例談已知兩點(diǎn)求另兩點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的萬能解法教學(xué)教材

1、例談已知兩點(diǎn)求另兩點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的萬能解法近些年全國各地的中考?jí)狠S題大多數(shù)是數(shù)形結(jié)合題。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外,由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。其實(shí)說穿了，初中的數(shù)形結(jié)合就是將初中所涉 及的平面幾何知識(shí)和一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)相結(jié)合的一種題型。那么函數(shù)中的平行四邊形呢也是各地中考中的熱門考點(diǎn)，今天我就已知兩點(diǎn)求另兩點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的解題思想談?wù)勎业南敕āＲ唬褐R(shí)解讀已知兩點(diǎn)求另兩點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，共有兩種題型。一種是有序的平行四邊形，即

2、根據(jù)題意可以知道,已知邊是平行四邊形的邊還是對角線；另一種是不固定的平行四邊形，即根據(jù)題意不知道,已知邊是平行四邊形的邊還是對角線。對于后一種就要分類討論了，這一種也是我們中考的?？?。1 o 3一：氾例，已知如圖1,拋物線y -x -X 2的圖像與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D, 22對稱軸與X軸交于點(diǎn)E(1)求A、B、C D的坐標(biāo)對稱軸方程及直線 BC的函數(shù)關(guān)系式。(2)在拋物線上找一點(diǎn) M,在對稱軸上找一點(diǎn) N,使彳導(dǎo)以 O B、M N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，求 M N 的坐標(biāo)。(3)在拋物線上找一點(diǎn) M,在直線BC上找一點(diǎn)N,使彳#以Q C、M N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行

3、四邊形，求 M N的坐標(biāo)。(4)在拋物線上找一點(diǎn) M,在X軸上找一點(diǎn)N,使彳導(dǎo)以B C、M N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，求 M N的 坐標(biāo)。,(圖 1)三：范例的萬能方法解答思路及過程：思路分析：我們可以分析得出已知兩點(diǎn)求另兩點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的分類思想，即對已知邊分兩種情況討論，考慮已知邊為平行四邊形的邊或?qū)蔷€。而另外兩點(diǎn)其實(shí)也一直有個(gè)共性的規(guī)律，就是不管怎么變，它們都在兩個(gè)已知函數(shù)圖象上，當(dāng)然這些圖象包括坐標(biāo)軸和一些與坐標(biāo)軸平行的特殊直線，也包括上面沒有提及的反比例函數(shù)圖象。好，那我們拋開原始坐標(biāo)系，結(jié)合下圖講解我的萬能法。如圖2。假設(shè)A、B為已知點(diǎn)，C、D為未知點(diǎn)。當(dāng)AB為邊時(shí)，CD

4、和AB平行且相等，我們可以將 AB, CD分別橫豎構(gòu)造全等的直角三角形，如圖，AE型 CFD從而CF=AE DF=BE這兩個(gè)等式就是我們構(gòu)造的方程組模型，只要利用已知函數(shù)解析式設(shè)出未知點(diǎn)C和D的坐標(biāo)，代入等量關(guān)系解之即可。當(dāng)AB為對角線時(shí)，我們可先求 AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后將 C、D和M橫豎構(gòu)造全等，如圖， CE陣ADFhM從而CE=DF ME=MF同樣利用已知函數(shù)解析式設(shè)出未知點(diǎn)C和D的坐標(biāo)，代入得方程組解之即可。考慮解得全面性，只要將下圖的C、D兩點(diǎn)對調(diào)位置皆可。1D(圖2)那么已知兩點(diǎn)共有三種可能，即水平兩點(diǎn)，豎直兩點(diǎn)，斜向兩點(diǎn)，如下圖。為了方便表示我們設(shè)A(Xa, Ya), B(Xb

5、, yB),C(Xc. yc), D(Xd，Yd),M (Xm , Ym )ABAB 為邊（豎直點(diǎn)）為邊ab（斜向點(diǎn)）為邊cd=abcd=abaeg acfddf=be,cf=aexc XdXbXaYc YdYaYbXD XcXBXaYcYdxc XdYcYdYaYbc、d換位，只要將上述方程中涉及C D點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的差交換位置皆可，如XcXd 變成 Xd Xc。ab為對角線AB為對角線ab為對角線 cem2 dfm ce曄 mfd cem2 mfdem=fm , ce=dfce=fm,me=dfce=mf,me=dfXmXd XmXmxc Xd XmXmxcXdXm其實(shí)通過移項(xiàng)變形，我

6、YcyMyM yDYcyMyMyDyc yM yMyD們可得到xcXd2xm , ycYd2yM ,同樣我們也可得至XaXb 2Xm, Ya Yb 2Ym。所以上述方程組可以變形成XaXBXcYaYbYcxD O從這個(gè)方程組我們可以知道當(dāng)討論Ydab為對角線時(shí)，cd就不用換位思考了。范例解答:_ 3 253（1） 第一小題的解為,(-1,0), B (4,0), c (0,2), D( 3,5),對稱軸為直線 x 直線Bc的函數(shù)關(guān) 2 822。一一 1系式為y x2(2)首先設(shè)31 2N (-, n), M (m, m222)1.OB為邊,M在N的左邊，MN=OBXbXoXnXM52 , 39

7、 .5所以M (2yMVn4 3122-m 23m 2 n239一)82. OB為對角線, MF四 NEF39一)839一)8M在N的右邊時(shí),同理可得11239XMyM5221XnVnXoXb從而得方程組VoVb21一)811首先設(shè) N (n, n 2), M (m, m222)1.OC為邊，N在M上方，MN=OC yNyM2)XnXMmi2 2%或m22 2 25將解代入上述所設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)或相應(yīng)解釋式求縱坐標(biāo)，得Mi(22 2, 2 1), Ni(22 2, -2 1); M2(2 2 2, . 2 1),電(2 2、.2, 、，21)當(dāng)OC為邊，M在上方，得yMVn 2XnXm123 c /1

8、-m m 2 ( n222m2) 22) 2解得m3032,代入兩函數(shù)解析式求對應(yīng)的縱坐標(biāo)，所以M3(2,3),N3(2,1)。2.當(dāng)OC為對角線時(shí),如圖,MF哄 NEP得XMXNyMYnycXO,1、 一，從而得方程組Yo3m 22m4n42 22.2m5 2 2. 2 ，一 一 5代入原函數(shù)解析式得n52 2 2M 4(21),M5(22 2,22 1), N4(2v22,3v12),5(2 2d2,3 V2) o(4)M1.首先設(shè)M (m,1 2-m22), N(n,0)BC為邊， BEe4MFN得XMXN XBXcm1n13 、412 或5 . 412mbn2N2 (YnYmYcYb解之得23 .4125.4122), Ni (W,0)；M( 52),M N位置調(diào)換，同理可得M3(3,2),N3 (7,0 )。2. BC為對角線， MF四APEN得 xM xNYm YnXbXcYbY