同一轉(zhuǎn)軸作不剛體上各點(diǎn)都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng)，且在相同時(shí)同半徑的圓周運(yùn)動(dòng)，且在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。5可用 ， ， 描寫剛體運(yùn)動(dòng)決定，且，方向由右手螺旋法則角速度矢量向。因而，沿轉(zhuǎn)軸正向或逆轉(zhuǎn)軸方只可能有兩個(gè)方向，即示?？捎猛队傲浚ㄕ?fù)）表的關(guān)系是與角速度則其線速度離轉(zhuǎn)軸距離為設(shè)剛體上某質(zhì)元iiivrm

4、,iirviirv 其大小為iar切向加速度2inra 法向加速度參考方向oo)irivPimdtd6例題例題4-1 4-1 一飛輪在時(shí)間一飛輪在時(shí)間t t內(nèi)轉(zhuǎn)過角度內(nèi)轉(zhuǎn)過角度 at+bt3-ct4 , ,式中式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。都是常量。求它的角加速度。解：解：飛輪上某點(diǎn)角位置可用飛輪上某點(diǎn)角位置可用 表示為表示為 at+btat+bt3 3-ct-ct4 4將此式對(duì)將此式對(duì)t t求導(dǎo)數(shù)，即得飛輪角速度的表達(dá)式為求導(dǎo)數(shù)，即得飛輪角速度的表達(dá)式為324343)(ctbtactbtatdtd角加速度是角速度角加速度是角速度對(duì)對(duì)t t的導(dǎo)數(shù)，因此得的導(dǎo)數(shù)，因此得232(34)

5、612ddabtctbtctdtdt由此可見飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)動(dòng)。由此可見飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)動(dòng)。7例題例題4-2 4-2 一飛輪轉(zhuǎn)速一飛輪轉(zhuǎn)速n= =1500r/min，受到制動(dòng)后均勻，受到制動(dòng)后均勻 地減速，經(jīng)地減速，經(jīng)t t=50 s=50 s后靜止。后靜止。（1 1）求角加速度）求角加速度 和飛輪從制動(dòng)開始到靜止所轉(zhuǎn)過和飛輪從制動(dòng)開始到靜止所轉(zhuǎn)過 的轉(zhuǎn)數(shù)的轉(zhuǎn)數(shù)N；（2 2）求制動(dòng)開始后）求制動(dòng)開始后t=25=25s 時(shí)飛時(shí)飛 輪的角速度輪的角速度 ；（3 3）設(shè)飛輪的半徑）設(shè)飛輪的半徑r=1=1m，求在，求在 t=25=25s 時(shí)邊緣上一點(diǎn)的速時(shí)邊緣上一點(diǎn)的速 度和加速度。度和加速度。

6、0vanatarO解解 （1 1）設(shè)初角度設(shè)初角度為為 0 0方向如圖所示，方向如圖所示，8開始角速度為開始角速度為 0 0=2=21500/60=501500/60=50 rad/s，對(duì)于勻角加，對(duì)于勻角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)，可以應(yīng)用以角量表示的運(yùn)動(dòng)方程，在速度轉(zhuǎn)動(dòng)，可以應(yīng)用以角量表示的運(yùn)動(dòng)方程，在t=50=50S 時(shí)刻時(shí)刻 =0 =0 ，代入方程，代入方程 = = 0+t 得得20250/503.14/rad strad s 從開始制動(dòng)到靜止，飛輪的從開始制動(dòng)到靜止，飛輪的角位移角位移 及轉(zhuǎn)數(shù)及轉(zhuǎn)數(shù)N 分別為分別為 0vanatarO9220011505050221250ttrad轉(zhuǎn)62521250

7、2N （2 2）t=25=25s 時(shí)飛輪的角速度為時(shí)飛輪的角速度為sradsradsradt/5 .78/25/25500從開始制動(dòng)到靜止，飛輪的角位移從開始制動(dòng)到靜止，飛輪的角位移 及轉(zhuǎn)數(shù)及轉(zhuǎn)數(shù)N 分別為分別為 的方向與的方向與 0 0相同相同 10（3 3）t t=25=25s 時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)P 的速度。的速度。rv78.5/vvrms 的方向垂直于的方向垂直于 和和 構(gòu)成的平面，如構(gòu)成的平面，如圖所示相應(yīng)的切向加速度和法向加速度分別為圖所示相應(yīng)的切向加速度和法向加速度分別為vr23.14/arms 由由 0vanatarO11232/1016.6smran邊緣上該點(diǎn)的加

8、速度邊緣上該點(diǎn)的加速度 其中其中 的方向與的方向與 的方向相反，的方向相反， 的方的方向指向軸心向指向軸心. . 的大小的大小為為naaaavnaa22322232(6.1610 )3.14/6.1610/naaam sm s 的方向幾乎和的方向幾乎和 相同。相同。ana 0vanatarO12質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理，對(duì)于某個(gè)參考點(diǎn)對(duì)于某個(gè)參考點(diǎn)O，質(zhì)點(diǎn)系所受合，質(zhì)點(diǎn)系所受合外力矩等于該質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，外力矩等于該質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，即 dtLdM外如果z軸通過O點(diǎn)，則上式z軸方向的分量式為 dtdLMzz4-2-1力矩力矩 略去下標(biāo)z dtdLM 質(zhì)點(diǎn)系所受合外力矩在質(zhì)點(diǎn)系

