FFT的前世今生(從示波器的角度理解fft)

1、FFT 的前世今生2012-03-07 10:26:30 美國(guó)力科公司北京代表處 馬亦飛 FFT (Fast Fourier Transform ，快速傅立葉變換)是離散傅立葉變換的快速算法， 也是我們?cè)跀?shù)字信號(hào)處理技術(shù)中經(jīng)常會(huì)提到的一個(gè)概念。 在大學(xué)的理工科課程中， 在完成高 等數(shù)學(xué)的課程后， 數(shù)字信號(hào)處理一般會(huì)作為通信電子類(lèi)專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程進(jìn)行學(xué)習(xí)， 原因 是其中涉及了大量的高等數(shù)學(xué)的理論推導(dǎo)，同時(shí)又是各類(lèi)應(yīng)用技術(shù)的理論 基礎(chǔ)。關(guān)于傅立葉變換的經(jīng)典著作和文章非常多，但是看到滿(mǎn)篇的復(fù)雜公式推導(dǎo)和羅列， 我們還是很難從直觀上去理解這一復(fù)雜的概念， 我想對(duì)于普通的測(cè)試工程師來(lái)說(shuō)，掌握 FFT

2、的概念首先應(yīng)該搞清楚這樣幾個(gè)問(wèn)題： (1) 為什么需要 FFT (2) 變換究竟是如何進(jìn)行的 (3) 變換前后信號(hào)有何種對(duì)應(yīng)關(guān)系 (4) 在使用測(cè)試工具 (示波器或者其它軟件平臺(tái)) 進(jìn)行 FFT 的 方法和需要注意的問(wèn)題 (5) 力科示波器與泰克示波器的 FFT 計(jì)算方法的比較。在這篇文章中我嘗試用更加淺顯的講解，盡量不使用公式推導(dǎo)來(lái)說(shuō)一說(shuō) FFT 的那 些事兒。一, 為什么需要 FFT ？首先FFT(快速傅立葉變換)是離散傅立葉變換的快速算法，那么說(shuō)到FFT,我們自然要先講清楚傅立葉變換。先來(lái)看看傅立葉變換是從哪里來(lái)的？傅立葉是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字，英語(yǔ)原名是Jean Baptis

3、te JosephFourier(1768-1830), Fourier 對(duì)熱傳遞很感興趣，于 1807 年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論 文，運(yùn)用正弦曲線來(lái)描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)頗具爭(zhēng)議性的命題：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。 當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人， 其中有兩位是歷史上著 名的數(shù)學(xué)家拉格朗日 (Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯 (Pierre Simon de Laplace, 1749-1827) ，當(dāng)拉普拉斯和其他審查者投票通過(guò)并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí)，拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)， 在近 50 年的時(shí)間里， 拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅立葉的方

4、法無(wú)法表 示帶有棱角的信號(hào)， 如在方波 中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。 法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的權(quán)威， 拒絕了傅立葉的工作， 幸運(yùn) 的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了 政治運(yùn)動(dòng)，隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，法國(guó)大革命后 因?yàn)榕卤煌粕蠑囝^臺(tái)而一直在逃難。直到拉格朗日死后 15 年這個(gè)論文才被發(fā)表出來(lái)。誰(shuí)是對(duì)的呢？拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。但是， 我們可以用正弦曲線來(lái)非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此， 傅立葉是對(duì)的。為什么我們要用正弦曲線來(lái)代替原來(lái)的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波 來(lái)代替， 分解信號(hào)的方法是無(wú)窮的， 但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地

5、處理原來(lái) 的信號(hào)。 用正余弦來(lái)表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單， 因?yàn)檎嘞覔碛衅渌盘?hào)所不具備的性質(zhì)： 正弦曲線保 真度。一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的， 且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)， 正因如此我們才不用 方波或三角波來(lái)表示。傅立葉變換的物理意義在哪里？傅立葉原理表明： 任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)， 都可以表示為不同頻率的正弦波信 號(hào)的無(wú)限疊加。 而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、 振幅和相位。 當(dāng)然這是從數(shù)學(xué)的角度去看傅立葉 變換。那么從物理的角度去看待傅立葉變

