數(shù)字信號(hào)處理第2章Z變換及離散系統(tǒng)分析

1、2.1 Z變換的定義；2.2 Z變換的收斂域；2.3 Z變換的性質(zhì)；2.4 逆Z變換；2.5 離散系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)；2.6 離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)第2章 Z變換及離散系統(tǒng)分析時(shí)域：時(shí)域：)(tx復(fù)頻域：復(fù)頻域： dtetxsXst)()(jsf2Laplace 變換 s 平面j0所以0dtetxjXtj)()(Fourier 變換 頻域：s 平面j0所以，傅里葉變換是 僅在虛軸上取值的拉普拉斯變換。sjs因?yàn)閟j ( )( )()snx nx ttnT() ()ssnx nTtnT對(duì)離散信號(hào)，可否做拉普拉斯變換 ( )( )stx nx n edt()()stssnx nTtnT edt()()sssn

2、TsTsnx nT eX essTzeL令：()sssjTTj Tjzreeee nnznxzX)()(則：得到：得到： sTsreT sz與拉普拉斯變換 對(duì)應(yīng)連續(xù)信號(hào) 變換 對(duì)應(yīng)離散信號(hào) zssTj Tjreee離散信號(hào)的 z 變換1|2()( )jjrssjj nnzreeTffX ex n e 離散時(shí)間序列的傅里葉變換， DTFTz平面Re zIm z0z平面Re zIm z01r 0202ssssf 020224:2ssTff z平面Re zIm z0rjs 平面02sf4sf2sf4sf00000fsf2sf2sfsfs2s2ss22f 10.50.51k2kN1N ( )( ) (

3、 )nnj nnnX zx n zx n re1|:jrzrennjjenxeX)()( ):X z 級(jí)數(shù)收斂2.2 Z變換的收斂域冪級(jí)數(shù)條件：除 外，還取決于 的取值( )x nrNote: r 是 的模，所以 ROC 具有 “圓”，或“環(huán)”的形狀z)()(nuanxn例1：10011( )()1,ROC1( )1nnnnnX za zazifazthat iszathenX zaza1( )zX zza) 1()(nuanxn例2：) 1( nu011,n 其他11011( )1()111ROC:1,nnnnnX za za zza zzaa zza ROC:za)()(nuanxn注意：

4、( )zX zza) 1()(nuanxn( )zX zzazaza21: )(NNnnx1.1221, 0, 0NNNNROC：0|z右邊有限長(zhǎng)序列21211211( )( )()()NnNNn NX zx n zx Nx Nzz0z 2.21: )(NNnnx0, 021NN|0zROC:雙邊有限長(zhǎng)序列0,zz 3.1: )(Nnnx1|Rz 4.1: )(Nnnx2|Rz 5.nnx: )(21|RzRROC:右邊無(wú)限長(zhǎng)序列ROC：左邊無(wú)限長(zhǎng)序列ROC:雙邊無(wú)限長(zhǎng)序列思考：什么信號(hào)的z變換的收斂域是整個(gè)z平面？1. 線性線性:1212( )( )( )( )x nx nXzXz2.3 Z

5、變換的性質(zhì)( )2nj nj nrx nee如何求( )cos( )nx nrnX z 表示 單位延遲( )( )nnX zx n z2. 移位移位: （1） 雙邊雙邊Z變換變換)()(zXzknxk()( )kx nkz X z)() 1(1zXznx1z（2） 單邊單邊Z變換變換0( )( )nnXzx n z1()( )( )knnkx nkzXzx n z10()( )( )kknnx nkzXzx n z 仍為雙邊序列)(nx（3） 為因果序列為因果序列, 則則)(nx10()( )( )kknnx nkzX zx n z( )( )XzX z因果序列的雙邊Z變換 和其單邊 Z 變換

6、相同1()( )( )( )knknkx nkzXzx n zzX z3.( )( )( )( ) ()ky nx nh nx k h nk)(zY)(zX)(zH nnknnzknhkxznyzY)()()()(knnzknhkx)()(knknkzknhzkx)()()()()(zHzX0)()(nnznxzX110( )( )mnmccnX z zdzx n zzdz101(1)()( )( )( )m ncnm nj m nnm nj m nnx nzdzx nredzx n rjed jrez drjedzj2.4 逆Z變換denmj)(20nmnm11( )( )2ncx nX z

7、 zdzj1()( )( )mm nj m ncnX z zdzx n rjed Z逆變換的基本公式1. 長(zhǎng)除法長(zhǎng)除法101( )( )( )nnB zX zxx zx zA z2. 部分分式法部分分式法122( )( )( )()()CCB zABX zA zzazbzczc1( )Res( )nx nX zz3. 留數(shù)法留數(shù)法)(nx)(ny)(nh1.( )( )( )( ) ()ky nx nh nx k h nk2.NkMrrkrnxbknyany10)()()(3.2.5 離散系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)( )( )( )H zY zX z0( )( )nnH zh n z4.5.01( )(