9、所受合外力矩在z軸的分量（投影）等于該質(zhì)點(diǎn)軸的分量（投影）等于該質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量在系的角動(dòng)量在z軸的分量（投影）對(duì)時(shí)間的變化率。軸的分量（投影）對(duì)時(shí)間的變化率。 13一、剛體在轉(zhuǎn)軸方向受力矩1.FF外力 在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)。對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩 sin= (sin:sinzMrFrFFdFFdr大?。毫Φ那邢蚍至浚┓Q為力臂)(沿轉(zhuǎn)軸方向向上方向：右手螺旋，圖中:rO轉(zhuǎn)動(dòng)平面與轉(zhuǎn)軸交點(diǎn) 指向力的作用點(diǎn)的矢量。 力矩力矩 FrMZ轉(zhuǎn)動(dòng)平面rAFZMO14 力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，將力分解為平行于轉(zhuǎn)軸的力力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，將力分解為平行于轉(zhuǎn)軸的力F1和在轉(zhuǎn)動(dòng)平面的力和在轉(zhuǎn)動(dòng)平面的力F2，則，則FrM 垂直于轉(zhuǎn)軸，垂直于轉(zhuǎn)軸

10、，在轉(zhuǎn)軸方向投影為零，在轉(zhuǎn)軸方向投影為零，只能引起軸的變形只能引起軸的變形, , 對(duì)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無貢獻(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)無貢獻(xiàn)。1Fr轉(zhuǎn)動(dòng)平面1FF2F)(21FFr21FrFrr15.; 是轉(zhuǎn)軸到力作是轉(zhuǎn)軸到力作用線的距離，稱為力臂用線的距離，稱為力臂。sindr22sinZMrFF d（2 2） （3 3）在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對(duì)在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用+ +、- -號(hào)表示。號(hào)表示。轉(zhuǎn)動(dòng)平面1FF2Fr 注注 （1 1）在定軸動(dòng)問題中，如不加說在定軸動(dòng)問題中，如不加說明，所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的明，所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。分力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。16.;

11、，總力矩為剛體同時(shí)受幾個(gè)力矩時(shí) . 3nMMMM.21由于各力矩也只有兩個(gè)方向（沿轉(zhuǎn)軸z或逆轉(zhuǎn)軸），因而將每個(gè)力矩在z軸方向進(jìn)行投影，求代數(shù)和：11221 122.ziziiiiiMMrFF rF rFFF略去下標(biāo)Z，11221 122.iiiiiiMMrFF rF rFFF17vmrLL動(dòng)量一、質(zhì)點(diǎn)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角2 LrmvmrJ大小 (LJmv因而角動(dòng)量）類似 （動(dòng)量）rFrmv由于稱為力矩，所以又稱為動(dòng)量矩，即角動(dòng)量又稱為動(dòng)量矩。vormoJ=mr2稱為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4-2-2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量，轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量，轉(zhuǎn)動(dòng)定律 18二剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量2: iii imL

12、m r 總角動(dòng)量2zii iLLmrJzLJ或ooirivim定義：剛體對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為：2i iiJmr4-2-2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量，轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量，轉(zhuǎn)動(dòng)定律 dtdLMzz略去下標(biāo)z，有 JdtdJdtdLM 上式稱剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律。它表明，剛體繞某一剛體繞某一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，它受的合外力矩等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，它受的合外力矩等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積角加速度的乘積。194-2-3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性分立質(zhì)點(diǎn). 12i iJm r1m2moo1r2rimir連續(xù)分布. 22 dmdJr dm小質(zhì)元2 Jr dm則取決于三個(gè)因素：轉(zhuǎn)軸位置

13、的分布；的大??；. 3 . 2 . 1mmoodmrdm質(zhì)元的質(zhì)量質(zhì)元的質(zhì)量r質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離20例題例題4-3 4-3 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為 l 的均勻細(xì)棒對(duì)下面的均勻細(xì)棒對(duì)下面 三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： （1 1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直；）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直； （2 2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直； （3 3）轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h h的一點(diǎn)的一點(diǎn) 并和棒垂直。并和棒垂直。l/2l/2OxdxlOxdxAlxdxAABhO21l/2l/2OxdxlOxdxAlxdxAABh解解 如圖所

14、示，在棒上離軸如圖所示，在棒上離軸x 處，取一長(zhǎng)度元處，取一長(zhǎng)度元d dx，如，如棒的質(zhì)量線密度為棒的質(zhì)量線密度為 ，這長(zhǎng)度元的質(zhì)量為，這長(zhǎng)度元的質(zhì)量為d dm= = d dx。 （1 1）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過中心并和棒垂直時(shí)，我們有）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過中心并和棒垂直時(shí)，我們有3/ 22220/ 2dd1212lllmJxmxxlO質(zhì)量密度(單位長(zhǎng)度的質(zhì)量）：/ml2220121mlJ 因因 l= =m，代入得，代入得（2 2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端A A并和棒垂直時(shí)，我們有并和棒垂直時(shí)，我們有332302mlldxxJlAlxdxAO23（3 3）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為

15、h h的的B B點(diǎn)并和棒垂點(diǎn)并和棒垂 直時(shí)，我們有直時(shí)，我們有222/2/212mhmldxxJhlhlB 這個(gè)例題表明，同一剛體對(duì)不同位置的轉(zhuǎn)這個(gè)例題表明，同一剛體對(duì)不同位置的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并不相同。軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并不相同。lOxdxABh24例題例題4-4 4-4 求圓盤對(duì)于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的求圓盤對(duì)于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓盤的半徑為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，密度均勻。，密度均勻。rRdr解解 設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為 ，在圓盤上取一半徑為，在圓盤上取一半徑為r r、 寬度為寬度為drdr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為的圓環(huán)（如

16、圖），環(huán)的面積為2 rdr，環(huán)的，環(huán)的 質(zhì)量質(zhì)量dm= 2 rdr ?？傻?。可得240322122mRRdrrdmrJRo25 JJJ總桿子彈解：Mma例：桿繞端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，子彈 從 處打入，求系統(tǒng)的J。2231maMl mMla轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。質(zhì)量是平動(dòng)中慣性大小的量度。質(zhì)量是平動(dòng)中慣性大小的量度。對(duì)比對(duì)比：線動(dòng)量線動(dòng)量mv角動(dòng)量角動(dòng)量J26 aR5關(guān)聯(lián)方程質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)；如果研究剛體 3,質(zhì)點(diǎn)作受力分析 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向要協(xié)調(diào)。（即剛體轉(zhuǎn)軸正向與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)正向自洽）；列方程；程，對(duì)剛體用轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)質(zhì)點(diǎn)用牛頓定律列方44-2-4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定