6、換， 它其實(shí)是幫助我們改變傳統(tǒng)的時(shí)間域分析信 號(hào)的方法轉(zhuǎn)到從頻率域分析問(wèn)題的思維， 下面的一幅立體圖形可以幫助我們更好得理解這種角度的轉(zhuǎn)換:§ 二 0E<所以，最前面的時(shí)域信號(hào)在經(jīng)過(guò)傅立葉變換的分解之后，變?yōu)榱瞬煌也ㄐ盘?hào)的疊加，我們?cè)偃シ治鲞@些正弦波的頻率，可以將一個(gè)信號(hào)變換到頻域。有些信號(hào)在時(shí)域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號(hào)分析采用FFT變換的原因。另外，F(xiàn)FT可以將一個(gè)信號(hào)的頻譜提取出來(lái)，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。傅立葉變換提供給我們這種換一個(gè)角度看問(wèn)題的工具，看問(wèn)題的角度不同了，問(wèn) 題也許就迎刃而解！二、變換是如

7、何進(jìn)行的？首先，按照被變換的輸入信號(hào)類(lèi)型不同，傅立葉變換可以分為4種類(lèi)型：1、 非周期性連續(xù)信號(hào)傅立葉變換(Fourier Transform)2、 周期性連續(xù)信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)3、非周期性離散信號(hào)離散時(shí)域傅立葉變換( Discrete Time Fourier Transform)4、 周期性離散信號(hào)離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform) 下面是四種原信號(hào)圖例：這里我們要討論是離散信號(hào)，對(duì)于連續(xù)信號(hào)我們不作討論，因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號(hào)，我們的最終目的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)來(lái)處理信號(hào)的。所以對(duì)于離散信號(hào)的變換只有離散傅立葉變換（DFT

8、）才能被適用，對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)只有離散的和有限長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)才能 被處理，對(duì)于其它的變換類(lèi)型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到，在計(jì)算機(jī)面前我們只能用 DFT方法，我們要討論的 FFT也只不過(guò)是DFT的一種快速的算法。DFT的運(yùn)算過(guò)程是這樣的：I y-iX（爐一x（n）ent/NN忤其中，X（k）頻域值X（ n）時(shí)域采樣點(diǎn)n時(shí)域采樣點(diǎn)的序列索引k頻域值的索引N進(jìn)行轉(zhuǎn)換的采樣點(diǎn)數(shù)量可見(jiàn)，在計(jì)算機(jī)或者示波器上進(jìn)行的DFT，使用的輸入值是數(shù)字示波器經(jīng)過(guò)ADC后采集到的采樣值，也就是時(shí)域的信號(hào)值，輸入采樣點(diǎn)的數(shù)量決定了轉(zhuǎn)換的計(jì)算規(guī)模。變換后的頻譜輸出包含同樣數(shù)量的采樣點(diǎn)，但是其中有一半的值是冗余的，通常不會(huì)顯示在頻譜

9、中，所以真正有用的信息是N/2+1個(gè)點(diǎn)。FFT的過(guò)程大大簡(jiǎn)化了在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行 DFT的過(guò)程，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，如果原來(lái)計(jì)算DFT 的復(fù)雜度是N2次運(yùn)算（N代表輸入采樣點(diǎn)的數(shù) 量），進(jìn)行FFT的運(yùn)算復(fù)雜度是 NlglO（ N）， 因此，計(jì)算一個(gè)1,000采樣點(diǎn)的DFT，使用FFT算法只需要計(jì)算 3,000次，而常規(guī)的 DFT 算法需要計(jì)算1,000,000次！我們以一個(gè)4個(gè)點(diǎn)的DFT變換為例來(lái)簡(jiǎn)單說(shuō)明 FFT是怎樣實(shí)現(xiàn)快速算法的：1 二x(k)=工鞏口疋訶”也計(jì)算得出：x(o)=其(。電忖+刑X(l)=刈Q亡訶4glllflZ工辿21&咖土泄誑滬宀X(2 = x(0)e+x(l)e+x(2)ea

10、'+xC3)e'J3'X(3) = x(0)e >*>+ x( 1 Je-'+x(2)ellf+x(3 )e P-其中的紅色部分在 FFT中是必須計(jì)算的分量，其他藍(lán)色部分不需要直接計(jì)算，可以由紅色 的分量直接推導(dǎo)得到，比如：x(1)e-jO = -1*x(1)e-j n x(2)e-j0 = x(2)e-j2 n這樣，已經(jīng)計(jì)算出的紅色分量只需要計(jì)算機(jī)將結(jié)果保存下來(lái)用于之后計(jì)算時(shí)調(diào)用即可，因此大大減少了 DFT的計(jì)算量。三、變換前后信號(hào)有何種對(duì)應(yīng)關(guān)系？我們以一個(gè)實(shí)際的信號(hào)為例來(lái)說(shuō)明：示波器采樣得到的數(shù)字信號(hào)，就可以做FFT變換了。N個(gè)采樣點(diǎn)，經(jīng)過(guò)FFT

