2018年春季學(xué)期西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育平時(shí)作業(yè)答案0346《初等數(shù)論》

1、0346?初等數(shù)論?概念解釋題一、解釋以下概念1. 表達(dá)整數(shù)b被整數(shù)a整除的概念。2. 表達(dá)合數(shù)的概念，并判斷21是否為合數(shù)。3. 80530是否是5的倍數(shù)，為什么？4. 表達(dá)質(zhì)數(shù)的概念，并寫出小于18的所有質(zhì)數(shù)。5. 表達(dá)模m的最小非負(fù)完全剩余系的概念。6. 2358是否是3的倍數(shù)，為什么？二、給出不定方程ax + by = c有整數(shù)解的充要條件并加以證明。三、給出有關(guān)同余的一條性質(zhì)并加以證明。四、表達(dá)帶余數(shù)除法定理的內(nèi)容并給出證明。概念解釋題答案一、解釋以下概念1. 表達(dá)整數(shù)b被整數(shù)a整除的概念。答：假設(shè)存在整數(shù)q使得b=aq，那么稱整數(shù)b被整數(shù)a整除。2. 表達(dá)合數(shù)的概念，并判斷21是否

2、為合數(shù)。答：一個(gè)大于1的整數(shù)，如果它的正因數(shù)除了1和它本身外，還有其它正因數(shù)，就叫作合數(shù)。21是合數(shù)，因?yàn)槌?和21外還有3，7是它的正因數(shù)。3. 80530是否是5的倍數(shù)，為什么？答：80530是5的倍數(shù)。因?yàn)橐粋€(gè)整數(shù)能被5整除的充要條件是它的個(gè)位數(shù)為5或0。4. 表達(dá)質(zhì)數(shù)的概念，并寫出小于18的所有質(zhì)數(shù)。答：一個(gè)大于1的整數(shù)，如果它的正因數(shù)只有1和它本身，就叫作質(zhì)數(shù)。小于18的所有質(zhì)數(shù)是2,3,5,7,11,13，17。5. 表達(dá)模m的最小非負(fù)完全剩余系的概念。答：0，1，2，m-1稱為m的最小非負(fù)完全剩余系。6. 2358是否是3的倍數(shù)，為什么？答：2358是3的倍數(shù)。因?yàn)橐粋€(gè)整數(shù)能被

3、3整除的充要條件是它的各個(gè)位數(shù)的數(shù)字之和為3的倍數(shù)，而2+3+5+8=18，18是3的倍數(shù)，所以2358是3的倍數(shù)。二、給出不定方程ax + by = c有整數(shù)解的充要條件并加以證明。解： 結(jié)論：二元一次不定方程ax + by = c有整數(shù)解的充要條件是。證明如下：假設(shè)ax + by = c有整數(shù)解，設(shè)為，那么但，因而，必要性得證。反之，假設(shè)，那么，為整數(shù)。由最大公因數(shù)的性質(zhì)，存在兩個(gè)整數(shù)s，t滿足以下等式于是。令，那么，故為ax + by = c的整數(shù)解，從而ax + by = c有整數(shù)解。三、給出有關(guān)同余的一條性質(zhì)并加以證明。答：同余的一條性質(zhì)：整數(shù)a，b對(duì)模m同余的充要條件是ma-b，即

4、a=b+mt ，t是整數(shù)。證明如下： 設(shè)，。假設(shè)abmodm，那么，因此，即mab。反之，假設(shè)mab，那么，因此，但，故，即abmodm。四、表達(dá)帶余數(shù)除法定理的內(nèi)容并給出證明。答：假設(shè)a，b是兩個(gè)整數(shù)，其中b>0，那么存在兩個(gè)整數(shù)q及r，使得a=bq+r，成立，而且q及r是唯一的。下面給出證明：證作整數(shù)序列，3b，2b，b，0，b，2b，3b，那么a必在上述序列的某兩項(xiàng)之間，及存在一個(gè)整數(shù)q使得qba<(q+1)b成立。令aqbr，那么r為整數(shù)，且aqbr，而。設(shè)是滿足2的另兩個(gè)整數(shù)，那么，所以，于是，故。由于r，都是小于b的正整數(shù)或零，故。如果，那么，這是一個(gè)矛盾。因此，從而。

5、填空題19除28的商是 。211除23的余數(shù)是 。36的正因數(shù)是 。44.5= 。58.3 +-8.3 = 。630的最小質(zhì)因數(shù)是 。7在所有質(zhì)數(shù)中，是偶數(shù)的是 。8在所有質(zhì)數(shù)中，最小的奇質(zhì)數(shù)是 。9大于4小于16的素?cái)?shù)有_ _ _。10不定方程有整數(shù)解的充分必要條件是 。11模5的最小非負(fù)完全剩余系是 。12模4的絕對(duì)最小完全剩余系是 。13的個(gè)位數(shù)是 。1477的個(gè)位數(shù)是_ _。15316的十進(jìn)位表示中的個(gè)位數(shù)字是 。1666的個(gè)位數(shù)是 。17710被11除的余數(shù)是 。181516，600= 。196的所有正因數(shù)的和是 _。2024與60的最大公因數(shù)是 。2135的最小質(zhì)因數(shù)是 。2246