17、律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用1分析問題，視解題方便選定轉(zhuǎn)軸正向。2根據(jù)右手螺旋法則，如果某力對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩方向與轉(zhuǎn)軸正向一致為正，否則為負(fù)。合外力矩應(yīng)為各力矩的代數(shù)和。 2721J,2mrmr例：已知定滑輪質(zhì)量 ，半徑 ，用，點(diǎn)各繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，兩質(zhì)mm 2。輕繩連接，由靜止釋放.T求：兩滑輪之間張力輪僅為一連接件，說明：中學(xué)內(nèi)容中定滑現(xiàn)在滑輪轉(zhuǎn)繩中張力處處相同，但力不同！動(dòng)不可忽略，繩各處張2m解：設(shè)整體順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，即兩滑輪轉(zhuǎn)軸正向向內(nèi)。右質(zhì)點(diǎn)正向向下，aTT1T1Tmm2mg2mg2T2T圖。正向向上，受力分析如左質(zhì)點(diǎn)m對(duì)滑輪來講，還受重力和軸的支撐力，但對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)沒有影響28 ar關(guān)聯(lián)方程mam

18、gT1 左質(zhì)點(diǎn)maTmg22 2右質(zhì)點(diǎn)22 2mT rTrr右滑輪21 2mTrTrr左滑輪mgT811 解出aTT1T1Tmm2mg2mg2T2T29解：3220.1m1 10 kg m0.5 ()(1RFt SIt 例 ：已知滑輪，J，繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。方向如圖），初始靜止。求秒時(shí)？oFRtFRM5 . 0dMJJdt000ttMdtdtdJ得rad/s255010dtt304-3 4-3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能 1.1.力矩的功力矩的功 力矩的功：當(dāng)剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)力矩的功：當(dāng)剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生角位移時(shí)，就稱力矩對(duì)剛體做功。動(dòng)而發(fā)生角位移時(shí)，就

19、稱力矩對(duì)剛體做功。rFddAsindsF2cosdsFddrs 00 drFrdPsindAFrd 力力 對(duì)對(duì)P 點(diǎn)的質(zhì)元點(diǎn)的質(zhì)元 作功：作功：Fimim31因因MFrsinddMA 0ddMMA力矩作功：力矩作功： 對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形，對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形，因質(zhì)點(diǎn)間無相對(duì)位移，任何因質(zhì)點(diǎn)間無相對(duì)位移，任何一對(duì)內(nèi)力作功為零。一對(duì)內(nèi)力作功為零。00 drFrdP積累）效應(yīng)。力矩的角積累（空間功為正；否則為負(fù)。同向，與dAdMsindAFrd 32相當(dāng)于慣性質(zhì)量 ，角速度 相當(dāng)于線速度2222121 iiiikiirmvmEm：222 1122kkii iEEm rJ剛體的總轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：4-3-2

20、4-3-2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能212kEmvJv與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能公式對(duì)比，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ooirivimm334-3-3.4-3-3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理JdtdM 外力矩所做元功為：外力矩所做元功為：dJdtdJddJdtdMddA總外力矩對(duì)剛體所作的功為：總外力矩對(duì)剛體所作的功為： 212221212121JJdJMdA則物體在則物體在 時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過角位移時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過角位移 時(shí)時(shí)tdtdd34剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：合外力矩合外力矩對(duì)剛對(duì)剛體所做的體所做的功功等于剛體等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。2122

21、212121JJMdA222 1122kkii iEEm rJ剛體的總轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：111222tt這里， 時(shí)刻的角位置為 ，角速度為，時(shí)刻的角位置為 ，角速度為35cpmghE 表明：一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能與它的質(zhì)量集表明：一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能與它的質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能一樣。中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能一樣。3.3.剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能即：即：iiiiphmgghmE質(zhì)心高度為：質(zhì)心高度為：mhmhiic 對(duì)于一個(gè)不太大的質(zhì)量為對(duì)于一個(gè)不太大的質(zhì)量為 的物體，它的重力的物體，它的重力勢(shì)能應(yīng)是組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能之和。勢(shì)能應(yīng)是組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能之和。m362r

22、12r2d例題例題4-7如圖，沖床上配置一質(zhì)量為如圖，沖床上配置一質(zhì)量為5000kg的飛輪，的飛輪， r1=0.3m, r2=0.2m.今用轉(zhuǎn)速為今用轉(zhuǎn)速為900r/min的電動(dòng)機(jī)借皮帶的電動(dòng)機(jī)借皮帶傳動(dòng)來驅(qū)動(dòng)飛輪，已知電動(dòng)機(jī)的傳動(dòng)軸直徑為傳動(dòng)來驅(qū)動(dòng)飛輪，已知電動(dòng)機(jī)的傳動(dòng)軸直徑為d=10cm。（1）求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。）求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。（2）若沖床沖斷）若沖床沖斷0.5mm厚厚的薄鋼片需用沖力的薄鋼片需用沖力9.80 104N，所消耗的能量全部由飛，所消耗的能量全部由飛輪提供，問沖斷鋼片后飛輪輪提供，問沖斷鋼片后飛輪的轉(zhuǎn)速變?yōu)槎啻?？的轉(zhuǎn)速變?yōu)槎啻螅?7解解 （1 1）為了求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，需先

