幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)運算定律教學(xué)中的應(yīng)用

1、幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)運算定律教學(xué)中的應(yīng)用附件2：【2012年東莞市小學(xué)數(shù)學(xué)教研會】參 評 教 學(xué) 論 文題目：幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)運算定律教學(xué)中的應(yīng)用 姓 名： 莫 襯 平 單 位： 莞城中心小學(xué) 聯(lián)系電話幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)運算定律教學(xué)中的應(yīng)用【摘要】幾何直觀是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）中新增的核心概念。小學(xué)數(shù)學(xué)中的運算定律是小學(xué)階段的重要內(nèi)容，但學(xué)生在理解和應(yīng)用上有一定的困惑，特別是在應(yīng)用運算定律進行簡算時易出現(xiàn)混淆。借助幾何直觀的教學(xué)，了解知識的幾何背景，幫助學(xué)生描述、理解運算定律；借助直觀圖形分析算式的意義，明確算理、辨別正誤；借助直觀圖形引發(fā)學(xué)生思維的靈

2、感，發(fā)現(xiàn)解題思路。幾何直觀在教學(xué)中的應(yīng)用，不僅使學(xué)生更好的掌握知識，亦能使課堂教學(xué)活潑起來，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！娟P(guān)鍵詞】幾何直觀 運算定律 理解 思維幾何直觀是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）（以下簡稱標準）中新增的核心概念，它是指“利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！睆倪@段話中，可以領(lǐng)悟到：幾何直觀是一種思維，這種思維由幾何直觀做向?qū)?；幾何直觀能啟迪思路，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化；幾何直觀還能揭示知識的本質(zhì)，找出知識間的關(guān)系，對學(xué)生

3、的能力培養(yǎng)發(fā)揮著重要作用。在小學(xué)四年級的運算定律教學(xué)中，借助幾何直觀教學(xué)，了解其幾何背景，不僅幫助學(xué)生理解概念、分析及發(fā)現(xiàn)算式間的關(guān)系，亦能使課堂教學(xué)活潑起來，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，誘發(fā)對知識的進一步理解與運用。一、借助幾何直觀，描述和理解運算定律在小學(xué)，運算定律共有5條，雖然這5條運算定律并不復(fù)雜，但對于小學(xué)生來說還是比較抽象的，他們通常在表示方法上會寫錯，在應(yīng)用上也會搞混。在教學(xué)運算定律的過程中，幾乎所有的教材都是先通過具體的問題情景，從代數(shù)方面進行思考探索。具體做法：用不同的方法解決問題，通過計算，得出兩種方法算出的結(jié)果是相等的，因而兩個算式有相等關(guān)系；然后模仿等式的結(jié)構(gòu)再列舉一些算式，再

4、通過計算說明算式結(jié)果相等，從而得出這樣的結(jié)構(gòu)的算式是相等的；最后觀察等式結(jié)構(gòu)歸納概括出規(guī)律。這種不完全歸納法對于小學(xué)領(lǐng)域的知識和幾歲小學(xué)生的閱歷當然是可行的。但也不能排除學(xué)生對知識的懷疑，在訪談中，不少的學(xué)生理直氣壯地提出疑問：左右兩邊的算式確實是變了，結(jié)果為什么會不變的呢？這是小學(xué)生典型的形象思維。圖形能以其生動的形象給人留下深刻的印象，更以其直觀而讓人信服。可以說，在數(shù)學(xué)中再沒有什么別的東西比幾何圖形更容易進入人們腦海的了。所以，對于上面所出現(xiàn)的疑問，教師只用口頭解釋可能越讓學(xué)生糊涂，借助學(xué)生熟悉的幾何圖形來描述或解釋運算定律，那么收效就大為不同了。教學(xué)片段：當師生列舉出若干例子后，師問：

5、這樣的算式能寫完嗎？用你喜歡的方式表達一下。1加法交換律生：（用字母表示）a+b=b+a師：從a+b到b+a，兩道算式確實變了，為什么會是相等的呢？能有別的方法說明嗎？（學(xué)生一時想不到方法，沉默）老師出示線段圖：問：現(xiàn)在可以說明嗎？學(xué)生眼前一亮，無須解釋，無須討論，從圖中可以直接洞察到：無論是a+b或b+a線段的總長度不變，當然a+b=b+a。2加法結(jié)合律 老師提供任意三角形圖： 師：請用多種方法求三角形的周長。 從圖中可以看出，這個三角形的周長可用代數(shù)式表示為：(a+b)+c、a+(b+c)和(a+c) +b，從而(a+b)+c=a+(b+c)=(a+c) +b.3乘法交換律 乘法的規(guī)律有點

6、復(fù)雜，筆者借助實物直觀圖再向抽象直觀圖過渡，讓學(xué)生更好的理解定律的內(nèi)涵： 圖1 圖2 圖3 圖4 教學(xué)中，讓學(xué)生借助圖描述：（圖1）一行一行地數(shù)，每行4個，有3行，共有 4×3個小圓；（圖2）一列一列地數(shù)，每列有3個，有4列，共有3×4個，總個數(shù)不變，所以4×3=3×4。 （圖3）3和4可以是一個長方形的長和寬，那么4×3和3×4都是這個長方形的面積。所以4×3=3×4。 同樣的道理：（圖4）a×b=b×a，交換兩個因數(shù)的位置，積不變。4乘法結(jié)合律直觀圖：問：一共有多少個 ？按圖（1）方法數(shù)：共

