數(shù)列專題錯位相減求和

1、高一數(shù)學(xué)第七周周考一、解1. 已知數(shù)列d“是等差數(shù)列，數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且q=A=l,+ = 7 ,+2 = 13 （1）求數(shù)列a”, b,的通項公式；設(shè)c“ =牛,求數(shù)列匕的前項和S”.2. 已知等差數(shù)列?！钡那绊椇蜑镾”，冬=5, 5S=15.（1）求數(shù)列a”的通項公式；（2）求數(shù)列2n-an的前項和為7；3. 已知數(shù)列滿足q=2, 67;j+1 = 2（）2-（neyV*）n（1）求證:數(shù)列塵!是等比數(shù)列，并求其通項公式；IV設(shè)億=310空掃一26,求數(shù)列 |如的前項和人；4. 已知等差數(shù)列的公差大于0,且冬衛(wèi)5是方程%2-14 + 45 = 0的兩根，數(shù)列仇的前項的和為S”

2、，且S = l-|z?n. （12分）（1）求數(shù)列a,仮的通項公式；（2）記c” = a”卩，求數(shù)列q的前n項和Tn5. 已知數(shù)列aj的前n項和S.滿足Sn=2n2-13n （nSN*）.（1）求通項公式a；（2）令6=，求數(shù)列的前n項和2n6. 等差數(shù)列S”的首項山=1,其前“項和為,且偽+a嚴(yán)+ 7.（I ）求S”的通項公式；（II）求滿足不等式3曾-2的n的值.7. 已知數(shù)列唧的前n項和為S, a,=2.當(dāng)心2時，Sn-, + 1, an, Sn+1成等差數(shù)列.(1)求證:Sn+1)是等比數(shù)列；求數(shù)列na的前n項和8. 已知數(shù)列仏”的前項和為S“，且 = , Sn = n(2n-)an(

3、1) 求冬，az的值；(2) 猜想礙的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.9. 已知S”為等差數(shù)列”的前項和，且礙=5, S、= 9.(I )求的通項公式；(II)求數(shù)列的前n項和Tn.10. 已知S”為數(shù)列%的前”項和，若務(wù)=2且?guī)桩a(chǎn)2S”.(1)求數(shù)列a”的通項公式；設(shè)bn = logn+1,求數(shù)列)的前項之和.11. 已知等差數(shù)列%的前3項和為6,前8項和為-4.(1)求數(shù)列匕的通項公式；設(shè)=(4a“)2T,求數(shù)列$的前項和S”12. 已知數(shù)列&的各項均是正數(shù)，其前用項和為滿足凡 “一(I) 求數(shù)列的通項公式；bn =-一- e X*)5zn2 , mN) 令丸=-% %_2(1)求證：數(shù)列仇

4、是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式.參考答案- 丁 2+ 31. (1) “-I,仇=2：S-6、7，2心【解析】試題分析：（1）求等差與等比數(shù)列通項公式，一般方法為待定系數(shù)法，即根據(jù)條件列關(guān)于公l + 2d + q = 7,V差與公比的方程組：ll + 4d + g=13,解得q = 2,d = 2,再代入通項公式即得=2/7-1,C =色=生k _ n/r-1n JQ/J1”.（2）因為 ”2,所以利用錯位相減法求和，注意作差時，錯項相減,最后一項的符號變化，中間等比項求和時注意項數(shù)，最后不要忘記除以1一4試題解析：設(shè)等差數(shù)列仇的公差為，等比數(shù)列血的公比為9 （彳）,l + 2d + q

5、= 7,V由題意得ll + 4d + q=13,解得q = 2,或g = 0 （舍去），d = 2. a” = 21 bn = 2-1 V爭（2）由題意得 S 2S所以亠35-r + + +212-2/7-1-111352/7-32/7-1S =17 r + :12 222232心T ,1 222 2n-l ,小 1112/7-1一得訐 =1+亍+尹+ 尹-7 =1 + 2牙+壬+ +尹)-2/?+ 3T92/7 + 3-1考點(diǎn)：錯位相減法求和2. (1) an = n ； (2) 7； =(“ + 1)2-6【解析】試題分析：（1）利用等差數(shù)列的通項公式，前項和公式，得到關(guān)于q,d的二元一次

6、方程組，解乙 即可得到aiyd ,則數(shù)列通項公式可求;(2)由(1)可知2q的通項為U 則利用錯位相減法即可求出其前項和7； 試題解析:(1)等差數(shù)列a，冬=5, 55 = 15 ./.冬=勺 + 4d = 5,S5 = 5勺 + 10d = 15.勺=l,d = I; an = n(2) Tn =2xl + 22 x2 + 23 x3 + - + 2wxh27；=22xl + 23x2 + - +2H x(/?-l) + 2H+1x/?-7；r = 2-(22 + 23 + - + 2w)-2n+1x/? = 2-(2,+1-4)-/7-2w+1 =-(/? + l)-2,+1+6Tn =(

