2020年江蘇省南通市高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷

1、期中數(shù)學(xué)試卷1.直線x+.與y+1=0的傾斜角是（A-6B.；八加C.題號一一三總分得分、選擇題（本大題共 10小題，共50.0分）第3頁，共12頁2. 棱長士為1的正四面體的表面積是（）A.B.第十二|C.D.3. 設(shè)函數(shù)町=3疝+：），則函數(shù)f（X）的最小正周期為（）A. 2 兀B. 4 兀C. 2D. 44. 在那BC中，若2sinAsinB=1+cosC,則下列結(jié)論一定成立的是（）A. A=BB. A=CC. B=CD. A=B=C5. 設(shè)m, n是兩條不同的直線，a, 3, 促三個(gè)不同的平面，給出下面四個(gè)命題：若 a±3, 3-Ly,則 a/丫若 a±3, m?

2、% n? 3,則 m_Ln若 m /a, n? a,則 m n 若 a/3, r A om=, 丫 n 熊則 m /n其中正確命題的序號是（）A.B.C.D.6. 已知直線li： （k-3） x+ky+1=0與直線l2：x+ （ k-3） y+3=0垂直，貝U實(shí)數(shù)k的值是（）A. 3B. 1C. 3 或-1D.-3 或 17. 已知圓錐的母線長為 5cm,底面半徑為gcm, 一只螞蟻欲從圓錐的底面圓周上的點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)A,則螞蟻爬行的最短路程長為（）A. 8cmB. 5書cmC. 10cmD. 5 7cm8. 已知 ABC的三個(gè)內(nèi)角 A, B, C所對的邊分別為 a, b,

3、 c,若sin2A=sin2B,則該 三角形的形狀是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形9. 已知 "BC中，滿足a=3, b=2, /B=30°,則這樣的三角形有（）A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D.無數(shù)個(gè)10. 在平面直角坐標(biāo)系中，記 d為點(diǎn)P （cos 0 sin 0）到直線x-my-2=0的距離.當(dāng)氏m 變化時(shí)，d的最大值為（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空題（本大題共 6小題，共30.0分）11. 過點(diǎn)A （1, 1）且與直線2x+3y-1=0平行的直線l的方程為 12. 在 AABC 中，B=120 °

4、, BC=1 ,且 AABC 的面積為 ,則 AC=13.如圖，在四錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長為 的正方形，且 PA=PB=PC=PD,已知四棱錐的表面積 是12,則它的體積為.14 .在那BC中，邊a, b, c所對的角分別為 A, B, C,那BC的面積S滿足二# +，若a=4,則ABC外接圓的面積為15 .如圖，60 °的二面角的棱上有 A, B兩點(diǎn)，直線 AC, BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于 AB.已知 AB=2, AC=4, BD=6,貝U CD 的長為.16 .已知mCR,動直線li： x+my-1=0過定點(diǎn)A,動直線12： mx-y-2m+

5、3=0過定點(diǎn)B,若1i與12交于點(diǎn)P (異于點(diǎn)A, B),則|PA|+|PB|的最大值為 .三、解答題(本大題共 6小題，共70.0分)17 .在那BC 中，角 A, B, C 的對邊分別是 a, b, c,且(2b-c) cosA=acosC.(1)求角A的大?。?2)若 a=4 HS A = 4i'3 ,求 b+c 的值，18 .已知直線1i的方程為x+2y-4=0,若l2在x軸上的截距為1,且1i!12.(1)求直線1i和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知直線l3經(jīng)過1i與l2的交點(diǎn)，且在y軸上截距是在x軸上的截距的2倍, 求卜的方程.19 .如圖，已知四棱錐 P-ABCD中，CD上平面

6、PAD, AP=AD, AB/CD, CD=2AB, M 是 PD 的中點(diǎn).(1)求證：AM /狂面PBC;(2)求證：平面 PBC4面PCD.20.如圖，正三角形 ABC的邊長為4, D, E, F分別在三邊AB, BC, CA 上，且 D 為 AB 的中點(diǎn)，/EDF=90°, ZBDE= 0 (0°< 0< 90 °)(1)若。=60；求4DEF的面積；(2)求ADEF的面積S的最小值，及使得 S取得最小值時(shí)0 的值.21 .已知斜三棱柱 ABC-AiBiCi的側(cè)面ACCiAi與底面ABC垂直，側(cè)棱與底面所成的角 為 60°, AAiiA

