點(diǎn)到直線的距離

1、 已知已知直線直線l的方程是的方程是ax+by+c=0（a、b不同不同時(shí)為時(shí)為0 0）和直線外一和直線外一點(diǎn)點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x(x0 0,y,y0 0) )，怎，怎樣用點(diǎn)樣用點(diǎn)P P的坐標(biāo)和直線的方程直接求點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程直接求點(diǎn)P P到直到直線的距離？線的距離？過(guò)過(guò)P點(diǎn)向直線作垂線，垂足為點(diǎn)向直線作垂線，垂足為Q 直線直線PQ的斜的斜 率率直線直線PQ的方程的方程直線直線PQ與與l的交點(diǎn)的交點(diǎn)Q的坐的坐 標(biāo)標(biāo)求求|PQ|運(yùn)算較繁。運(yùn)算較繁。 一、點(diǎn)到直線的距離一、點(diǎn)到直線的距離(xQ ,yQ)，則線則線段段PQ的的長(zhǎng)為長(zhǎng)為點(diǎn)點(diǎn)P到直到直線線l的距離的距離. .向量向量 與與直直

2、線線的法向量的法向量 平行。平行。由三角的面積公式得：由三角的面積公式得： Q0Q0yy,xxQP b,an 若點(diǎn)若點(diǎn)P在直在直線線l的法向量的法向量 指向的一指向的一側(cè)側(cè)，則則 與與 的的夾夾角角為為0 0，因此，因此nQPnnQP0cosnQPnQP 若點(diǎn)若點(diǎn)P在直在直線線l的法向量的法向量 指向的另一指向的另一側(cè)側(cè)，則則 與與 的的夾夾角角為為 ，因此，因此nQPnnQPcosnQPnQP 2200bacbyaxQP 22QQ0022Q0Q0babyaxbyax bayybxxa nnQPQP 于是，于是，(xQ,yQ)在直在直線線l上，所以，點(diǎn)上，所以，點(diǎn)l的方程，有的方程，有axQ+

3、byQ+c=0，即，即axQ+byQ=-c， 代入上式，整理得代入上式，整理得因此點(diǎn)因此點(diǎn)P( x0 , y0 )到直線到直線l： ax+by+c=0（ a、b 不同時(shí)為不同時(shí)為0 0）的距離為的距離為2200bacbyaxd 這叫點(diǎn)到直線的距離公式。這叫點(diǎn)到直線的距離公式。例例1. 1.求點(diǎn)求點(diǎn) 到下列直線的距離：到下列直線的距離：（1 1） ；（2 2） ；（3 3） . . )2 , 1(0P0102 yx32x 5y Oyxl2l1P任意兩條平行直線都可以任意兩條平行直線都可以寫(xiě)成如下形式：寫(xiě)成如下形式：l1 :Ax+By+C1=0l2 :Ax+By+C2=0221221BACCd l

4、l 的的距距離離與與直線的方程直線的方程應(yīng)化為一般應(yīng)化為一般式！式！二、兩平行直線間的距離二、兩平行直線間的距離例例2. . 求平行線求平行線 和和 的距離。的距離。0872yx0672yx例例4.4.已知點(diǎn)已知點(diǎn) 、 分別在分別在直線直線 和直線和直線 上，上，求求 中點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值。中點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值。例例3. . 求平行線求平行線 和和 的距離。的距離。0143yx0386 yx11( ,)A x y22(,)B xy10 xy 50 xyABOxyABCH12ABCSAB h解： 設(shè)AB邊上的高為h，則AB邊上的高h(yuǎn)是點(diǎn)C到AB的距離22(3 1)(1 3)2 2AB 因?yàn)锳

5、B邊所在直線的方程為40 xy由點(diǎn)到直線的距離：221045211h 因此：152 2522ABCS例例5. .已知已知 的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 求求 的面積的面積. .ABC(1,3), (3,1), ( 1,0)ABC ABCOxyABC11121AAABCCCBBxySxyxy解：利用面積的行列式公式：例例5. .已知已知 的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 求求 的面積的面積. .ABC(1,3), (3,1), ( 1,0)ABC ABCxoy2l1lM1ABC12ll解：直線 、 之間的距離22|10 5|34d如圖2AB1AC 45ABC1245lll直線 和直線 、夾角為的117k27k 或l直線的方程是12(1)7yx27(1)yx或71