23、求出它的轉(zhuǎn)）為了求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，需先求出它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)速。因飛輪質(zhì)量大部分分別布在輪緣上，動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)速。因飛輪質(zhì)量大部分分別布在輪緣上，由圖示尺寸并近似用圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式，得由圖示尺寸并近似用圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式，得222222213252 . 03 . 05000212mkgmkgrrmJ 皮帶傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，電動(dòng)機(jī)的傳動(dòng)軸是主動(dòng)輪，皮帶傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，電動(dòng)機(jī)的傳動(dòng)軸是主動(dòng)輪，飛輪是從動(dòng)輪。兩輪的轉(zhuǎn)速與輪的直徑成反比，即飛輪是從動(dòng)輪。兩輪的轉(zhuǎn)速與輪的直徑成反比，即飛輪的轉(zhuǎn)速為飛輪的轉(zhuǎn)速為飛電電飛ddnn38由此得飛輪的角速度由此得飛輪的角速度飛電電飛ddnn602602這樣飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是這樣飛

24、輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是2212123.149000.13252600.640055kEJJ（2 2）在沖斷鋼片過程中，沖力）在沖斷鋼片過程中，沖力F F所作的功為所作的功為JJFdA49105.01080.93439這就是飛輪消耗的能量，此后飛輪的能量變?yōu)檫@就是飛輪消耗的能量，此后飛輪的能量變?yōu)镴JEk400064940055JEk2由由求得此時(shí)間的角速度求得此時(shí)間的角速度 為為221 JEk而飛輪的轉(zhuǎn)速變?yōu)槎w輪的轉(zhuǎn)速變?yōu)閙in/8.149min/325240006260260rrn飛402lr N)nmgt，繞一端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)例：已知桿質(zhì)量lm213Jml，初水平靜止，求位于任意角 時(shí)， 、 為多少

25、？gmN、重力受力：軸支持力：用轉(zhuǎn)動(dòng)定理求解法1重力矩2cos32cos (123mglMgJlml與 有關(guān)）cosFmg向內(nèi)）( cos2mglM 軸力矩0M41N)nmgt2cos32cos (123mglMgJlml與 有關(guān)）sin3lg而dddddtddtd 即dd 積分得0003cos2gdddl 得42)(dtd能定理：用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)解法2sin2cos200mgldmglMdA21 02J剛體的動(dòng)能增量為：得sin32lgsin3lg上式對(duì)t求導(dǎo)數(shù)3cos2dgdtldtdlgdtdcos32得22211 1sin()222 3mglJmlN)nmgt力矩作功：43求導(dǎo)可得：

26、用機(jī)械能守恒求解解法3研究對(duì)象：棒和地球組成的系統(tǒng)。在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，只有保守內(nèi)力（重力）作功。0 E水平狀態(tài)機(jī)械能2 sin22JlEmg角時(shí)機(jī)械能由機(jī)械能守恒可求得sin3lgN)nmgt3cos2dgdtl44【例例4-64-6】如圖4-13，繞在定滑輪上輕繩的一端固定于定滑輪邊上，另一端與一質(zhì)量為m=2.00 kg的物體相連，已知定滑輪質(zhì)量M=1.00 kg，半徑R=0.100m，且軸承光滑，定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量方向垂直于紙面向內(nèi)，求(1)定滑輪的角加速度221MRJ 00，其初角速度 =5.00rads，(2)定滑輪角速度變化到時(shí)，物體上升的高度。mgmMTT0 xRO圖4-13 例4-6用圖

27、解解 (1)研究定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，選向內(nèi)作為轉(zhuǎn)軸正向，重力、軸支撐力對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩為零，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)沒有影響 45選x軸向上，根據(jù)牛頓定律，有 T-mg=ma 關(guān)聯(lián)方程 mgmMTT0 xRO圖4-13 例4-6用圖TR22RMJTRRa 2222 9.8 0.11(0.1)2(0.1)278.4(rad/s)mgRJmR 繩張力對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩為，則根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有 聯(lián)立以上三式解得 46mghJmv2020212100Rv (2)研究物體m、定滑輪M及地球組成的系統(tǒng)，在物體m上升、定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，機(jī)械能守恒，選開始m所在處為重力勢(shì)能零點(diǎn)，有式中，代人數(shù)據(jù)，解得 h=0.0159 mmgmMTT0 xRO圖4

28、-13 例4-6用圖當(dāng)然，我們也可以求出定滑輪角速度為零的時(shí)刻，再由物體的初速度和加速度求出物體上升的高度。471. 1. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理：4-6 剛體角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律剛體角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律dtdJdtdLMJddLMdt我們用沖量矩沖量矩表示力矩對(duì)時(shí)間的積累效果，Mdt為沖量矩。 12122121JJJdMdttt設(shè)剛體tl時(shí)刻角速度為，t2時(shí)刻角速度為則對(duì)上式兩邊積分，有 上式稱剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理稱剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理，它表明：剛體在剛體在一段時(shí)間內(nèi)所受的沖量矩，等于剛體在這段時(shí)間內(nèi)角一段時(shí)間內(nèi)所受的沖

29、量矩，等于剛體在這段時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量動(dòng)量的增量。(4-23)式是角動(dòng)量定理的微分形式。(4-23) 482. 2. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律JL恒量恒量時(shí)，當(dāng)0MdtdJdtdLM這就是說：剛體剛體(或質(zhì)點(diǎn)系或質(zhì)點(diǎn)系)對(duì)某一定軸所受合外力矩對(duì)某一定軸所受合外力矩為零，則它對(duì)這一固定軸的角動(dòng)量保持不變?yōu)榱?，則它對(duì)這一固定軸的角動(dòng)量保持不變，這稱為剛體剛體(或質(zhì)點(diǎn)系或質(zhì)點(diǎn)系)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律。 122121JJJdMdttt49四、角動(dòng)量守恒定理四、角動(dòng)量守恒定理FF1122 JJ推廣到非剛體，則有J，或者，但J1.0M單個(gè)剛體