7、n + l)-2w+1-6考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項公式，前項和公式錯位相減法(“ 8)(心9)49/?-3n23. (1)(2) T=)3 礦49“+ 400. 2【解析】試題分析：(D 由 4=2, 67n+1=2()2-6/jHGyV*),變形為-=2-4,禾 I用等 n(” + 1)-比數(shù)列的定義及其通項公式即可得岀.(2)由億=3-26,可得=23.當(dāng)n W8時，bn 0.對n分類討論，去掉絕對值符號，利用等差數(shù)列的求和公式即可得岀試題解析:(1) 5 = 2, % = 2(1+丄)加“)nn g /V* /. %為等比數(shù)列IV2 =紜2心=2aSir (2) /bn = 3log,(%-

8、26 = 3log. T -26 = 3/7-26 , :.=-23 77當(dāng) n 9 時.bn =3n-26 0 設(shè)數(shù)列的前項和為s，則當(dāng)/?9時町=蝕+血| +閔+09| +陽=(一 bj +(_$) + (4) + 4+ + /?” =_ + + . + Q) +9+ + $) =-S$ + (S” - SJ = S” - 2Ss(bh 2 (+Q)x82 2所以，(Ji-26)+ 2oo =引廠-49 + 4002 2綜上，Tn=49-3用23 一 49+ 4002(心8)(“ 9)駅,嚴(yán)昨，人=2（1 一羅）3考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項公式及其求和公式234. （1） an =

9、 ci5+ （n - 5）J = 2/7 -1., bn = bq11【解析】解：（I） Ta”是方程F14x + 45 = 0的兩根，且數(shù)列%的公差d0, 55,曲公差心導(dǎo)=2.an = a5 + (n - 5)d = 2/7-1.1?又當(dāng) n=1 時，有 bi=Si=1 /?.=23當(dāng) “ 2 時，有 = S” - S,_ = | 嘰-仇), = ； (n 2).2爲(wèi)3 1數(shù)列b是等比數(shù)列,b=、q = 39.仇=$/1=三6分”11312分（II）由（I）知J =gb“ =型工 所以人=2（1-罟）-5. （1） an=4n - 15 （2） Tn= - 7 -（寺“口一 7）【解析】解

10、:（1）當(dāng)n=時，aFSF-11,當(dāng) n$2 時，an=S-Sn.i=2n2-13n- 2 （n-1） 2-13 （n-1） =4n-15, n=1時，也適合上式.an4n - 15.玉斗斗(寺嚴(yán)一,22nT石（寺）1（4-15）+ （寺）2（4）2- 15）+ （寺）3, （4X3 15）+（嚴(yán)（4n-15）,yTn =（寺）人（4-15）+ （y）3-（4X2- 15）+ + （*）“ 4（n 1） - 15 +（*廠+1，（仏-15）一，得:尹一少(制+棄)中11n*14 叮 一 (Z)(1) i詩2- (j)n_2-(寺)訊(加-,=-7- (寺)畑一 7).【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項

11、公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意 錯位相減法的合理運(yùn)用.6. （ I ）=2/7-1； （II） 2, 3, 4【解析】 試題分析：(I )已知勺，要求等差數(shù)列的通項公式，可先求得公差d,可把已知條件a. + a5=a4 + l用d表示岀來,然后寫出通項公式；(II)由等差數(shù)列前項和公式寫岀Sn, 再解不等式S3an-2即可.試題解析：(I )設(shè)數(shù)列%的公差為因為+ 5 = + 7 ,所以2 + 6d = 4 + ?d + 7 .因為6 = 1,所以W即d = 2、所以an = + (77 一 l)d = 2 一 1S(II)因為5=1, 6=21,所以 ”2所以朋 3(

12、2-1)-2,所以n2-6n + 50i 解得12)點(diǎn)評：已知條件是關(guān)于,S”的關(guān)系式，此關(guān)系式經(jīng)常用到色=有關(guān)于正整數(shù)的命題常用數(shù)學(xué)歸納法證明，其主要步驟：第一步，n取最小的正整數(shù)時命題 成立，第二步，假設(shè)n = k時命題成立，借此來證明n = k + l時命題成立【解析】試題分析：(I )求%的通項公式，關(guān)鍵是求等差數(shù)列匕的首項及公差即gd ,由已 知可知f/3 = 5.S3 = 9,即,解方程組得=l,d = 2,有等差數(shù)列的通項公式即可寫出&的通項公式；(II)求數(shù)列的前打項和人，首先求出數(shù)列,分母是等差的通項公式，由（I ）可知an=2n-l,從而可得一a數(shù)列an的連續(xù)兩項的積，符合

13、利用拆項相消法求和，故（2一 1）（2 +1） 一式 2一 1 一 2 + J 即可求出，試題解析：（I ）設(shè)等差數(shù)列%的公差為d 因為冬=5,亠=9,ja. +2d = 5t所以匚 c解得q = hd = 24分3a k + 3d = 9所以aH =2n-l6分1 1 1 1111x3 3x5 5x7(2/7 -1) x (2/? +1)1,11111 1 12 3 3 5 5 72/7-1 2? + 12 + 1）一n2/7 +112分考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列求和.10.5=2,” = 12=心2;（2）數(shù)列前項之和為lA+iJ【解析】試題分析：（1）由S,申= 2S”可得數(shù)列S”是

