liu9-4復合函數(shù)的導數(shù)ppt課件

1、復習復習1. 微分定義微分定義:),(為例以yxfz zyyxfxyxfyx),(),(dz yyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關系重要關系:)( o函數(shù)可導函數(shù)可導函數(shù)可微函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)能能3.多元函數(shù)全微分的求法；多元函數(shù)全微分的求法；dddzzzxyxy dddd .uuuuxyzxyz ，),(yxfz ),(zyxfu 4. 判定函數(shù)可微的方法判定函數(shù)可微的方法:2200lim0()( , ),)xyyxf xx yyf x yxyfxfy 定義法偏導連續(xù)是是回憶：一元復合函數(shù)的求導法則回憶：一元復合函數(shù)的求導法則（鏈式法則）

2、（鏈式法則）問題問題: :( ),( ) ( )yf uuxyfx dydy dudxdu dx那么那么yux),(),( xxfy )(),(),(. 1xvxuvufy 復合而成的函數(shù)復合而成的函數(shù)那那么么? xy即即?dd xy),(),(),(. 2yxvyxuvufz 復合而成的函數(shù)復合而成的函數(shù)),(),( yxyxfz ? ?zzxy那那么么第四節(jié)第四節(jié)一元復合函數(shù)一元復合函數(shù))(),(xuufy求導法則求導法則xuuyxydddddd本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則二、多元復合函數(shù)的全微分二、多元復合函數(shù)的全微分xxufuufyd)

3、()(d)(d微分法則微分法則多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則 第九章 )(),(ttfz一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則定理定理. 若函數(shù)若函數(shù),)(, )(可導在點ttvtu),(vufz 處偏導連續(xù)處偏導連續(xù), ),(vu在點在點在點 t 可導可導, ddddddzzuzvtutvtz則復合函數(shù)則復合函數(shù)且有鏈式法則且有鏈式法則vutt則有則有I.I.復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形：復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形：證證: 由已知由已知 可微可微),(vu在點),(vufz dddzzzuvuv又有又有 在點在點 t 處可導處可導 ( )

4、,( )utvtddd ,ddduvdut dvttt則有則有代入：代入：ddddddduvtzzzuvttt代入：代入：ddddddduvtzzzuvtttddddddzzuvuttzvt dddddduvzzzutttv 利用一元函數(shù)的一階微分形式不變性利用一元函數(shù)的一階微分形式不變性( )yf u 對于函數(shù)對于函數(shù) 不論不論 u 是自變量還是因變量是自變量還是因變量,d( )dyfuu 都都有有d( )dyfuu ( 全導數(shù)公式全導數(shù)公式 )tvvztuuztzddddddzvutt若定理中若定理中 說明: ),(),(vuvuf在點偏導數(shù)連續(xù)減弱為偏導數(shù)連續(xù)減弱為可微可微, 則定理結論

5、仍成立則定理結論仍成立.特點特點: : 中間變量是一元函數(shù)中間變量是一元函數(shù). .,sin,342xveuuvvuzx .ddxz解解xvvzxuuzxzdddddd xuvuevuvxcos)12()32(324 .cos)sin12()sin3sin2(324xxeeexxexxxx ?dd0 xxz, 01 vu、 0ddxxz0, 0, 1324cos)12()32( xvuxxuvuevuv. 10cos100 euvxzx推廣推廣:1) 中間變量多于兩個的情形中間變量多于兩個的情形. 例如例如, ),(wvufz 設下面所涉及的函數(shù)都可微設下面所涉及的函數(shù)都可微 .tzddzwvu

6、tuuzddtvvzddtwwzdd)(, )(, )(twtvtuttt2) 中間變量是多元函數(shù)的情形中間變量是多元函數(shù)的情形.例如例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzvuyxyxxuuzxvvzyuuzyvvz口訣口訣 : :2 中間變量是多元函數(shù)的情形中間變量是多元函數(shù)的情形.類似地還可以推廣：類似地還可以推廣： 設設),(wvufz 具有連續(xù)偏導數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù),而而),(),(),(yxwyxvyxu 都具有偏導數(shù)，都具有偏導數(shù)， 那那么么復合函數(shù)復合函數(shù)),(),(),(yxyxyxfz 有對自變量有對自變量x、y的偏導數(shù)，的偏導數(shù)

7、，且且 xuufxz yuufyz xvvf,xwwf yvvf.ywwf zvuyxyxwxy如如：( , ),( , ),( )zf u v ux y vy;xuuzxz zz uzyu yv 注意：注意：1.這里這里v與與x無關，無關，且在一元函數(shù)求導時，且在一元函數(shù)求導時，將記號將記號”“ 改為改為“d”.zvuxyy2.2.注意各個符號的含義注意各個符號的含義. .3.3.弄清變量間的關系弄清變量間的關系. .d.dvy( , , )zf u x y 如如：),(yxu 其中其中即即,),(yxyxfz ,zuxxxffu.zuyyyffu令令,xv , yw ,zzuzvxuxvx

8、 ,zzuzwyuywy zvu xyxwyzuxxyy( , ,),( , ),zf u v w ux y vx wy ,zuxxxffu.zuyyyffu,xfxuufxz .yfyuufyz 兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似 ( , ), , ,zfx yx y ( , , ),( , )zf u x y ux y zuxxyy如：),(, ),(yxvvxfz當它們都可微時當它們都可微時,有有xz121ffyz22 ffz xyxxfxvvfyvvfv 這樣一來，我們就可以對各類多元復合函數(shù)求偏這樣一來，我們就可以對各類多元復合函數(shù)求偏導數(shù)導數(shù). .只要弄清它們的復合結構，及變量之

