專題01,集合與常用邏輯用語(解析版)

1、專題01,集合與常用邏輯用語(解析版) 1 專題 01 集合與常用邏輯用語 1已知 a= 第一象限角， b = 銳角， c = 小于 90 ° 的角，那么 a、b、c關系是（ ） a b a c = Ç b c c = b c b a b = i d a b c = = 【答案】bc 【解析】 【分析】 根據(jù)集合 , , a b c 中角的范圍，對選項逐一分析，由此得出正確選項. 【詳解】 對于 a選項， a c 除了銳角，還包括其它角，比如 330 - ，所以 a選項錯誤. 對于 b 選項，銳角是小于 90 的角，故 b 選項正確. 對于 c 選項，銳角是第一象限角，故

2、c 選項正確. 對于 d選項， , , a b c 中角的范圍不一樣，所以 d選項錯誤. 故選：bc 【點睛】 本小題主要考查角的范圍比較，考查集合交集、并集和集合相等的概念，屬于基礎題. 2設集合 2 2| , , m a a x y x y = = - ? z ，則對任意的整數(shù) n ，形如 4 ,4 1,4 2,4 3 n n n n + + + 的數(shù)中，是集合 m 中的元素的有（ ） a 4n b 4 1 n+ c 4 2 n+ d 4 3 n+ 【答案】abd 【解析】 【分析】 將 4 ,4 1,4 3 n n n + + 分別表示成兩個數(shù)的平方差，故都是集合 m 中的元素，再用反證

3、法證明4 2 n m + ? . 【詳解】 2 24 ( 1) ( 1) n n n = + - - ， 4n m . 2 24 1 (2 1) (2 ) n n n + = + - ， 4 1 n m + ? . 2 2 24 3 (2 2) (2 1) n n n + = + - + ， 4 3 n m + ? . 若 4 2 n m + ? ，則存在 , z x y 使得2 24 2 x y n - = + ， 則 4 2 ( )( ), n x y x y x y + = + - + 和 xy -的奇偶性相同. 若 xy +和 xy -都是奇數(shù)，則 ( )( ) x y x y + -

4、 為奇數(shù)，而 4 2 n+ 是偶數(shù)，不成立； 若 xy +和 xy -都是偶數(shù)，則 ( )( ) x y x y + - 能被 4 整除，而 4 2 n+ 不能被 4 整除，不成立， 4 2 n m + ? . 故選：abd. 【點睛】 本題考查集合描述法的特點、代表元元素特征具有的性質(zhì) p ，考查平方差公式及反證法的靈活運用，對邏輯思維能力要求較高. 3下面命題正確的是（ ） a" 1 a > '是"11a< '的 充 分不 必 要條件 b命題"若 1 x< ,則21 x <'的 否 定 是" 存 在 1

5、 x< ,則21 x ³'. c設 , x y r Î ,則" 2 x ³ 且2 y ³ '是"2 24 x y + ³ '的必要而不充分條件 d設 , a bÎr ,則" 0 a ¹ '是" 0 ab¹'的必要 不 充 分 條件 【答案】abd 【解析】 【分析】 選項 a:先判斷由 1 a > ,能不能推出11a< ,再判斷由11a< ,能不能推出 1 a > ,最后判斷本選項是否正確； 選項 b: 根

6、據(jù)命題的否定的定義進行判斷即可. 選項 c:先判斷由 2 x ³ 且 2 y ³ 能不能推出2 24 x y + ³ ,然后再判斷由2 24 x y + ³ 能不能推出 2 x ³且 2 y ³ ,最后判斷本選項是否正確； 選項 d:先判斷由 0 a ¹ 能不能推出 0 ab¹ ,再判斷由 0 ab¹ 能不能推出 0 a ¹ ,最后判斷本選項是否正確. 【詳解】 3 選項 a:根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知：由 1 a > ,能推出11a< ,但是由11a< ,不能推出 1 a &g