7、iC, ACBC, AC=4, BC=2.(i)求證：平面 ABBiAi"面 AiBC；(2)若D為AiBi的中點(diǎn)，求三棱錐 Ai-BCD的體積.22 .已知函數(shù)f (x) =log3(9x+i) -kx是偶函數(shù).(i)求實(shí)數(shù)k的值；(2)當(dāng)xRO時(shí)，函數(shù)g (x) =f (x) -x-a存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)h(x)=log3 (m?3x-2m),若函數(shù)f(x)與h(x)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.第 4 頁，共 12 頁答案和解析1 .【答案】D【解析】【分析】本題考查直線的傾斜角、直線的斜率，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.設(shè)出直線的傾斜角，求出斜率

8、，就是傾斜角的正切值，然后求出傾斜角.【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為%由題意直線的斜率為 即tan “三百 所以二'&故選：D.2 .【答案】A【解析】解：棱長均為1的正四面體的每一個(gè)面都是等邊三角形,其面積等于=1 K I X .早E60。=,.棱長土勻?yàn)?的正四面體的表面積是 S=4Si=3.故選：A.棱長士為1的正四面體的每一個(gè)面都是等邊三角形，其面積等于,由此能求出正四面體的表面積.本題考查正四面體的表面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ) 知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.3 .【答案】Dnw【解析】解：由函數(shù) =3sin(x + 彳),前得 T= -

9、 =4,I所以函數(shù)f (x)的最小正周期為 4.故選：D.根據(jù)函數(shù)f (x)的解析式，利用 T=：即可求出函數(shù)的最小正周期.本題考查了根據(jù)三角函數(shù)解析式求最小正周期的問題，是基礎(chǔ)題.4 .【答案】A【解析】解：2sinAsinB=1+cosC=1-cos (A+B), .2sinAsinB=1-cos (A+B) =1-cosAcosB+sinAsinB, . sinAsinB+cosAcosB=1 即 cos (A-B) =1 ,又A、B均為三角形內(nèi)角，. A=B, 故選：A.由已知利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式即可求解判斷， 本題主要考查了和角的三角公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5 .【答案】

10、D【解析】 解：由m, n是兩條不同的直線，% 3, 丫是三個(gè)不同的平面，知：在中，若0a氏 吐%則“與丫相交或平行，故錯(cuò)誤；在中，若a±3, m? a, n? &則m與n相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；在中，若m/a, n? a,則m與n平行或異面，故錯(cuò)誤；在中，若a/3, 丫門oms 丫門tn虧則由面面平行的性質(zhì)定理得m /n,故正確.故選：D.在中，a與丫相交或平行；在中，m與n相交、平行或異面；在中，m與n平行或異面；在中，由面面平行的性質(zhì)定理得m/n.本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考 查運(yùn)算求解能力，是中檔題.6 .【答案】C【

11、解析】 解：,.直線li： ( k-3) x+ky+1=0與直線12： x+ (k-3) y+3=0垂直， . (k-3) M + k (k-3) =0,即(k+1) ( k-3) =0,解得k=-1或k=3,故選：C.利用兩條直線相互垂直與斜率的關(guān)系即可得出.本題考查了兩條直線相互垂直與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7 .【答案】B【解析】解：如圖，由圓錐的底面半徑為 cm,得展開后扇形的弧長為 亍，/JWjTI I由弧長公式可得展開后扇形的弧度數(shù)為最二小好、過 P 作 PB1AA' ,3即IF4。'，又 PA=5,求得 AA' =2AB=5 調(diào)./故選：B./要求螞蟻爬行

12、的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，根據(jù)“兩y- 點(diǎn)之間線段最短”求解.本題考查圓錐的展開圖等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.8 .【答案】D【解析】解：由sin2A=sin2B,又 2A, 2BC (0, 2兀),可得 2A=2B,或 2A+2B=tt,即A=B,或A+B=；.即該三角形的形狀是等腰三角形或直角三角形.故選：D.由已知結(jié)合范圍 2A, 2BC (0, 2兀)，可得2A=2B,或2A+2B=tt,進(jìn)而可求該三角形的 形狀.本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9 .【答案】C【解析】【分析】本題考查了正弦定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)

13、題.利用正弦定理和三角形的邊角關(guān)系，即可判斷這樣的三角形有2個(gè).【解答】解：AABC 中，a=3, b=2, ZB=30° ,由正弦定理得， =,. sinA節(jié),AC (0,兀)，且 a>b,.這樣的三角形有2個(gè).故選：C.10 .【答案】C【解析】【分析】本題考查點(diǎn)到直線的距離的最大值的求法，考查點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.由題思 d= := 尸,當(dāng)sin (小=1時(shí)，dmax=1+,由此能門+/ +1伽"* I求出d的最大值.【解答】解：由題意d=f 7 =、e*F其中tan a =,WT.當(dāng) sin