30、，當(dāng)時(shí)，J恒量50實(shí)際生活中的一些現(xiàn)象實(shí)際生活中的一些現(xiàn)象藝術(shù)美、人體美、物理美相互結(jié)合藝術(shù)美、人體美、物理美相互結(jié)合高！高！高！高！、芭蕾舞演員的高難動(dòng)作芭蕾舞演員的高難動(dòng)作51當(dāng)滑冰、跳水、體操運(yùn)動(dòng)當(dāng)滑冰、跳水、體操運(yùn)動(dòng)員在空中為了迅速翻轉(zhuǎn)也總員在空中為了迅速翻轉(zhuǎn)也總是曲體、減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、增是曲體、減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、增加角速度。當(dāng)落地時(shí)則總是加角速度。當(dāng)落地時(shí)則總是伸直身體、增大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、伸直身體、增大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、使身體平穩(wěn)落地。使身體平穩(wěn)落地。52因此，開始不旋轉(zhuǎn)的物體，當(dāng)因此，開始不旋轉(zhuǎn)的物體，當(dāng)其一部分旋轉(zhuǎn)時(shí)，必引起另一其一部分旋轉(zhuǎn)時(shí)，必引起另一部分朝另一反方向旋轉(zhuǎn)。部分朝另一反方向旋轉(zhuǎn)。

31、剛體系統(tǒng)）系統(tǒng)（一般是質(zhì)點(diǎn). 2恒量則如果外iiLM , 01102201122 JJJJ兩剛體t注意：對(duì)于質(zhì)點(diǎn)，剛體系統(tǒng)的碰撞，短，內(nèi)力矩大，不能滿足動(dòng)量守恒，機(jī)械能不一定守恒。外力矩忽略不計(jì)，因而角動(dòng)量守恒。在此情況下，一般53解：碰撞前角動(dòng)量212MMMlJlmv例：桿質(zhì)量，長(zhǎng) ，繞中點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始豎直靜止。子彈 ，初速水平 ，射入下端，問？MmvlMmmv)3(6) 1 ( 21lmvL 碰撞后角動(dòng)量2 (2)LJ且22( ) (3)212mMlMJJJmlMm碰撞過程中，的重力矩為零， 的重力矩忽略不計(jì)。軸對(duì)桿的作用力的力矩為零，由角動(dòng)量守恒，得54久形變。全非彈性碰撞，產(chǎn)生永答：不守

32、恒！因?yàn)槭峭炅渴欠袷睾?？為什么？）碰撞過程中，水平動(dòng)問：i碰撞前水平動(dòng)量碰撞后水平動(dòng)量0 11MmPmvPMmvmlmPm33)2(2202MP動(dòng)量減少）( 12mmPP被動(dòng)約束力）。用力！（也是一沖力，這是因?yàn)檩S對(duì)桿有一作是否守恒？）碰撞過程中，機(jī)械能iiMmv為什么水平動(dòng)量不守恒？根據(jù)對(duì)稱性。碰撞后桿的動(dòng)量55例題例題4-11 4-11 一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，可繞通過其，可繞通過其端點(diǎn)端點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)棒從水平位置自的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞

33、。該物體的質(zhì)量也為。該物體的質(zhì)量也為m ，它與地面的摩擦系數(shù)為，它與地面的摩擦系數(shù)為 。相撞后物體沿地面滑行一距離相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求相撞后棒的而停止。求相撞后棒的質(zhì)心質(zhì)心C 離地面的最大高度離地面的最大高度h，并說明棒在碰撞后將向，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。左擺或向右擺的條件。解：解： 這個(gè)問題可分為三個(gè)階段這個(gè)問題可分為三個(gè)階段進(jìn)行分析。第一階段是棒自由進(jìn)行分析。第一階段是棒自由擺落的過程。研究棒與地球組擺落的過程。研究棒與地球組成的系統(tǒng)，成的系統(tǒng)，機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒。CO定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律56解：解： 這個(gè)問題可分為

34、三個(gè)階段這個(gè)問題可分為三個(gè)階段進(jìn)行分析。第一階段是棒自由進(jìn)行分析。第一階段是棒自由擺落的過程。研究棒與地球組擺落的過程。研究棒與地球組成的系統(tǒng)這時(shí)除重力外，其余成的系統(tǒng)這時(shí)除重力外，其余內(nèi)力與外力都不作功，所以內(nèi)力與外力都不作功，所以機(jī)機(jī)械能守恒械能守恒。我們把棒在豎直位。我們把棒在豎直位置時(shí)質(zhì)心所在處取為勢(shì)能置時(shí)質(zhì)心所在處取為勢(shì)能CO零點(diǎn)，用零點(diǎn)，用 表示棒這時(shí)的角速度表示棒這時(shí)的角速度, ,則則機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒2223121212mlJlmg（1 1）572223121212mlJlmg（1 1）第二階段是第二階段是碰撞過程碰撞過程。因碰撞時(shí)間極短，沖力極大，物體。因碰撞時(shí)間極短，沖力

35、極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略。這樣，棒與物體相雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略。這樣，棒與物體相撞時(shí)，它們組成的系統(tǒng)所受的對(duì)轉(zhuǎn)軸撞時(shí)，它們組成的系統(tǒng)所受的對(duì)轉(zhuǎn)軸O的外摩擦力矩可以的外摩擦力矩可以忽略，所以，這個(gè)系統(tǒng)的對(duì)忽略，所以，這個(gè)系統(tǒng)的對(duì)O軸的軸的角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒。我們用。我們用v表示物體碰撞后的速度，表示物體碰撞后的速度， 表示表示棒在碰撞后的角速度棒在碰撞后的角速度（2 2） 223131mlmvlml式中式中 可正可負(fù)?？烧韶?fù)。 取正值，表取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。右擺。COv58第三階段第三階段對(duì)對(duì)物體物體是碰撞后的