11、之后，就可以得到N個(gè)點(diǎn)的FFT結(jié)果。為了方便進(jìn)行 FFT運(yùn)算，通常N取2的整數(shù)次方。假設(shè)采樣頻率為Fs,信號(hào)頻率F，采樣點(diǎn)數(shù)為N。那么FFT之后結(jié)果就是一個(gè)為N點(diǎn)的復(fù)數(shù)。每一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著一個(gè)頻率點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號(hào)的幅度有什么關(guān)系呢？假設(shè)原始信號(hào)的峰值為A，那么FFT的結(jié)果的每個(gè)點(diǎn)(除了第一個(gè)點(diǎn)直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一個(gè)點(diǎn)就是直流分量，它的模值就是直流分量的 N倍。而每個(gè)點(diǎn)的相位呢，就是在該頻率下的信號(hào)的相位。第一個(gè) 點(diǎn)表示直流分量(即 OHz),而最后一個(gè)點(diǎn) N的再下一個(gè)點(diǎn)(實(shí)際上這個(gè)點(diǎn)是不存在的，這里是假設(shè)的第 N+1個(gè)點(diǎn)，也可以看

12、做是將第一個(gè)點(diǎn)分做兩半分，另一半移到最后)則表示 采樣頻率Fs,這中間被 N-1個(gè)點(diǎn)平均分成N等份，每個(gè)點(diǎn)的頻率依次增加。例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，F(xiàn)n所能分辨到頻率為為Fs/N ,如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1024點(diǎn)，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采 樣1024點(diǎn)，剛好是1秒，也就是說(shuō)，采樣1秒時(shí)間的信號(hào)并做 FFT，則結(jié)果可以分析精確到1Hz，如果采樣2秒時(shí)間的信號(hào)并做 FFT，則結(jié)果可以分析精確到0.5Hz。如果要提高頻率分辨率，則必須增加采樣點(diǎn)數(shù)，也即采樣時(shí)間。頻率分辨率和采樣時(shí)間是倒數(shù)關(guān)系。 下面這幅圖更能夠

13、清晰地表示這種對(duì)應(yīng)關(guān)系：ACQUIRED WAVEFORMTIME變換之后的頻譜的寬度(Frequency Span)與原始信號(hào)也存在一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根 據(jù)Nyquist采樣定理，F(xiàn)FT之后的頻譜寬度(Frequency Span)最大只能是原始信號(hào)采樣率 的1/2，如果原始信號(hào)采樣率是4GS/S,那么FFT之后的頻寬最多只能是 2GHz。時(shí)域信號(hào)采樣周期 (Sample Period)的倒數(shù)，即采樣率(Sample Rate)乘上一個(gè)固定的系數(shù)即是變 換之后頻譜的寬度，即Frequency Span=K* (1/ ) 其中AT為采樣周期，K值取決于我們?cè)谶M(jìn)行FFT之前是否對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行降采樣

14、(抽點(diǎn))，因?yàn)檫@樣可以降低 FFT的運(yùn)算量。如下圖所示：ACQUIRED WAVEFORM可見(jiàn)，更高的頻譜分辨率要求有更長(zhǎng)的采樣時(shí)間，更寬的頻譜分布需要提高對(duì)于原始信號(hào)的采樣率，當(dāng)然我們希望頻譜更寬，分辨率更精確，那么示波器的長(zhǎng)存儲(chǔ)就是必要的！它能提供您在高采樣率下采集更長(zhǎng)時(shí)間信號(hào)的能力！值得強(qiáng)調(diào)的是，力科示波器可以支持計(jì)算128Mpts的FFT,而其它某品牌則只有3.2Mpts。FFT的方法和需要注意的問(wèn)題?四、在使用測(cè)試工具(示波器或者其它軟件平臺(tái))進(jìn)行 我們先來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子 -Problem :在示波器上采集一個(gè)連續(xù)的，周期性的信號(hào)，我們希望在示波器上進(jìn)行FFT計(jì)算之后，觀察到信號(hào)中