7、t; ,例如當 0 a<時,符合11a< ,但是不符合 1 a > ,所以本選項是正確的； 選項 b: 根據(jù)命題的否定的定義可知：命題"若 1 x< ,則21 x <'的 否 定 是" 存 在 1 x< ,則21 x ³'.所以本選項是正確的； 選項 c:根據(jù)不等式的性質(zhì)可知：由 2 x ³ 且 2 y ³ 能推出2 24 x y + ³ ,本選項是不正確的； 選項 d: 因為 b 可以等于零,所以由 0 a ¹ 不能推出 0 ab¹ ,再判斷由 0 ab

8、5; 能不能推出 0 a ¹ ,最后判斷本選項是否正確. 故選：abd 【點睛】 本題考查了充分性和必要性的判斷,考查了命題的否定,屬于基礎題. 4已知兩條直線 l ， m 及三個平面 a ， b ， g ，則 ab 的充分條件是（ ） a l a Ì ， lb b la ， mb ， lm c ag ， b g d l a Ì ， m b Ì ， l m 【答案】abc 【解析】 【分析】 根據(jù)面面垂直的判定定理，即可得作出判斷. 【詳解】 由面面垂直定理可以判斷 , , a b c 正確， 對于選項 d ， l a Ì ， m b 

9、4; ， l m ，也可以得到 a b ，故 d 錯. 故選： abc . 【點睛】 本題主要考查的是面面垂直的判定定理、充分條件的判斷，考查學生的分析問題解決問題的能力，是基礎題. 5下列命題中，是真命題的是（ ） a已知非零向量 , a b ，若 , a b a b + = - 則 a b 4 b若 ( ) : 0, ,1 ln , p x x x " Î +¥ - > 則 ( )0 0 0: 0, , 1 ln p x x x Ø $ Î +¥ - £ c在 abc d 中，" sin cos sin

10、cos a a bb + = + '是" a b = '的充要條件 d若定義在 r 上的函數(shù) ( ) y f x = 是奇函數(shù)，則 ( ) ( ) y f f x = 也是奇函數(shù) 【答案】abd 【解析】 【分析】 對 a，對等式兩邊平方；對 b，全稱命題的否定是特稱命題；對 c， sin cos a a + = sin cos b b + 兩邊平方可推得2a bp+ = 或 ab =；對 d，由奇函數(shù)的定義可得 ( ) ( ) y f f x = 也為奇函數(shù). 【詳解】 對 a，2 22 2 2 22 2 0 a b a b a b a b a b a b a b

11、+ = - Þ + + × = + - × Þ × = ，所以 a b ，故 a正確； 對 b，全稱命題的否定是特稱命題，量詞任意改成存在，結(jié)論進行否定，故 b 正確； 對 c， sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos sin2 sin2 a a b b a a b b a b + = + Þ × = × Þ = ， 所以2a bp+ = 或 ab =，顯然不是充要條件，故 c 錯誤； 對 d，設函數(shù) ( ) ( ) ( ) f x f f x = ，其定義域為 r 關于原點對

12、稱，且( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f f x f f x f f x f x - = - = - =- =- ，所以 ( ) f x 為奇函數(shù)，故 d正確； 故選：abd. 【點睛】 本題考查命題真假的判斷，考查向量的數(shù)量積與模的關系、全稱命題的否定、解三角形與三角恒等變換、奇函數(shù)的定義等知識，考查邏輯推理能力，注意對 c 選項中 sin2 sin2 a b = 得到的是 , a b 的兩種情況. 6已知集合 a = x | ax £ 2,b =2,2 , 若 b a，則實數(shù) a 的值可能是（ ） a1 b1 c2 d2 【答案】abc 【

13、解析】 【分析】 由 b a Í 得到 2,2 滿足 2 ax£,列出不等式組即可求得 a 的取值范圍. 5 【詳解】 因為 b a,所以 2 , 2 a a Î Î , 2 22 2aa£ ìïí£ ïî,解得 1 a£ . 故選:abc 【點睛】 本題考查子集的概念,屬于基礎題. 7下列命題正確的有（ ） a命題 p ：" r x $ Î ，使得21 0 x x + + <'，則p Ø：" x r " 