7、有（3×2）×2 ，按圖（2）方法數(shù)：共有3×（2×2）個 。所以（3×2）×2=3×（2×2）。同理，算出圖（3）那樣由C個小長方形組成的大長方形的面積可以：先a×b算出一個小長方形的面積，再（a×b）×c算出大長方形的面積；也可以b×c算出長方形的總長，再用a×（b×c）得出長方形的面積。因此：（a×b）×c=a×（b×c）5乘法分配律如圖：師：請你根據(jù)上圖說明a×(b+c)= a×b+a&#

8、215;c以上述片段，借助生熟悉的幾何直觀圖，形象地展示規(guī)律的內(nèi)涵，使抽象的規(guī)律讓學(xué)生真實地看到了，還有什么疑惑可言？正如標準所述“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象.幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)”。同時，可以用這些簡單的圖形幫助學(xué)生記憶運算定律，深化理解運算定律。（二）借助幾何直觀，分析算式的意義學(xué)習(xí)運算定律后，教材安排了應(yīng)用運算定律進行一些簡便運算，學(xué)生由于過于關(guān)注“數(shù)”，因而對于結(jié)構(gòu)相似的算式容易混淆，當然這是跟對題目的分析不無關(guān)系。如果只知一味的計算，或者死記一些結(jié)構(gòu)，不知換一個思路，從幾何直觀上想一想，就可能讓學(xué)生走進錯誤的旋窩中，很難走出來。案例一：178(78+66) 去掉括號后

9、學(xué)生寫成17878+66 師：下面兩道算式你覺得相等嗎？為什么？178(78+66)和17878+66 大部分學(xué)生是通過計算來說明的，結(jié)果是當然有兩種-相等與不等，對的還是對，錯的還是錯，誰也說服不了誰。這時，老師提議：“用線段圖表示這兩道算式的意思吧，（在另一個班讓學(xué)生用喜歡的圖形表示出算式的意義），看看結(jié)果會是怎樣的？” 生：表示結(jié)果的線段長度不一樣的！第一幅圖顯示在一條線段中依次減去兩條短線段，而第二幅圖只是減去一條短線段，然后加上一條短線段。當然不一樣， 178(78+66)不等于1787866；178(78+66)而是與1787866相等。案例二：用簡便方法計算25×（4+

10、8），學(xué)生寫成：25×（4+8）=25×48。一看這個例子，你是否覺得很面熟呢？相信每一屆的學(xué)生都會有這樣的情況。那么，我們用什么方法盡量地減少學(xué)生這種錯誤的理解呢？就用這樣一個小幾何直觀圖： 師：還記得我們學(xué)習(xí)乘法分配律時用到的這個圖形嗎？現(xiàn)在想想兩道算式所求的面積是否相同？ 學(xué)生直接感知到25×（4+8）是整個長方形的面積，而25×4+8是一個面積加一條邊長，或 25×4個面積單位加8個面積單位，顯然是不等了。 像這樣的案例很多，對于關(guān)系較多、較復(fù)雜的算式，老師越是解釋，學(xué)生可能越糊涂，用幾何直觀就能使問題簡單化、形象化。更有意思的是，由于

11、經(jīng)常用這種方法分析問題，在學(xué)生的頭腦中總會出現(xiàn)相關(guān)的圖形，因此，對算式的理解更清晰了，在算式的運算中自覺地與幾何圖形結(jié)合起來，實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的完美統(tǒng)一。（三）借助幾何直觀，發(fā)現(xiàn)算式間的關(guān)系對算式的理解本來是比較抽象的，算式間的關(guān)系就更是抽象中的抽象了。所以在小學(xué)里，學(xué)生能計算、能知道算式的意思已經(jīng)是很不錯的，算式間的關(guān)系我們幾乎不敢恭維。可是，在用幾何直觀來教學(xué)運算定律后，竟然會有驚喜出現(xiàn)。在上面筆者用幾何直觀圖幫助學(xué)生識別算式是否相等時，學(xué)生大聲說：老師我還發(fā)現(xiàn)178(78+66)與1787866相差2個66！ 師：你怎么知道的？（驚訝） 生：有眼睛的人都會看到。 當時，筆者請他作解釋，

12、那學(xué)生走到黑板前在原圖上畫了兩條虛線（如下圖），接著全班響起了掌聲。 筆者覺得挺有意思的，就來了個“一不做二不休”。讓學(xué)生給這樣結(jié)構(gòu)的算式找出一般的關(guān)系。經(jīng)過圖例解釋，得出：a（b+c）與abc相差2c。這是意外收獲，又一次體現(xiàn)出直觀“未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質(zhì)的認識”的作用。 又如：25×（4+8）與25×48，學(xué)生通過左下圖發(fā)現(xiàn)：25×（4+8）比125×48多24個8?？赡苁怯辛艘陨系慕?jīng)驗與觀察習(xí)慣，在更為復(fù)雜的算式中，學(xué)生同樣能找出兩者的關(guān)系。12÷2÷3與12÷2

13、5;3（右下圖）生1：從圖中可以看出，兩道算式結(jié)果不相等。生2：我還發(fā)現(xiàn)12÷2×3的結(jié)果是12÷2÷3是3×3倍！ 生3：當算式中的“3”換成“1”時，兩算式結(jié)果是相等的、還有“0”。一位著名的拓撲學(xué)家曾經(jīng)說過：“靈感往往來自幾何”，我想這幾何直觀圖給學(xué)生不僅帶來的靈感，挖掘了學(xué)生“從感覺的具體的對象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的、理想的能力”幾何直觀能夠啟迪思路，幫助理解。因此，借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方向。甚至可以說，只有做到直觀上的理解，才是真正的理解。幾何直觀能讓你從錯綜復(fù)雜的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)了簡單而清晰的關(guān)系，找到了解決問題的方法，在這個過程中，不僅鍛煉了你分析問題的能力，而且這個過程本身，也是一次愉快而美