14、 ( %a) =1 時(shí)，2dmax=1+，弧t當(dāng)且僅當(dāng) E = 0時(shí)取等號,d的最大值為3.故選C.11 .【答案】2x+3y-5=0【解析】 解：設(shè)經(jīng)過點(diǎn) A (1, 1),且與直線2x+3y-1=0平行的直線方程為 2x+3y+c=0, 把點(diǎn)A (1, 1)代入，得：2+3+ c=0,解得c=-5,.所求直線方程為：2x+3y-5=0 .故答案為：2x+3y-5=0.設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A (1, 1),且與直線 2x+3y-1=0平行的直線方程為 2x+3y+c=0,把點(diǎn)A (1, 1)代入，能求出直線方程.本題考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線平行的條件的靈活運(yùn)用.12 .【答案】&q

15、uot;【解析】解:,B=120°, BC=1 ,且那BC的面積為%|5_i1卡AB?BC?sinB= ： I第13頁，共12頁.解得：AB=2,由余弦定理可得：AC=J/ilFTHC2-ZAB - HO g¥H=4 + 1-2 x 2 x 1 x (-1) = 7 .故答案為：.產(chǎn).AB的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求AC的值.余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和由已知利用三角形的面積公式可求 本題主要考查了三角形的面積公式, 轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.【解析】解：設(shè)正四棱錐的斜高為 h',則13 .【答案】挈2 X 2 + I x|x = 12,解得 h'

16、 =2,則正四棱錐的高PO=,2'-1工=3正四棱錐的體積 V=;小:-,二_"故答案為：察由已知求得正四棱錐的斜高，進(jìn)一步求得高，代入棱錐體積公式求解. 本題考查多面體表面積與體積的求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.14 .【答案】16?！窘馕觥俊痉治觥?本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.由已知利用三角形面積公式，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得 tanA,結(jié)合范圍AS (0,好,可求A,利用正弦定理可求 AABC外接圓的半徑，即可求 AABC外接圓的面積.【解答】解：= b2 +4$bc

17、sinA=2 bccosA,可得：tanA= AC (0,兀)，bj A=i， 則那BC外接圓的半徑 R=_ZJ,.,=，7=4.則那BC外接圓的面積 S= kR2=16兀故答案為：16 7t.15.【答案】46【解析】 解：.EO。的二面角的棱上有 A, B兩點(diǎn)，直線AC, BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂 直于AB.AB=2, AC=4, BD=6, + T + 4CD CA AB BD=16+4+36+2 >4X6Xcos120 °二32,CD的長為|CD|書團(tuán)二4,屋.故答案為：4也.推導(dǎo)出二:*5+.，由此能求出CD的長.CD CA A8 8D本題考查線段長

18、的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能 力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合 思想，是中檔題.16 .【答案】附【解析】 解：對于直線x+my-1=0,令y=0,可得x=1 ,故它過定點(diǎn) A (1, 0),且它的 斜率為J .對于動直線 12： mx-y-2m+3=0,即 m (x-2) -y+3=0,令 x-2=0,求得 x=2, y=3,過定點(diǎn) B (2, 3),且它的斜率為m,故li與l2垂直.li 與 l2交于點(diǎn) P (異于點(diǎn) A, B) , . PA2+PB2=AB2=10.式竽)2=5 竽柩PA+PBWH當(dāng)且僅當(dāng)PA二

19、PB時(shí)，|PA|+|PB|的最大值為2、5，故答案為：2、1求出直線li過定點(diǎn)A的坐標(biāo)和直線12過定點(diǎn)B的坐標(biāo)，li與12交于點(diǎn)P,根據(jù)兩條直線 的斜率不難發(fā)現(xiàn)有則有 PA1PB,可得|PA2+|PB|2二|AB|2二10,再利用基本不等式的性質(zhì)可 得|PA|+|PB|的最大值.本題是直線和不等式的綜合考查，特別是“兩條直線相互垂直”這一特征是本題解答的突破口，從而有|PA|，|PB|2是個(gè)定值，再由基本不等式求解得出.直線位置關(guān)系和不等式相結(jié)合，不容易想到，是個(gè)靈活的好題.17 .【答案】 解：(1)在 AABC 中，.(2b-c) cosA二acosC,，由正弦定理可得：2sinBcosA