14、06; ，21 0 x x + + ³'. b已知集合 ( , )| 2,( , )| 4 m x y x y n x y x y = + = = - = ,那么集合 mn Ç = (3, 1)- . c函數(shù) ( )2ln 1 y kx kx = - + 的定義域為 r ，則 k0 或 k4. d1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的 25%分位數(shù)為 3，90%分位數(shù)為 9.5. 【答案】ad 【解析】 【分析】 分別對 a，b，c，d四個選項進行判斷，找出正確的選項. 【詳解】 a. 命題 p ：" r x $ Î ，使得21 0 x x

15、 + + < '， p Ø，將存在 換成任意，再將結(jié)論否定，得：" x r " Î ，21 0 x x + + ³'，正確 b. 已知集合 ( , )| 2,( , )| 4 m x y x y n x y x y = + = = - = ，那么 集合 (3, 1) m n Ç = - ，應寫成集合的形式， (3, 1) m n Ç = - , b 項錯誤. c. 函數(shù) ( )2ln 1 y kx kx = - + 的定義域為 r ，則21 k kx - + 恒大于 0， 當 0 k = ，則有 1 0

16、 > ，恒成立，當 k 0 < ，不等式不恒成立, 當 0 k > ，則24 0 k k - < ， 0 4 k < < ，c 項錯誤. d. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，一共十個數(shù)字， 10 25% 2.5,10 90% 9 ´ = ´ = ， 故 25%分位數(shù)為 3，90%分位數(shù)為 9.5.正確. 6 故選：ad. 【點睛】 考查命題的否定，集合的形式，對數(shù)函數(shù)的定義域，以及求分位數(shù)的問題.屬中檔題.分位數(shù)補充：一般地，一組數(shù)據(jù)的第 p 百分數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有 (100 )% p - 的數(shù)據(jù)大于等于這

17、個值.可以通過以下步驟計算一組 n 個數(shù)的第 p 百分位數(shù)：第一步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第二步，計算 % i n p = ´ .第三步，若 i 不是整數(shù)，而大于 i 的比鄰整數(shù)為 j ，則第 p 百分位數(shù)為第 j 項數(shù)據(jù)，若 i 不是整數(shù)，則第 p 百分位數(shù)為第 i 與第 ( 1) i+ 項數(shù)據(jù)的平均值. 8下列選項正確的為（ ） a已知直線1l ： ( ) ( ) 2 1 1 0 a x a y + + - - = ，2l ： ( ) ( ) 1 2 3 2 0 a x a y - + + + = ，則1 2l l 的充分不必要條件是 1 a = b命題"若數(shù)列 2n

18、a 為等比數(shù)列，則數(shù)列 na 為等比數(shù)列'是假命題 c棱長為 a 正方體1 1 1 1abcd abc d - 中，平面1 1ac d 與平面1acb 距離為33a d已知 p 為拋物線22 y px = 上任意一點且 ( ) ,0 m m ，若 pm om ³ 恒成立，則 ( , m p Î -¥ 【答案】abcd 【解析】 【分析】 a分析" 1 a = '與"1 2l l '的互相推出情況，由此確定是否為充分不必要條件； b分析特殊情況：1 21, 2, 2 a a n = - = ³ 時，21 12 ,

19、 4n n n na a a a+ += = ，由此判斷命題真假； c將面面距離轉(zhuǎn)化為點到面的距離，從而可求出面面距離并判斷對錯； d根據(jù)線段長度之間的關系列出不等式，從而可求解出 m 的取值范圍. 【詳解】 a當 1 a = 時，11:3l x = ，22:5l y = - ，顯然1 2l l ； 當1 2l l 時， ( )( ) ( )( ) 2 1 1 2 3 0 a a a a + - + - + = ，解得1 a=± ， 所以1 2l l 的充分不必要條件是 1 a = 正確； b當1 21, 2, 2 a a n = - = ³ 時，21 12 , 4n n