6、的個(gè)位數(shù)是 。238的所有正因數(shù)的和是 _。2418的標(biāo)準(zhǔn)分解式為 。2520的歐拉函數(shù)值= 。填空題答案19除28的商是 3 。211除23的余數(shù)是 1 。36的正因數(shù)是 1,2,3,6 。44.5= 。58.3 +-8.3 = -1 。630的最小質(zhì)因數(shù)是 2 。7在所有質(zhì)數(shù)中，是偶數(shù)的是 2 。8在所有質(zhì)數(shù)中，最小的奇質(zhì)數(shù)是 3 。9大于4小于16的素?cái)?shù)有_5,7,11,13_ _。10不定方程有整數(shù)解的充分必要條件是 (a,b)|c 。11模5的最小非負(fù)完全剩余系是 0,1,2,3,4 。12模4的絕對(duì)最小完全剩余系是 -1,0,1,2 。13的個(gè)位數(shù)是 5 。1477的個(gè)位數(shù)是_ 3

7、 _。15316的十進(jìn)位表示中的個(gè)位數(shù)字是 1 。1666的個(gè)位數(shù)是 6 。17710被11除的余數(shù)是 1 。181516，600= 4 。196的所有正因數(shù)的和是 12 _。2024與60的最大公因數(shù)是 12 。2135的最小質(zhì)因數(shù)是 5 。2246的個(gè)位數(shù)是 6 。238的所有正因數(shù)的和是 15 _。2418的標(biāo)準(zhǔn)分解式為 。2520的歐拉函數(shù)值= 8 。計(jì)算題1. 求45與60的最大公因數(shù)。2. 求不定方程3x - 8y = 1的一切整數(shù)解。3. 求60與28的最大公因數(shù)。4. 解同余式3x º 2 (mod 5)。5. 求不定方程7x + 2y = 1的一切整數(shù)解。6. 解同

8、余式3x º 1 (mod 7)。7. 解同余式28x º 21 (mod 35)。8. 解同余式組：。9. 求不定方程3x + 2y = 2的一切整數(shù)解。10. 解同余式。計(jì)算題答案1. 求45與60的最大公因數(shù)。解：因?yàn)椋?5與60的最大公因數(shù)是，即15。2. 求不定方程3x - 8y = 1的一切整數(shù)解。解：因?yàn)?3,8) = 1，所以不定方程有整數(shù)解。顯然x = 3，y = 1是其一個(gè)特解，所以不定方程的一切整數(shù)解為x=3+8ty=1+3t，其中t取一切整數(shù)。3. 求60與28的最大公因數(shù)。解：因?yàn)椋?0與28的最大公因數(shù)是22，即4。 4. 解同余式3x

9、º 2 (mod 5)。解： 因?yàn)?，2=1，所以同余式有解，且有一個(gè)解。將0，1，2，3，4直接代入檢查知，4滿足同余式，所以同余式的解為x º 4 (mod 5)。5求不定方程7x + 2y = 1的一切整數(shù)解。解：因?yàn)?,2=1,1|1，所以不定方程有解。觀察知其一個(gè)整數(shù)解是。于是其一切整數(shù)解為，t取一切整數(shù)。6解同余式3x º 1 (mod 7)。解：因?yàn)?,7= 1，所以同余式有解且有一個(gè)解。由3x - 7y = 1得，所以同余式的解為7解同余式28x º 21 (mod 35)。解：因?yàn)?8，35 = 7，而7|21，所以同余式28x

10、86; 21(mod 35)有解，且有7個(gè)解。同余式28x º 21(mod 35)等價(jià)于4x º 3(mod 5)，解4x º 3(mod 5)得x º 2(mod 5)，故同余式28x º 21(mod 35)的7個(gè)解為x º 2，7，12，17，22，27，32(mod 35)。8解同余式組：。解：由得，將其代入得，解得，即，所以，所以解為。9.求不定方程3x + 2y = 2的一切整數(shù)解。解：因?yàn)?3,2) = 1，所以不定方程有整數(shù)解。顯然是其一個(gè)特解，所以不定方程的一切整數(shù)解為x=2ty=1-3t，其中t取一切整數(shù)。10.

11、 解同余式。解：因?yàn)?4,5) = 1，所以同余式有解，且只有1個(gè)解。將0,1,2,3,4代入檢查知4滿足，所以同余式的解為。證明題1. 設(shè)m, n為整數(shù)，證明m+n, m-n與mn中一定有一個(gè)是3的倍數(shù)。 2. 設(shè)n是整數(shù)，證明6 | n(n + 1)(2n + 1)。3. 設(shè)n是整數(shù)，證明：。設(shè)x，y均為整數(shù)。4. 證明：假設(shè)，那么。5. 設(shè)x，y均為整數(shù)。證明：假設(shè)，那么。 6. 證明：假設(shè)k是整數(shù)，那么是奇數(shù)。證明題答案1.設(shè)m, n為整數(shù)，證明m+n, m-n與mn中一定有一個(gè)是3的倍數(shù)。證明：假設(shè)m或n為3的倍數(shù)，那么mn是3的倍數(shù)；假設(shè)m是3的倍數(shù)加1，n是3的倍數(shù)加1，那么m-n是3的倍數(shù)；假設(shè)m是3的倍數(shù)加1，n是3的倍數(shù)加2，那么m+n是3的倍數(shù)；假設(shè)m是3的倍數(shù)加2，n是3的倍數(shù)加1，那么m+n是3的倍數(shù)；假設(shè)m是3的倍數(shù)加2，n是3的倍數(shù)加2，那么m-n是3的倍數(shù)，結(jié)論成立。2.設(shè)n是整數(shù)，證明6 | n(n + 1)(2n + 1)。證明： 因?yàn)閚(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)(n 1) + n(n + 1)(n + 2)，而三個(gè)連續(xù)整數(shù)的積可被6整除，所以6 | n(n + 1)(2n + 1)