20、-sinCcosA二sinAcosC, ,化簡可得 2sinBcosA=sin (A+C)=sinB,.sinB> 0,i 得：cosA=j,.AC (0,兀)，W A=小(2)，a=4, A=.,且 Szabc=4、R,. 4#二 bcsinA二一bc,解得:bc=16,.由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA,可得：16=b2+c2-bc=(b+c) 2-3bc= (b+c) 2-48, .解得：b+c=8.【解析】(1)由條件利用正弦定理可得2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC,利用兩角和的正弦公式化簡求得 cosA的值，結(jié)合 A的范圍可求A的值.(2)由

21、已知利用三角形的面積公式可求bc=16,由余弦定理即可解得 b+c的值.本題主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于 基礎(chǔ)題.18 .【答案】解：(1) 112,凡=2.直線12的方程為：y-0=2 (x1),化為：y=2x-3._ , (X + 2y4 = fl tx - 2聯(lián)乂 2匯一尸一3 = 口，斛佝= .直線11和12的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 1).(2)當(dāng)直線13經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可得方程：y,x.-M當(dāng)直線l3不經(jīng)過過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)在 x軸上截距為awq則在y軸上的截距的2a倍, 其方程為：:+；=1,把交點(diǎn)坐標(biāo)(2, 1)代入可得：;卷=1,解得a= .可得方程

22、：2x+y=5.綜上可得直線13的方程為：x-2y=0, 2x+y-5=0.【解析】(1)利用11山2,可得斜率%,利用點(diǎn)斜式可得直線12的方程，與直線11和12 的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 1).(2)當(dāng)直線13經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可得方程.當(dāng)直線13不經(jīng)過過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)在x軸上截距為awQ 則在y軸上的截距的2a倍，其方程為：£g=1,把交點(diǎn)坐標(biāo)(2, 1)代入可得a.本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、截距式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬 于基礎(chǔ)題.19 .【答案】證明：(1)取CP的中點(diǎn)N,連接MN. . M, N 分別是 PD, PC 的中點(diǎn)，.MN /CD, MNCD,.AB /CD

23、, AB=；CD, . AB/MIN, AB=MN.四邊形 ABNM是平行四邊形，. AM /BN, 又AM?平面PBC, BN?平面PBC, . AM 忤面 PBC .(2) .CD4 面 PAD, AM?平面 PAD, . AM ACD, .AP=AD, M是PD的中點(diǎn)， . AM ±PD, 又 PDACD=D, . AM"面 PCD, 由(1)可知AM /BN, BN4面 PCD, 又BN?平面PBC, 平面 PBC"面 PCD.【解析】（1）取CP的中點(diǎn)N,連接MN,證明四邊形 ABNM是平行四邊形得出 AM /BN, 故而AM /平面PBC;（2）證明A

24、M"面PCD,得出BN上平面PCD,于是平面 PBC上平面PCD.本題考查了線面平行的判定，面面垂直的判定，屬于中檔題.20.【答案】 解：（1）在4BDE中，由正弦定理得 DE=- =2;在AADF中，由正弦定理得：DF-一二再；F加（3。 + 國、所以 SADEF=；DE?DF=：X2后再（2）S=：DE?DF=：43 I12=''= _ X T- _-= _ X=5fMi20 -處疝咂0 + 8） i $與現(xiàn)0所卜或曲）3，白+、."切町 2*才1。）*斯加佻2 X1A+ 之 當(dāng)9=45時(shí)，S取最小值：= 77=6（2-巡）【解析】本題主要考查了正弦定

25、理，特殊角的三角函數(shù)值，三角形面積公式，三角函數(shù) 恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化 思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.（1）在BDE, 那DF中，由正弦定理得 DE, DF ,即可得面積.（2）由已知利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求S=乂再'，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求S的最小值.21.【答案】（1）證明：,平面ACCiAi!平面ABC,平面ACC1A1 n平面ABC=AC, AC 1BC,. BC!面 ACC1A1,. BC1AA1.又.AA1 必1C, BCAA1C=C,. AA5面 A1BC,又.AA1?平面 ABB1A1,平面 ABB1A1I平面 ABC；(2)解:由(1)可知,AA 面ABC,B屋平面ACC1A1, 貝U BB1FP面 A1BC, BCA1C.點(diǎn)D到平面A1BC的距離等于1 ,又側(cè)棱與底面所成的角為60。, AAC=60°.AC=4, MiC= 23.則.3.£：=;.1/¥ -BCD -1【解析】（1）由已知條件可求出 BC1平面ACC1A1,再利用線面垂直、面面垂直的判定 即可證得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）可得BCLA1C,進(jìn)一步求出AA1BC的面積，然后利用等體積法即可求出 三棱錐A1-BCD的體積.本題考查線面垂直、面面垂直的判定，考查多面體的