15、心頻率 (Center Frequency)在 2.48GHz，頻寬(Frequency Span)為 5MHz， 頻譜分辨率(Bandwidth Resolution )為10KHz的頻譜圖，應(yīng)該如何設(shè)置示波器的采集？首先，根據(jù)頻譜分辨率(Bandwidth Resolution) 10KHz可以推算出，至少需要采集信號(hào)的時(shí)間長(zhǎng)度為1/10KHz=100us，因此至少要設(shè)置示波器時(shí)基為10us/Div ；為了盡量保證FFT之后頻譜圖在各個(gè)頻點(diǎn)的信號(hào)能量精度，測(cè)量時(shí)需要時(shí)域信號(hào)幅值占滿(mǎn)整個(gè)柵格的90%以上；采樣率設(shè)置應(yīng)至少滿(mǎn)足Nyquist采樣率，即至少設(shè)置>5GS/s采樣率才能夠看到V

16、on Hann漢寧窗)和頻譜顯示方式Center 2.48GHz， Scale 500KHz/Div 位中心頻率在2.48GHz的頻率譜線；選擇合適的窗函數(shù)(power spectrum)；使用 Zoom 工具，將頻譜移動(dòng)到置，Zoom設(shè)置方法如下圖所示：ZvmFFTFHorizonlaiVerticalCenter9 93 MHz*29 1Scale / divScale I drv2.00 MHz10 0 dBftLa/M500.0 EJ Varx2 00 畑I"1 1、一V 1? S ?2 靄 1持計(jì)算128Mpts的FFT,而其它某品牌則只有3.2Mpts。持計(jì)算128Mpt

17、s的FFT,而其它某品牌則只有3.2Mpts。在力科示波器中進(jìn)行FFT的運(yùn)算有幾種不同的輸出類(lèi)型：Lin ear Mag nitude(Volts),Phase(Degrees),Power Spectrum(dBm),Power Spectral Density(dBm)這幾種輸出類(lèi)型都是由FFT計(jì)算之后的結(jié)果換算而來(lái)，我們知道FFT計(jì)算之后的結(jié)果包含實(shí)部(Real)和虛部(Imaginary)成分，它們的單位都是 Volts。vR= + =具體的換算方式如下：Lin ear Magn itude(V olts)=Phase(Degrees)=濫迫臥蔗)Power Spectrum(dBm)

18、=Power Spectral Density(dBm)=為與所選加權(quán)函數(shù)(窗)相關(guān)的有效噪聲帶寬。堰(SPXENBW)，其中址為頻譜分辨率,ENBW持計(jì)算128Mpts的FFT,而其它某品牌則只有3.2Mpts。持計(jì)算128Mpts的FFT,而其它某品牌則只有3.2Mpts。幾種典型周期函數(shù)的頻譜圖:li川 |皿川 ilillliiHUh llililliiiiihlilBHliTriangleli'lliihMlliiilHf i川Hil川山1"|川1川】川-rPulse頻譜泄露:所謂頻譜泄露，就是信號(hào)頻譜中各譜線之間相互干擾，使測(cè)量的結(jié)果偏離實(shí)際值，同時(shí)在真實(shí)譜線的兩側(cè)

19、的其它頻率點(diǎn)上出現(xiàn)一些幅值較小的假譜。產(chǎn)生頻譜泄露的主要原因是采樣頻率和原始信號(hào)頻率不同步，造成周期的采樣信號(hào)的相位在始端和終端不連續(xù)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是因?yàn)橛?jì)算機(jī)的 FFT運(yùn)算能力有限，只能處理有限點(diǎn)數(shù)的FFT，所以在截取時(shí)域的周期信號(hào)時(shí)，沒(méi)有能夠截取整數(shù)倍的周期。信號(hào)分析時(shí)不可能取無(wú)限大的樣本。只要有截?cái)嗖煌骄蜁?huì)有泄露。如下圖所示：Signal Frequency 2.00 MHz圖中被測(cè)信號(hào)的開(kāi)始端相位和截止端相位相同，表示在采集時(shí)間內(nèi)有整數(shù)倍周期的Signal Frequency 2.1 MHzOf Q I ¥ V上圖的信號(hào)頻率為2.1MHz，采集時(shí)間內(nèi)沒(méi)有截取整數(shù)倍周期的信號(hào)，

