高數(shù)第七章 微分方程

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 微分方程微分方程 第七章第七章yxfy求已知, )( 積分問題積分問題 yy求及其若干階導(dǎo)數(shù)的方程已知含, 微分方程問題微分方程問題 推廣推廣 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 微分方程的基本概念 第一節(jié) 第七章 常微分方程偏微分方程(本章內(nèi)容)微分方程的基本概念微分方程的基本概念分類含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程微分方程 .微分方程的階微分方程的階.方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0),()(nyyyxF一般地 , n 階常微分方程的形式是 使方程成為恒等式的函數(shù).通解通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程) 1(0

2、0) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 確定通解中任意常數(shù)的條件.的階數(shù)相同.特解特解微分方程的解微分方程的解 不含任意常數(shù)的解, 定解條件定解條件 其圖形稱為積分曲線.n 階方程的初始條件(或初值條件):,00ts200ddtts引例引例14 . 022ddts2122 . 0CtCtstts202 . 02目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可分離變量微分方程 第二節(jié)xxfyygd)(d)()()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22可分離變量方程的類型:12d( )d( )yf xxfy2121( )( )dd( )( )NyM xyx

3、MyN x轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 分離變量分離變量 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(兩邊積分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(則有說明：說明：設(shè)左右兩端的原函數(shù)分別為 G(y), F(x), 說明由分離變量得確定的隱函數(shù) 是的解； )(xy當(dāng)G(y)與F(x) 可微且 時(shí), 0)()(ygyG 也是的解. )(yx同樣, 當(dāng) 時(shí),由確定的隱函數(shù) 0)()(xfxF稱為方程的 , 或 .隱式通解通積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 減解. 在求解過程中每一步不一定是同解變形,求微分方程yxxy23dd的通解.解解xxyyd3d2兩邊積分xxyy

4、d3d2得13lnCxyCxylnln3即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令( C 為任意常數(shù) )或說明說明:因此可能增、( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 )例例1 1分離變量得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例20d)1(d2yxxyx解解xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始條件得 C = 1,112xy( C 為任意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y解初值問題分離變量得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2

5、(yxyxy(1) 分離變量(2) 方程變形為yxysincos2Cxysin22tanln目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 齊次方程 第三節(jié),xyu ,xuy 則代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分, 得xxuuud)(d積分后再用代替 u, 便得原方程的通解.解法解法:分離變量: 形如)(ddxyxy的方程叫做齊次方程 . 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.tanxyxyy解解 ,xyu 令,uxuy則代入原方程得uuuxutan分離變量xxuuuddsincos兩邊積分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即

6、故原方程的通解為xCxysin( 當(dāng) C = 0 時(shí), y = 0 也是方程的解)( C 為任意常數(shù) )0C此處解微分方程目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.0dd)2(22yxxyxy解解2d2,dyyyxxx,xyu 令則有22uuuxu分離變量xxuuudd2積分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原變量得通解即Cuux )1(yCxyx)(說明說明:(C 為任意常數(shù))在求解過程中丟失了. 解微分方程方程可變形為顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一階線性微分方程 第四節(jié) 第七章 一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:

7、)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 稱為 ;齊次線性方程齊次線性方程 稱為 .非齊次線性方程非齊次線性方程1. 解齊次方程解齊次方程0)(ddyxPxy分離變量xxPyyd)(d兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為xxPCyd)(e目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxPCyd)(e對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解xxPCd)(e2. 解非齊次方程解非齊次方程)()(ddxQyxPxy,e)()()(xxPxuxyd則xxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed

8、)(d)(y即即作變換xxPuxPd)(e)(xxPxQxud)(e)(ddCxxQuxxPde)(d)(兩端積分得用 :常數(shù)變易法常數(shù)變易法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0d2d3yyxyyxx例例5的通解 .解解,d2d, 0,xxxyx此時(shí)不妨設(shè)d1d2xxyyy yyP21)(yyQ1)(exyy2de1(yyy2d故方程可變形為yy1y1 lndCy 所求通解為 )0(eCCyyxyCyln這是以x為因變量 y 為自變量的一階線性方程Cylnd)0(C求方程注意 x, y 同號(hào),由一階線性方程 , 得通解公式通解公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解方程yxxy1ddyxyxdd, y

9、xu, xuy1ddddxuxy法法1.線性方程 法法2. 則 代入原方程得 ,11dduxuuuxu1dd可分離變量方程例例6 6取 y 作自變量:作變換由此可解得原方程的通解為. 1yCexy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1 一階線性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法.方法2 用通解公式CxxQyxxPxxPde)(e)()(dd2. 注意用變量代換將方程化為已知類型的方程例如, 解方程2d2,d6yyxxy可轉(zhuǎn)化為解線性方程d3.d2xyxyy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)判別下列方程類型:xyyxyxyxdddd

10、) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxy提示提示:xxyyydd1 可分離 變量方程xyxyxylndd齊次方程221dd2xyxxy線性方程221dd2yxyyx線性方程目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可降階高階微分方程 第五節(jié)一、 型的微分方程 ( )( )nyf x二、 型的微分方程 ( , )yf x y三、 型的微分方程 ( ,)yf y y四、應(yīng)用型例題選講 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、)()(xfyn型的微分方程 例例7 .cose2xyx 求解解解 12dcoseCxxyx 12sine21Cxxxy2e