8、)( )1MrrrNkkkb zB zH zA za z以上 6 個(gè)關(guān)系是離散時(shí)間系統(tǒng)中的基本關(guān)系，它們從不同的角度描述了系統(tǒng)的性質(zhì)，它們彼此之間可以互相轉(zhuǎn)換。0| )()()(neznjjjzHenheH6.,1,0,krakNbrMNM120121212( )( )1MMNNB zbb zb zb zA za za za z上述表達(dá)式貫穿全書(shū)！( )( )( )H zB zA zNkkMrrpzzzGzH11)()()(,1,;,1,;rkz rM Zerosp kN Poles使分子多項(xiàng)式使分子多項(xiàng)式 = 0 的的 的的 Zeros (零點(diǎn)零點(diǎn))rz)(zH使分母多項(xiàng)式使分母多項(xiàng)式 =

9、0 的的 的的Poles(極點(diǎn)極點(diǎn))kp)(zH0111()( )( )( )1()MMrrrrrNNkkkkkzzb zB zH zGA za zzp為了保證系統(tǒng)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)始終為實(shí)數(shù)，所以，如果系統(tǒng)有復(fù)數(shù)的極、零點(diǎn)，那么這些復(fù)數(shù)的極、零點(diǎn)一定共軛出現(xiàn)。即：jbazjbazrrkkpcjdpcjd系統(tǒng)分析的任務(wù)：給定一個(gè)系統(tǒng)，可能是( )H z( )h n()jH eNkMrrkrnxbknyany10)()()(判斷（或分析）線性？移不變？穩(wěn)定？因果？幅頻：低通？高通？帶通？相頻：線性相位？最小相位？1. 穩(wěn)定性: 判別條件1：01( )( )nh nh nl 穩(wěn)定性: 判別條件

10、2 ：Nkpk, 1, 1| 極零分析的應(yīng)用所有極點(diǎn)都必需在單位圓內(nèi)！1( )Nkkkc zH zzp證明：00110( )NnkknnkNnkkknh nccpp1( )Nnkkkh ncp11|()|MjrjrNjkkezH egep2. 幅頻特性：幅頻特性：0jerz|jrez11()( )()MrrNkkzzH zGzp()11()()()Mjrjj N MrNjkkezH egeep11|()|MjrjrNjkkezH egep觀察：1. 當(dāng) 時(shí)，|jkep最??；0jekp|jkep2. 極點(diǎn) 約接近于單位圓，|jkep越??；kp如何影響幅頻 3. 注意，向量 在分母上。|jkep低

11、通濾波器高通濾波器帶通濾波器帶阻濾波器2cc02()jH e2cc0222c01 c2c1c22c201 c2c1c23. 相頻：相頻：NkkjMrrjjpezeeH11argarg)(arg()arg()arctan()jjIjRHeH eHe|()| 1jH ezzH)(例：( )02 相位的卷繞相位的卷繞 (wrapping) 解卷繞解卷繞 若在某一個(gè) 處, 在單位圓上有一零點(diǎn), 則若在某一個(gè) 處, 在接近單位圓有一極點(diǎn), 則 4. 極極-零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)幅頻的影響：零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)幅頻的影響：|()| 0jH e| )(|jeH1z 低通濾波器在 處一定沒(méi)有零點(diǎn)，在 其附近應(yīng)有一個(gè)極點(diǎn)；同理，高通

12、濾波器在 處一定沒(méi)有 零點(diǎn)，在其附近應(yīng)有一個(gè)極點(diǎn)；帶通、帶阻濾波器的極零位置有何特點(diǎn)1z 在 處的極、 零點(diǎn)不影響幅頻, 只影響相頻。 0z -1-2-3-4-1-2-3-41 .1836+.7344z +1.1016z +.7374z +.1836z( )100 1-3.0544z +3.8291z -2.2925z +.55075zH z 例：例： 給定系統(tǒng)給定系統(tǒng)求： 頻率響應(yīng) 單位抽樣響應(yīng) 極零圖-1.5-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Real PartImaginary Part極零圖00.10.20.30.40.500.511.