36、是碰撞后的滑行過程滑行過程。物體作勻減。物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度由牛頓第二定律求得為速直線運(yùn)動(dòng)，加速度由牛頓第二定律求得為mamg （3 3）由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式得由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式得asv202gsv 22 （4）亦即亦即由式（由式（1 1）、（）、（2 2）與（）與（4 4）聯(lián)合求解，即得）聯(lián)合求解，即得lgsgl233（5）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律COv2223121212mlJlmg（1 1）（2 2） 223131mlmvlml59棒向左擺的條件為：棒向左擺的條件為：l66 s s；0233 gsgl 棒向右擺的條件為：棒向右擺的條件為：l

37、66 s s當(dāng)當(dāng) 取正值，則棒向左擺，其條件為取正值，則棒向左擺，其條件為0233 gsgl 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律lgsgl233（5）COv當(dāng)當(dāng) 取負(fù)值，則棒向右擺，其取負(fù)值，則棒向右擺，其條件為條件為棒停止擺動(dòng)的條件為：棒停止擺動(dòng)的條件為：l =6 6 s s，此時(shí)，此時(shí)=0。60求棒的質(zhì)心求棒的質(zhì)心C C上升的最大高度上升的最大高度，第三階段第三階段對(duì)對(duì)棒棒的偏轉(zhuǎn)來說，的偏轉(zhuǎn)來說，研究棒與地球組成的系統(tǒng)，可研究棒與地球組成的系統(tǒng)，可由機(jī)械能守恒定律求得：由機(jī)械能守恒定律求得：223121 mlmgh把式（把式（5 5）代入上式，所求結(jié)果為）代入上式，所

38、求結(jié)果為slslh632(6)(6)lgsgl233（5）COv61例題例題4-12 4-12 工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示，們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示，A和和B兩飛輪兩飛輪的 軸 桿 在 同 一 中 心 線 上 ，的 軸 桿 在 同 一 中 心 線 上 ， A 輪 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 為輪 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 為JA=10kg m2，B B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JB=20kg m2 。開始時(shí)。開始時(shí)A A輪的轉(zhuǎn)速為輪的轉(zhuǎn)速為600r/min，B輪靜止。輪靜止。C為摩擦嚙合器。為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過

39、程中，兩輪的機(jī)械求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？能有何變化？ A ACBACB定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律62解解 以飛輪以飛輪A A、B B和嚙合器和嚙合器C C作為一系統(tǒng)來考慮，在作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的嚙合過程中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力，前者對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，后者對(duì)轉(zhuǎn)軸切向摩擦力，前者對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，后者對(duì)轉(zhuǎn)軸有力矩，但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩。系統(tǒng)沒有受到其他外有力矩，但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩。系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。按角動(dòng)量守恒定律力矩，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。按角動(dòng)量

40、守恒定律可得可得BABBAAJJJJ 為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，于是為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，于是BABBAAJJJJ以各量的數(shù)值代入得以各量的數(shù)值代入得srad /9.20 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律63或共同轉(zhuǎn)速為或共同轉(zhuǎn)速為min/200 rn 在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)械能不守恒，部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱量，損械能不守恒，部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱量，損失的機(jī)械能為失的機(jī)械能為JJJJJEBABABA42221032.1212121定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律以各量的數(shù)值代入得以各量的數(shù)值

41、代入得srad /9.20 64 例題例題4-13 4-13 恒星晚期在一定條件下，會(huì)發(fā)生超新星恒星晚期在一定條件下，會(huì)發(fā)生超新星爆發(fā)，這時(shí)星體中有大量物質(zhì)噴入星際空間，同時(shí)爆發(fā)，這時(shí)星體中有大量物質(zhì)噴入星際空間，同時(shí)星的內(nèi)核卻向內(nèi)坍縮，成為體積很小的中子星。中星的內(nèi)核卻向內(nèi)坍縮，成為體積很小的中子星。中子星是一種異常致密的星體，一湯匙中子星物體就子星是一種異常致密的星體，一湯匙中子星物體就有幾億噸質(zhì)量！設(shè)某恒星繞自轉(zhuǎn)軸每有幾億噸質(zhì)量！設(shè)某恒星繞自轉(zhuǎn)軸每4545天轉(zhuǎn)一周，天轉(zhuǎn)一周，它的內(nèi)核半徑它的內(nèi)核半徑R0約為約為2 2 10107 7m，坍縮成半徑，坍縮成半徑R僅為僅為6 6 10103

42、3m的中子星。試求中子星的角速度。坍縮前后的中子星。試求中子星的角速度。坍縮前后的星體內(nèi)核均看作是勻質(zhì)圓球。的星體內(nèi)核均看作是勻質(zhì)圓球。解解 在星際空間中，恒星不會(huì)受到顯著的外力矩，因在星際空間中，恒星不會(huì)受到顯著的外力矩，因此恒星的角動(dòng)量應(yīng)該守恒，則它的內(nèi)核在坍縮前后的此恒星的角動(dòng)量應(yīng)該守恒，則它的內(nèi)核在坍縮前后的角動(dòng)量角動(dòng)量J J0 0 0 0和和J J 應(yīng)相等。因應(yīng)相等。因22052520mRJmRJ，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律65代入代入J0 0=J 中，整理后得中，整理后得srsrRR/3/6060241106102451237200 由于中子星的致密性