20、n na a a a+ += = ，所以此時 2na 為等比數(shù)列， 7 但 na 不是等比數(shù)列，所以命題是假命題，故正確； c如圖所示： 由圖可知：1 1 1 1 1 1 1 1 1/ / , / / , , ac ac bc ad ac bc c ac ad a = = ，所以平面1/ / abc 平面1 1ac d ， 所以平面1 1ac d 與平面1acb 距離即為1b 到平面1 1ac d 的距離，記為 h ， 由等體積可知： ( )21 3 123 4 3 2a aa h aæ ö´´ ´ = ´ ´ç

21、÷ç ÷è ø，所以33h a = ，故正確； d設 ( )0 0, p x y ，因為 pm om ³ ，所以( )220 0x m y m - + ³ ， 所以 ( )22 20 0x m y m - + ³ 且20 02 y px = ，所以20 0 02 2 x px mx + ³ ， 當00 x = 時顯然符合，當00 x > 時02xm p £ + ，所以 m p £ ， 綜上可知： ( , m p Î -¥ .故正確. 故選：abcd. 【點睛】

22、 本題考查命題真假的判斷，難度一般.(1)判斷命題 p 是命題 q 的何種條件時，注意從兩方面入手：充分性、必要性；(2)立體幾何中求解點到平面的距離，采用等體積法較易. 9下列命題正確的是（ ） a2, , 2 ( 1) 0 a b r a b $ Î - + + £ b a r x r " Î $ Î ， ，使得 2 > ax c 0 ab¹ 是2 20 a b + ¹的充要條件 d 1 a b>- ，則1 1a ba b³+ + 【答案】ad 【解析】 【分析】 對 a當 2, 1 a b = =

23、 - 時，可判斷真假，對 b. 當 0 a = 時， 0 =0 2 x × < ，可判斷真假，對 c. 當 8 0, 0 a b = ¹ 時，可判斷真假，對 d可用作差法判斷真假. 【詳解】 a當 2,1 a b = = - 時，不等式成立，所以 a正確. b. 當 0 a = 時， 0 =0 2 x × < ，不等式不成立，所以 b 不正確. c. 當 0,0 a b = ¹ 時，2 20 a b + ¹成立，此時 =0 ab ，推不出 0 ab¹ .所以 c 不正確. d. 由(1 ) (1 )1 1 (1 )(1 )

24、 (1 )(1 )a b a b b a a ba b a b a b+ - + - = =+ + + + + +，因為 1 a b>- ，則1 1a ba b³+ +,所以 d正確. 故選：a d. 本題考查命題真假的判斷，充要條件的判斷，作差法比較大小，屬于中檔題. 10下面選項中錯誤的有（ ） a命題"若21 x = ，則 1 x='的否命題為："若21 x = ，則 1 x¹' b" a¹Æ '是" a b Ç ¹Æ '的充分不必要條件 c

25、命題" x r $ Î ，使得21 0 x x + - <'的否定是" x r " Î ，均有21 0 x x + - >' d命題"若 xy =，則 sin sin x y = '的逆否命題為真命題 【答案】abc 【解析】 【分析】 根據(jù)原命題與它的否命題的關系判斷 a ； 根據(jù)充分與必要條件的定義判斷 b ； 根據(jù)特稱量詞命題的否定是全稱命題判斷 c ； 根據(jù)互為逆否命題的兩個命題同真假可判斷 d ； 【詳解】 解：對于 a ，命題"若21 x = ，則 1 x='的否命題為

26、："若21 x ¹，則 1 x¹ ' a 錯誤； 對于 b ，由" a¹Æ '是得不到" a b Ç ¹Æ '，即" a¹Æ '是" a b Ç ¹Æ '不充分條件， 由 " a b Ç ¹Æ '可知" a¹Æ '，即" a¹Æ '是" ab Ç