13、500.10.20.30.40.5-10-8-6-4-20頻率響應(yīng)0510152025303540-0.1-0.0500.050.10.150.20.25單位抽樣響應(yīng)濾波的基本概念目的：去除噪聲，或不需要的成分；原理：信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)輸入輸出的關(guān)系。)(nx)(ny)(nh( )( )( )y nx ny n( )( )( )()()()jjjY zX z H zY eX eH e()jX e()jH ec()jY ec線性濾波的原理1011( )1zHzapz1111( )1zH zbpz11211(1)(1)( )(1)(1)jjzzHzcrezrez例：給定三個(gè)系統(tǒng)，分析其幅頻相應(yīng)010

14、2000.10.2-101-101Real PartImaginary Part00.5100.5101020-0.500.51-101-101Real PartImaginary Part00.5100.5101020-0.200.2-101-101Real PartImaginary Part00.5100.511.5( )h n極零圖()jH e極零分析是數(shù)字信號(hào)處理的基本功，對(duì)不太復(fù)雜的系統(tǒng)，應(yīng)能從系統(tǒng)的極零分布圖大致判斷出該系統(tǒng)的幅頻特性。MrrNkkrnxbknyany01)()()(觀察：實(shí)現(xiàn)本系統(tǒng)，需要一個(gè)加法器，觀察：實(shí)現(xiàn)本系統(tǒng)，需要一個(gè)加法器， 個(gè)乘法器，個(gè)乘法器， 個(gè)延遲

15、器。個(gè)延遲器。 2.5 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及信號(hào)流圖NMNM01( )( )( )1MrrrNkkkb zY zH zX za z若將上圖作一改造，可大量節(jié)約延遲器1( )( )1NkkkX zW za z)(1)(10zXzazbzYNkkkMrrr0( )( )MrrrY zW zb z10( )()( )( )()NkkMrrw na w nkx ny nb w nr 則：及直接實(shí)現(xiàn)： 2/110)(1)(NkkNkkkMrrrzHzazbzH12/2( )()Ny nx hhh)(nx1( )H z)(2/zHN)(ny 級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)：12,1,212,1,21( ),1,12kkkkkzzNHz

16、ka zaz12/2( )( )( )( )( )( )( )Ny nx nh nx nh nx nhn/21( )( )NkkH zHz12( )( )H zHz/2( )NHz)(nx)(ny并聯(lián)實(shí)現(xiàn)： 在數(shù)字信號(hào)處理中，由于表示“數(shù)”的字長(zhǎng)總是有限的，這就必然帶來(lái)誤差。對(duì)一個(gè)離散系統(tǒng)，這些誤差包括如下幾個(gè)方面： 模擬信號(hào)抽樣時(shí)的量化誤差 ，相當(dāng)于引人一個(gè)誤差 序列 ； 在系統(tǒng)中傳遞，最后出現(xiàn)在輸出端； 系統(tǒng)的系數(shù)也要量化，量化就必然產(chǎn)生誤差，該誤 差一定會(huì)影響系統(tǒng)的性能；系統(tǒng)中加、減和乘法運(yùn)算將產(chǎn)生舍入誤差 。( )e n( )e n請(qǐng)思考：直接實(shí)現(xiàn)、級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)和并聯(lián)實(shí)現(xiàn)，那一種實(shí)現(xiàn)方式對(duì)

17、上述誤差最不敏感？ 1filter.m本文件用來(lái)求離散系統(tǒng)的輸出y(n) 。 若系統(tǒng)的 h(n) 已知，由 y(n)=x(n)*h(n)，用conv.m文件可求出y(n) 。 filter文件是在A(z)、B(z)已知，但不知道h(n)的情況下求y(n)的。 調(diào)用格式是: y=filter(b, a, x) x, y, a 和 b都是向量。與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件2impz.m在 A（z）、B（z）已知情況下, 求系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng) h(n)。調(diào)用格式是： h = impz(b, a, N)或 h,t=impz(b,a,N) N是所需的的長(zhǎng)度。前者繪圖時(shí)n從1開(kāi)始，而后者從0開(kāi)始。 3

18、freqz.m已知A(z)、B(z), 求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)?；镜恼{(diào)用格式是： H,w=freqz(b,a,N,whole,Fs)N是頻率軸的分點(diǎn)數(shù)，建議N為2的整次冪；w是返回頻率軸座標(biāo)向量，繪圖用；Fs是抽樣頻率，若Fs1，頻率軸給出歸一化頻率；whole指定計(jì)算的頻率范圍是從0FS,缺省時(shí)是從0FS/2.4.zplane.m本文件可用來(lái)顯示離散系統(tǒng)的極零圖。其調(diào)用格式是： zplane(z,p), 或 zplane(b,a),前者是在已知系統(tǒng)零點(diǎn)的列向量z和極點(diǎn)的列向量p的情況下畫(huà)出極零圖，后者是在僅已知A(z)、B(z) 的情況下畫(huà)出極零圖。5. residuez.m 將H(z) 的有理分式分解成簡(jiǎn)單有理分式的和，