43、和極快的自轉(zhuǎn)角速度，在由于中子星的致密性和極快的自轉(zhuǎn)角速度，在星體周圍形成極強(qiáng)的磁場(chǎng)，并沿著磁軸的方向發(fā)出星體周圍形成極強(qiáng)的磁場(chǎng)，并沿著磁軸的方向發(fā)出很強(qiáng)的無線電波、光或很強(qiáng)的無線電波、光或X X射線。當(dāng)這個(gè)輻射束掃過地射線。當(dāng)這個(gè)輻射束掃過地球時(shí)，就能檢測(cè)到脈沖信號(hào)，由此，中子星又叫脈球時(shí)，就能檢測(cè)到脈沖信號(hào)，由此，中子星又叫脈沖星。目前已探測(cè)到的脈沖星超過沖星。目前已探測(cè)到的脈沖星超過300300個(gè)。個(gè)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律66例題例題4-14 4-14 圖中的宇宙飛船對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為圖中的宇宙飛船對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J= 2 103kg m2

44、，它以，它以 =0.2rad/s的角速度繞中心軸旋的角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。宇航員用兩個(gè)切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。轉(zhuǎn)。宇航員用兩個(gè)切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。每個(gè)噴管的位置與軸線距離都是每個(gè)噴管的位置與軸線距離都是r=1.5m。兩噴管的噴。兩噴管的噴氣流量恒定，共是氣流量恒定，共是 =2kg/s 。廢氣的噴射速率（相對(duì)。廢氣的噴射速率（相對(duì)于飛船周邊）于飛船周邊）u=50m/s，并且恒定。問噴管應(yīng)噴射多，并且恒定。問噴管應(yīng)噴射多長(zhǎng)時(shí)間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。長(zhǎng)時(shí)間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。rdm/2dm/2u u L0Lg解解 把飛船和排出的把飛船和排出的廢氣看作一個(gè)系統(tǒng)，廢氣看作一個(gè)系統(tǒng)，廢氣質(zhì)量為

45、廢氣質(zhì)量為m m?？梢??？梢哉J(rèn)為廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于認(rèn)為廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船的質(zhì)量，飛船的質(zhì)量，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律67所以原來系統(tǒng)對(duì)于飛船中心軸的角動(dòng)量近似地等所以原來系統(tǒng)對(duì)于飛船中心軸的角動(dòng)量近似地等于飛船自身的角動(dòng)量，即于飛船自身的角動(dòng)量，即 在噴氣過程中，以在噴氣過程中，以dm表示表示dt時(shí)間內(nèi)噴出的氣體，時(shí)間內(nèi)噴出的氣體，這些氣體對(duì)中心軸的角動(dòng)量為這些氣體對(duì)中心軸的角動(dòng)量為dm r(u+v)，方向與飛，方向與飛船的角動(dòng)量相同。因船的角動(dòng)量相同。因u=50m/s遠(yuǎn)大于飛船的速率遠(yuǎn)大于飛船的速率v(= r=0.3m/s) ，所以此角動(dòng)量近似地等于，所以此角動(dòng)量

46、近似地等于dm ru。在整。在整個(gè)噴氣過程中噴出廢氣的總的角動(dòng)量個(gè)噴氣過程中噴出廢氣的總的角動(dòng)量Lg應(yīng)為應(yīng)為mrurudmLmg0JL 0定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律68當(dāng)宇宙飛船停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，其角動(dòng)量為零。系統(tǒng)這時(shí)當(dāng)宇宙飛船停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，其角動(dòng)量為零。系統(tǒng)這時(shí)的總角動(dòng)量的總角動(dòng)量L L1 1就是全部排出的廢氣的總角動(dòng)量，即就是全部排出的廢氣的總角動(dòng)量，即為為mruLLg1在整個(gè)噴射過程中，系統(tǒng)所受的對(duì)于飛船中心軸的在整個(gè)噴射過程中，系統(tǒng)所受的對(duì)于飛船中心軸的外力矩為零，所以系統(tǒng)對(duì)于此軸的角動(dòng)量守恒，即外力矩為零，所以系統(tǒng)對(duì)于此軸的角動(dòng)量守恒，即L0=L1 ，由此得，由

47、此得mruJ即即ruJm定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律69于是所需的時(shí)間于是所需的時(shí)間ssruJmt67.2505 .122 .01023等于需要噴出氣體總的質(zhì)量除以噴氣流量等于需要噴出氣體總的質(zhì)量除以噴氣流量ruJm噴出氣體總的質(zhì)量噴出氣體總的質(zhì)量70例例1 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為l 、質(zhì)量為、質(zhì)量為m 的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸O 在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。當(dāng)桿靜止時(shí)，一顆質(zhì)量為在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。當(dāng)桿靜止時(shí)，一顆質(zhì)量為m0 的子的子彈水平射入與軸相距為彈水平射入與軸相距為a 處的桿內(nèi)，并留在桿中，處的桿內(nèi)，并留在桿中，使桿能偏轉(zhuǎn)到使桿能偏轉(zhuǎn)到 =300，求子彈的初速，

48、求子彈的初速v0。解：分兩個(gè)階段進(jìn)行考慮解：分兩個(gè)階段進(jìn)行考慮avmL000JL 22031mlamJ其中其中a0m(1)子彈射入細(xì)桿子彈射入細(xì)桿,使細(xì)桿獲得初使細(xì)桿獲得初速度。研究子彈和細(xì)桿組成的系速度。研究子彈和細(xì)桿組成的系統(tǒng)統(tǒng),無外力矩?zé)o外力矩,滿足角動(dòng)量守恒條滿足角動(dòng)量守恒條件。子彈射入細(xì)桿前、后的一瞬件。子彈射入細(xì)桿前、后的一瞬間間,系統(tǒng)角動(dòng)量分別為系統(tǒng)角動(dòng)量分別為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律71(2)(2)以子彈、細(xì)桿及地球構(gòu)成一系以子彈、細(xì)桿及地球構(gòu)成一系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力作功，機(jī)械能統(tǒng)，只有保守內(nèi)力作功，機(jī)械能守恒。選取細(xì)桿處于豎直位置時(shí)守恒。選取細(xì)桿