9、間的關系，只要弄清它們的復合結構，及變量之間的關系，用鎖鏈法則和正確的符號表示即可用鎖鏈法則和正確的符號表示即可. .口訣口訣 : :有幾個中間變量就有幾項有幾個中間變量就有幾項, , 有幾層復合就有幾層乘積有幾層復合就有幾層乘積. .例例2 設設,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx例例3 3,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解xu2222zyxexyxyxeyxx2422

10、sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2求多元復合函數(shù)的導數(shù)的步驟：求多元復合函數(shù)的導數(shù)的步驟：畫出變量關系圖；畫出變量關系圖；由關系圖得出求導公式由關系圖得出求導公式;求出所需的偏導數(shù)求出所需的偏導數(shù)(或導數(shù)或導數(shù)); 代入公式代入公式,化簡即可化簡即可.Fuyx例例4 設設解解 xz( )xy ( )xF u )(2uFx yz,),(22yxuuFyz 求求.,yzxz ( )yy ( )yF u 12( ).yF u 恰當?shù)睦们?/p>

11、導的四則恰當?shù)睦们髮У乃膭t法則，會使計算簡單法則，會使計算簡單. .為簡便起見 , 引入記號,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例5 設設 f 具有二階連續(xù)偏導數(shù), ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解 令令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy那那么么zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff1()(),zf xyyxyfx 具具有有2.zx y 求求x先先求求 的的偏偏導導數(shù)數(shù)比比較較復復雜雜，由題意知由題意知:混合偏導數(shù)相等，混

12、合偏導數(shù)相等，,zy 則則先先求求2019zy 1()()(),fxyxxyyxyx ()()(),fxyxyyxy 2zx y 2zy x ()()().yfxyxyyxy 二階連續(xù)二階連續(xù)偏導數(shù)，偏導數(shù)，二、多元復合函數(shù)的全微分二、多元復合函數(shù)的全微分設函數(shù)設函數(shù)),( vufz 具有連續(xù)偏導數(shù)，具有連續(xù)偏導數(shù)， 則全微分則全微分;dddvvzuuzz 當當),(),(yxvyxu 時，時，有有.dddvvzuuzz 全微分形式不變性的實質：全微分形式不變性的實質：無論無論z是自變量是自變量u、v的函數(shù)或是中間變量的函數(shù)或是中間變量u、v的函數(shù)，的函數(shù)， 它的全微分形式是一它的全微分形式是

13、一 樣的樣的. xvvzxuuzyyzxxzzddd yvvzyuuz yyuxxuuzdd yyvxxvvzdd uuzd.dvvz ，),(),(),(yxvyxuvufz xdyd )cos( )sin(yxyxeyx例例2 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 7 利用全微分形式不變性再解例利用全微分形式不變性再解例2 解解d( d )z uveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()s

14、in(yxyxxeyx)d(dyxd xdy)dd(yxxy例例8 8,),(具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導其其中中設設fzxyzxyfu .,zuyuxudu 及及求求解解)()()(321zxdfyzdfxydfdu )()()(321zdxxdzfzdyydzfxdyydxf dzfxf ydyf zfxdxf zf y)()()(322131 31f zf yxu 21f zfxyu fxf yzu 2dzzudyyudxxudu 內(nèi)容小結1. 復合函數(shù)求導的鏈式法則復合函數(shù)求導的鏈式法則例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22.

15、全微分形式不變性全微分形式不變性, ),(vufz 對不論不論 u , v 是自變量還是因變量是自變量還是因變量,d( , )d( , )duvzfu vufu vv xz.uvuxzzvx yz.uvuyzzvy ,ffuxuxxz .zfufyuyyddd.dddzzuzvtutvt zvuttzvuyxyxzvyxyx牢記求導的公式牢記求導的公式和方法、符號和方法、符號求抽象的復合函數(shù)的偏導數(shù)求抽象的復合函數(shù)的偏導數(shù)-鏈式法則鏈式法則( , ),( ),( )zf u v ut vt ( , ),( , ),( , )zf u v ux y vx y( , , ),( , )zf x y

16、 v vx y 有幾個中間變量就有幾項有幾個中間變量就有幾項, , 有幾層復合就有幾層乘積有幾層復合就有幾層乘積. .P82 題8(2)xuy11f 11fyyu1f )(2yx2f z1zu2f )(2zy2121fzfyx22fzyzyyxfu,備用題備用題,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1. 知求.),(22xyyxf解解: 由由1),(2xxf兩邊對 x 求導, 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf2. ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf

17、),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在點)1 , 1(處可微 , 且設函數(shù),3) 1 , 1 (yf解解: 由題設由題設23)32( (2019考研考研)(,)(),xyzf xygf gyx 設設其其中中具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)2.zx y 求求2000zx 1221( ) ()yyfyfgyxx 1221yyffgyx 2zx y 1221yyyffgyx 12122221111ffyfyfggyyyyxxx 1212223111,ffyfyfggyyyyxx 121112212222(),(),ffxxxffxffyyyy 2zx y 1212223111,ffyfyfggyyyyxx 121112212222(),(),ffxxxffxffyyyy 2zx y 1111