27、 ¹Æ '必要條件，故" a¹Æ '是" a b Ç ¹Æ '必要不充分條件， b 錯誤； 9 對于 c ，命題" x r $ Î ，使得21 0 x x + - <'的否定是" x r " Î ，使得21 0 x x + - '， c 錯誤； 對于 d ，命題"若 xy =，則 sin sin x y = '為真命題，根據(jù)互為逆否命題的兩個命題同真假，可知，命題"若 xy =，則

28、sin sin x y = '的逆否命題為真命題， d 正確； 故選： abc 【點睛】 本題考查命題的真假的判斷與應用，考查四種命題的逆否關系，命題的否定以及充要條件的判斷，是基本知識的綜合應用 11下列命題正確的有（ ） a aÈÆ=Æ b () ( ) ( )u u uc a b c a c b È = È c a b b a Ç = Ç d ( )u uc c a a = 【答案】cd 【解析】 【分析】 利用集合的交、并、補運算法則直接求解 【詳解】 對 a，因為 a a ÈÆ= ，故

29、a 錯誤； 對 b，因為 ( ) ( ) ( )u u uc a b c a c b È = Ç ，故 b 錯誤； 對 c， a b b a Ç = Ç ，故 c 正確； 對 d， ( )u uc c a a = ，故 d 正確 故選：cd 【點睛】 本題考查命題真假的判斷，考查集合的交、并、補運算法則等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題 12不等式 1 4 x £ £ 成立的充分不必要條件為（ ） a 4, 1 - b 1,4 c 4, 1 1,4 - - È d 4,4 - 【答案】ab 【解析】 10 【分析】 解

30、出不等式 1 | | 4 x 剟 ，再利用集合間的關系，即可判斷出結(jié)論 【詳解】 由不等式 1 | | 4 x 剟 ，解得： 4 1 x - - 剟 或 1 4 x 剟 ， a,b 選項中的集合是不等式解集的真子集， 不等式 1 | | 4 x 剟 成立的充分不必要條件為 a,b 故選：ab 【點睛】 本題考查不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題 13關于下列命題正確的是（ ） a一次函數(shù) 3 2 0 kx y k + + - = 圖象的恒過點是213æ ö-ç ÷è ø， b3 3 2 2, , (

31、)( ) a b r a b a b a ab b " Î + = + + + c ( 2,4),( 2)(4 ) x y x x " Î - = + - 的最大值為 9 d若 p 為假命題，則( ) p Ø Ø 為真命題 【答案】ac 【解析】 【分析】 由直線恒過定點的求法可判斷 a ；由立方和公式可判斷 b ；由基本不等式可得所求最大值，可判斷c ；由復合命題的真值表可判斷 d 【詳解】 對 a，由 3 2 0 kx y k + + - = ，即 ( 1) 3 2 0 k x y + + - = ，可令 1 0 x+ = ，即

32、1 x=- ， 3 2 0 y- = ，可得23y = ，故直線 3 2 0 kx y k + + - = 恒過定點2( 1, )3- ，故 a正確； 對 b，由兩數(shù)的立方和公式可得 a " ， b r Î ，3 3 2 2( )( ) a b a b a ab b + = + - + ，故 b 錯誤； 對 c， ( 2,4) x " Î - ，可得 2 0 x+ > ， 4 0 x - > ，則22 4( 2)(4 ) ( ) 92x xy x x+ + -= + - = ，當且僅當 1 x= 時 y 取得最大值為 9，故 c 正確； 11 對 d，若 p 為假命題，則p Ø為真命題， ( ) p Ø Ø 為假命題，故 d錯誤 故選：ac 【點睛】 本題考查命題的真假判斷，考查直線恒過定點和基本不等式的運用，考查運算能力和推理能力，屬于基礎題 14已知 m x r |x2 2 ，a，有下列四個式子：(1)am ； (2) a m ；(3) a m ；(4) a m p Ç =