49、處于豎直位置時(shí)子彈的位置為子彈的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)重力勢(shì)能零點(diǎn)，系，系統(tǒng)在始末狀態(tài)的機(jī)械能為：統(tǒng)在始末狀態(tài)的機(jī)械能為：由角動(dòng)量守恒，得：由角動(dòng)量守恒，得： avmJ00(1)2(2120lamgJE勢(shì)能零點(diǎn)勢(shì)能零點(diǎn))cos2()cos1 (0lamggamEa0m定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律2012EJ0(1 cos )(1 cos )2lEm gamg也可以將子彈與桿的重力勢(shì)能取不同點(diǎn)72由機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒，E=E0, 代入代入 =300，得：得：20111(1)(1)2222lJm gamggammlammlamv)3)(2(6321202000將上式與

50、將上式與 聯(lián)立，并代入聯(lián)立，并代入J 值，得值，得avmJ00定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律73例例2 2 A、B兩圓盤繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度分別兩圓盤繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度分別為：為： A=50=50rad. .s-1-1, , B=200=200rad. .s-1-1。已知。已知A A 圓盤半徑圓盤半徑R RA A=0.2m, =0.2m, 質(zhì)量質(zhì)量m mA A=2kg, =2kg, B B 圓盤的半徑圓盤的半徑R RB B=0.1m, =0.1m, 質(zhì)量質(zhì)量m mB B=4kg. =4kg. 試求兩圓盤對(duì)心銜接后的角速度試求兩圓盤對(duì)心銜接后的角速度 .

51、. ABAB解：以兩圓盤為系統(tǒng)，盡管在銜接解：以兩圓盤為系統(tǒng)，盡管在銜接過程中有重力、軸對(duì)圓盤支持力及過程中有重力、軸對(duì)圓盤支持力及軸向正壓力，但他們均不產(chǎn)生力矩軸向正壓力，但他們均不產(chǎn)生力矩；圓盤間切向摩擦力屬于內(nèi)力。因；圓盤間切向摩擦力屬于內(nèi)力。因此系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，得到此系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，得到2,2)(22BBBAAABABBAARmJRmJJJJJ2222BBAABBBAAARmRmRmRm1srad100定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律74。初桿靜止，將球拉開連接小球；輕繩長(zhǎng)，例：已知?jiǎng)蛸|(zhì)桿12mlLm。長(zhǎng)，使碰后球剛好停住問：試設(shè)計(jì)l完全彈性碰撞。一定角度，使球

52、、桿做有)2() 1 (21m2mLl，碰撞后桿角速度為解：設(shè)碰撞前球速0v角動(dòng)量守恒1 0 1m v lJ棒（）機(jī)械能守恒221 (3Jm L棒已知）221 011 (2)22mvJ棒221213mlJm L棒2222 210221 0Jm v lmvJ棒棒Lmml12375）無關(guān)？落高度（即思考：為什么與小球下0v321Llmm時(shí)，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)彈性碰撞1mv2m靜止停）碰撞后交換動(dòng)量?。〞r(shí)，當(dāng)121mmm 遷移1m2mLl靜止剛體彈性碰撞121mmJm當(dāng)J時(shí)，碰撞后交換角動(dòng)量?。ㄍ＃?6轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J質(zhì)點(diǎn)一維運(yùn)動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)類比記憶m質(zhì)量x位置v速度a加速度角位置角速度角加速度F質(zhì)點(diǎn)受力rFM 受

53、力矩maF 牛頓定律MJ轉(zhuǎn)動(dòng)定律77質(zhì)點(diǎn)一維運(yùn)動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)類比記憶221mv平動(dòng)能212J轉(zhuǎn)動(dòng)能mvP 動(dòng)量LJ角動(dòng)量21ttFdtI沖量21ttMdt沖量矩動(dòng)能定理kakbabEEA轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理22211122AMdJJ動(dòng)量定理1221mvmvFdttt角動(dòng)量定理2121ttMdtJJAFdx力作功21MdA力矩作功78)2(rM設(shè)摩擦力矩對(duì)棒，用角動(dòng)量定理（1mlO例：細(xì)棒， 靜止放在摩擦系數(shù)為 的水平桌上，可繞 旋轉(zhuǎn)，21121.3mlvvJ小球以 垂直擊另一端，并以 反向彈回。時(shí)間。）開始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止所需）碰后棒角速度；（求：（211m2mlO1v2v恒（向外為轉(zhuǎn)軸正向）碰撞過程中，

54、角動(dòng)量守解：) 1 ( 2 122m vlm v lJ lmvvm1212)(3)2(211處集中于相當(dāng)于lmlgmMr210103trM dtJm l 摩擦力矩gmvvmt12122 解得211123rlM tm gtm l 即79關(guān)于摩擦力矩dxlmdmdmx1，處取在dmgdf 元摩擦力xdfdMr 元摩擦力矩總摩擦力矩2212101lgmllgmgxdxlmMdMlrr1mlOdmx80例）質(zhì)量為例）質(zhì)量為M M、半徑為、半徑為R R的轉(zhuǎn)盤，可繞通過中心的豎直軸的轉(zhuǎn)盤，可繞通過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始質(zhì)量為轉(zhuǎn)動(dòng)。開始質(zhì)量為m m的人相對(duì)轉(zhuǎn)盤靜止在離轉(zhuǎn)軸中心的人相對(duì)轉(zhuǎn)盤靜止在離轉(zhuǎn)軸中心R/2R/2處。開始系統(tǒng)以角速度處。開始系統(tǒng)以角速度 旋轉(zhuǎn)。然后人相對(duì)于轉(zhuǎn)盤以速旋轉(zhuǎn)。然后人相對(duì)于轉(zhuǎn)盤以速度度v v垂直于垂直于R R方向走動(dòng)（與原轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反），求轉(zhuǎn)盤相方向走動(dòng)（與原轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反），求轉(zhuǎn)盤相對(duì)于地的