11、41xy2e811121CC此處xsin21xC32CxCxcos21CxC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為),(1Cxp則得),(1Cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解 ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得pxpx2)1(2分離變量分離變量)1(d2d2xxxpp積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用利用, 31C得于是有)1(32xy兩端再

12、積分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為求解目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為),(1Cyp即得),(1Cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dCxCyy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9解解0e2 yy,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則代入方程得yppyded2積分得1221221eCpy利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據(jù)ypxyedd積分得,e2Cxy, 00 xy再

13、由12C得故所求特解為xye1得解初值問題 令目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高階線性微分方程 第六節(jié)一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) 二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n 階線性微分方程階線性微分方程(二階線性微分方程)( )( )( )yP x yQ x yf x)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn時(shí), 稱為非齊次方程 ; 0)(xf時(shí), 稱為齊次方程.復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):)()(xQyxPy通解:xxQxxPxxPde)(ed)(d)(xxPCyd)(e非齊次方程特解齊次方程通解Yy0)(xf的一般

14、形式為一階線性方程目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(11yCxP )(11yCxQ0證畢一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個(gè)解,也是該方程的解.證證 )()(2211xyCxyCy將代入方程左邊, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (疊加原理) )()(2211xyCxyCy則),(21為任意常數(shù)CC定理定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,)(1xy是某二階齊次方程的解,)(2)(12x

15、yxy也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy則為解決通解的判別問題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無關(guān)概念. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無關(guān)的)(),(21xyxy線性相關(guān)存在不全為 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無妨設(shè))01k)(),(21xyxy線性無關(guān))()(21xyxy常數(shù)思考思考:)(),(21xyxy若中有一個(gè)恒為 0, 則)(),(21xyxy必線性相關(guān)相關(guān)充要條件充要條件:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理

16、 2 )(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)特解, )()(2211xyCxyCy數(shù)) 是該方程的通解.例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常數(shù),故方程的通解為xCxCysincos21(自證) 推論推論. nyyy,21若是 n 階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 個(gè)線性無關(guān)解, 則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)是二階非齊次方程的一個(gè)特解, )(*)(xyx

17、YyY (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 3 )()()(xfyxQyxPy 則是非齊次方程的通解 .證證)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ將目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(*)(xyxYy故是非齊次方程的解, 又Y 中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如例如, xyy 有特解xy *xCxCYsincos21對(duì)應(yīng)齊次方程0 yy有通解因此該方程的通解為xxCxCysincos21證畢因而 也是通解 .方程目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 4 ),2, 1()

18、(mkxyk設(shè)分別是方程的特解,是方程),2, 1()()()(mkxfyxQyxPyk mkkyy1則)()()(1xfyxQyxPymkk 的特解. 定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程. (非齊次方程之解的疊加原理)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 5 )(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是對(duì)應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn無關(guān)特解, 給定 n 階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齊次方程的特解, 則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解目錄 上頁 下頁

19、 返回 結(jié)束 常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).321,yyy設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例2 提示提示:3231,yyyy都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān) . 3322311)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD(反證法可證)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10 已知微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x個(gè)解,e,e,232

20、1xxyyxy求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解 1312yyyy與是對(duì)應(yīng)齊次方程的解, 且xxyyyyxx21312ee常數(shù)因而線性無關(guān), 故原方程通解為)(e)(e221xCxCyxxx代入初始條件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.ee22xxy故所求特解為有三 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常系數(shù) 第七節(jié)齊次線性微分方程 基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二階常系數(shù)齊次線性微分方程:),(0為常數(shù)qpyqypy xrye和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得0e)(2xr qprr

21、02qrpr( r 為待定常數(shù) ),xrre,函數(shù)為常數(shù)時(shí)因?yàn)樗粤畹慕鉃?稱為微分方程的 ,特征方程特征方程其根稱為 . 特征根特征根目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 實(shí)根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例11 032 yyy求方程的通解.解解, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解為xxCCy321ee例例120dd2dd22stst

22、s,40ts20ddtts解解0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為ttCCse)(21利用初始條件得, 41C于是所求初值問題的解為ttse)24(22C特征方程求解初值問題特征方程目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例136130yyy01,xy05xy 解解26130rr有特征復(fù)根1232 ,32 ,ri ri 因此原方程的通解為312e(cos2sin2 )xyCxCx利用初始條件得11,C 于是所求初值問題的解為3e(cos2sin2 )xyxx21C 求解初值問題特征方程目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)),(0為常數(shù)qpyqypy 特征根:21, rr(1) 當(dāng)時(shí), 通解為xrxrCCy21ee2121rr (2) 當(dāng)時(shí), 通解為xrxCCy1e)(2121rr (3) 當(dāng)時(shí), 通解為)sincos(e21xCxCyxi2, 1r可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常系數(shù)非齊次線性微分方程 第八節(jié)二、二、xxPxflxcos)(