14、首項為2,公比為2的等比數(shù)列，然后根據(jù)數(shù)列的通項與前項和之間的關(guān)系，即可求數(shù)列%的通項公式；（2）根據(jù)（1）求出 bn = log“+|的通項公式，禾0用裂項相消法即可求數(shù)列 L. 的前項和.試題解析：（1）由題設(shè)得：數(shù)列S”是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.S”=S”27Z-1=2*S, = 2,77 = 1(2)由(1)知：b” = log4”+ = log,2 = ,. 一=丄切/卄n n + lfl 1 ) ,n h + 1；11. (1) =4-/7(2) S =(7?-l)2n+l【解析】試題分析：(1)由等差數(shù)列”的前3項和為6,前8項和為-4,利用等差數(shù)列的前項和公式建立方程組求

15、出q=3, d = -.由此能求出數(shù)列a”的通項公式.(2 )由=4-，知=2T，所以數(shù)列bn的前n項和 S“ = 1 + 2?2! + 3?2 +川？2”t ,由此利用錯位相減法能求出數(shù)列bt的前n項和S” 試題解析：(1)設(shè)等差數(shù)列a,的公差為d.由已知得3q + 3d = 68q+28d = 4故匕=3+(/7 !)?(!)= 47/ (2)由(1)得，b”=W二=1 + 2?了 + 3?2 + “？2= 兩邊同乘以2得2S=2 + 2?2 + 3?2 +M2J 兩式相減得S” =5-1)2”+1點(diǎn)睛：求解由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項的積構(gòu)成的數(shù)列的前項和，一般采用錯位 相消法，用

16、錯位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“S”與“qS的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便 下一步準(zhǔn)確寫岀“S“一qS“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比 為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.12. (I)匕=(*). (II)詳見解析.【解析】試題分析：(I )首先令求出首項勺，=4-1 1 = 2?二;s _S77皿”由1-1-4冬4兩式相減，得沐l-5冬一即所以2數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列由等比數(shù)列的通項公式便可得數(shù)列的通項公式.（II）證明有關(guān)數(shù)列前左項和的不等式，一般有以下兩種思路

17、：一種是先求和后放縮，一種是先放縮后求和在本題中，由（I ）可得:2 -log2 az 2-(2-n) n嘰也=G+-）.這顯然用裂項法求和，然后用放縮法即可證明.試題解析：（I）由題設(shè)知父7-珂，2分嚴(yán)=4-冬由盡1 =4 -1兩式相減，得仏-S& = -%a1=5 _込斗2口41 =a烹卩丄=7所以冬 1 4分 考點(diǎn)：1、等比數(shù)列；2、裂項法；3、不等式的證明.可見，數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列。兀=氓+込婦+毎+站冊213. 設(shè)a的公比為q,由已知得16=2q解得q = 2. 數(shù)列aj的通項公式為an=22n_1=2n.(2)由得 a3=8, as=32,則 b3=8, bs=32

18、設(shè)b的公差為d,則有bi + 2d=8bi+4d = 32解得bi = 16d = 12從而 bn= 16+12 (n1) =12n28, 所以數(shù)列b的前n項和n 16+12n28=6r)222n.【解析】略對_114. (1) an=3n-5. (II) S=； 1-8 28【解析】本試題主要是考查了等差數(shù)列的通項公式的求解以及等比數(shù)列求和的綜合運(yùn)用。(D因為公差不為零的等差數(shù)列的前4項和為10,且a?皿3皿7成等比數(shù)列，聯(lián)立方程組得到首項和公差得到結(jié)論。(2)在第一問的基礎(chǔ)上可知，嘰=2 =23/1-5=1-8/-14,利用等比數(shù)列的求和公式得到結(jié)論。(1)由題意知4 +6d = 10、

19、a+2d)，=a+d)a+6d).解得囂所以 an=3n5.(II) / bn =2，a =23n_5數(shù)列是首項為扌，公比為8的等比數(shù)列,一9分12分所以s產(chǎn)=1 1-8 2815. (1) 2n3 1(2) + (一一)3,+122【解析】 試題分析：解：(1) / = 2, a】+ eg + 色=12 二3。 + 3 = 12,即d = 2an = 2 + (/? 1) 2 = 2/?.(2)由已知:b“ = 2門 3”vSw=2-3+4.32 + 6-33 +2n-3w3 S/?=2-32+4-33 + 6 3 +2小 3點(diǎn) -得-25 =2-3 + 2-32 + 2-33 + - + 2-3n-277-3N+1=6(13)-2n-3,H “1-3考點(diǎn)：等差數(shù)列，錯位相減法點(diǎn)評：主要是考查了等差數(shù)列的通項公式以及求和的運(yùn)用，屬于中檔題。16. (1) c = 2/7 +1 (2)你=* + “ + *, S=- + y + n + 【解析】試題分析:(1)兩式相加得陽+ = 如+ $.】) +2,即cn=cw_1 + 2(n2),根據(jù)等差