20、FFT運(yùn)算之后譜線的泄露現(xiàn)象嚴(yán)重，可以看到能量較低的譜線很容易被臨近的能量較高的譜線的泄露給 淹沒(méi)住。因此，避免頻譜泄露的方法除了盡量使采集速率與信號(hào)頻率同步之外，還可以采 用適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)。另外一個(gè)方法是采集信號(hào)時(shí)間足夠長(zhǎng)，基本上可以覆蓋到整個(gè)有效信號(hào)的時(shí)間跨 度。這種方法經(jīng)常在瞬態(tài)捕捉中被使用到，比如說(shuō)沖擊試驗(yàn)，如果捕捉的時(shí)間夠長(zhǎng)，捕捉到 的信號(hào)可以一直包括了振動(dòng)衰減為零的時(shí)刻。在這種情況下，可以不加窗函數(shù)。窗函數(shù)其實(shí)就是一個(gè)加權(quán)函數(shù)，它在截取的信號(hào)時(shí)間段內(nèi)有值，時(shí)間段之外值為0：，記為：w(t)=g(t)-T/2<t<T/2w(t)=0其它加窗在時(shí)域上表現(xiàn)的是點(diǎn)乘，因此在頻域上

21、則表現(xiàn)為卷積。卷積可以被看成是一個(gè)平滑的過(guò)程。這個(gè)平滑過(guò)程可以被看出是由一組具有特定函數(shù)形狀的濾波器，因此，原始信號(hào)中在某一頻率點(diǎn)上的能量會(huì)結(jié)合濾波器的形狀表現(xiàn)出來(lái)，從而減小泄漏?；谶@個(gè)原理，人們通常在時(shí)域上直接加窗。大多數(shù)的信號(hào)分析儀一般使用矩形窗(rectangular),漢寧(hann), flattop和其它的一些窗函數(shù)。不同的窗函數(shù)對(duì)頻譜譜線的影響不同，基本形狀可以參看下圖：可以看到，不同的窗函數(shù)的主瓣寬度和旁瓣的衰減速度都不一樣，所以對(duì)于不同信號(hào)的頻譜應(yīng)該使用適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)進(jìn)行處理。矩形窗（Rectangular）:加矩形窗等于不加窗，因?yàn)樵诮厝r(shí)域信號(hào)時(shí)本身就是采用矩形截取，所以

22、矩形窗適用于瞬態(tài)變化的信號(hào)，只要采集的時(shí)間足夠長(zhǎng)，信號(hào)寬度基本可以覆蓋整個(gè)有效的瞬態(tài)部分。漢寧窗（Von Hann）：如果測(cè)試信號(hào)有多個(gè)頻率分量，頻譜表現(xiàn)的十分復(fù)雜，且測(cè) 試的目的更多關(guān)注頻率點(diǎn)而非能量的大小。在這種情況下，需要選擇一個(gè)主瓣夠窄的窗函數(shù)，漢寧窗是一個(gè)很好的選擇。flattop窗：如果測(cè)試的目的更多的關(guān)注某周期信號(hào)頻率點(diǎn)的能量值，比如，更關(guān) 心其EUpeak,EUpeak-peak,EUrms，那么其幅度的準(zhǔn)確性則更加的重要，可以選擇一個(gè)主瓣 稍寬的窗，flattop窗在這樣的情況下經(jīng)常被使用。五、力科示波器與泰克示波器的FFT計(jì)算方法的比較您可能也已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問(wèn)題：在示波器上

23、進(jìn)行FFT運(yùn)算時(shí)，使用力科示波器和使用Tek示波器的計(jì)算結(jié)果似乎相差很大。產(chǎn)生這種差別的原因一方面可能是兩者有效運(yùn)算的采樣點(diǎn)不一樣。另外一個(gè)重要原因是LeCroy和Tek所使用的FFT運(yùn)算的參考值不同，LeCroy使用dBm為單位（參考值是 1mW的功 率值），而Tek使用dB為單位（參考值是 1V rms的電壓值），參考值不同產(chǎn)生的計(jì)算結(jié)果當(dāng)然不一樣！dB（Deci-bel，分貝）是一個(gè)純計(jì)數(shù)單位， 本意是表示兩個(gè)量的比值大小，沒(méi)有單位。在工程應(yīng)用中經(jīng)?？吹矫菜撇煌亩x方式（僅僅是看上去不同）。對(duì)于功率，dB =10*lg（A/B）。對(duì)于電壓或電流，dB = 20*lg（A/B）。此處A，B代表參與比較的功率值或者電 流、電壓值。dB的意義其實(shí)再簡(jiǎn)單不過(guò)了，就是把一個(gè)很大（后面跟一長(zhǎng)串0的）或者很?。ㄇ懊嬗幸婚L(zhǎng)串0的）的數(shù)比較簡(jiǎn)短地表示出來(lái)。dBm是一個(gè)考征功率絕對(duì)值的值，計(jì)算公式為：10lg （功率值/1mw