【全效學(xué)習(xí)】2018專題提升含答案十二與圓的切線有關(guān)的計算與證明

1、 專題提升十二與圓的切線有關(guān)的計算與證明 類型之一 與切線的性質(zhì)有關(guān)的計算或證明 【經(jīng)典母題】 如圖Z12-1,。 。 的切線PC交直徑AB的延長線于點P, C為切點， 假設(shè)/ P = 30 ,。 。的半徑為1,那么PB的長為 1 . 圖Z121 經(jīng)典母題答圖 【解析】如答圖，連結(jié)OC. .PC 為。的切線，./PCOMgO。， 在 RtSCP 中，. OC=1, /P = 30 , . OP = 2OC=2, . PB=OP OB = 21 = 1. 【思想方法】 1圓的切線，可得切線垂直于過切點的半徑； 2圓 的切線，常作過切點的半徑，得到切線與半徑垂直. 【中考變形】 2021天津AB是

2、。的直徑，AT是。的切線，/ ABT= 50 , BT交 。于點C, E是AB上一點，延長CE交。于點D. 1如圖Z122,求/ T和/CDB的大?。?2如圖，當(dāng)BE=BC時，求/ CDO的大小. 解：如答圖，連結(jié)AC, .AT是。O的切線，AB是。的直徑, . ATI AB,即/TAB=90 , . zABT= 500 , .T= 90 VABT= 40 , 由AB是。O的直徑，得/ACB = 90 , .zCAB=90 V ABC = 40 , . . CDB= / CAB = 40 ./BCE=/BEC=65 , . . / BAD = / BCD = 65 . OA=OD, . ODA

3、=/OAD=65 , ./ADC=/ABC=50 , ./CDO=/ODA/ ADC = 65 50 =15 【中考預(yù)測】 2021宿遷如圖Z12-3, AB與。相切于點B, BC為。O的弦，OCOA, OA與BC相交于點P.(2)如答圖, 連結(jié)AD, 在4BCE中, BE=BC, /EBC = 50 liI 圖 Z12-2 T 中考變形答圖 0 中考變形答圖 (1)求證：AP = AB; (2)假設(shè)OB = 4, AB = 3,求線段BP的長. . CH= A/OC2-OH2=嚕, ,.OHXBC, .CH = BH, 八 八16.5 解：(1)證明：vOC=OB, A zOCB=ZOBC,

4、 .AB 是。O 的切線，；OB，AB, .zOBA= 90 , . .ABP+/ OBC=90 , vOCXAO, A zAOC = 90 , zOCB+/CPO = 90 , . APB=/CPO, .zAPB=/ABP,.AP=AB; (2)如答圖，作 OHBC 于 H.在 RtSAB 中，OB=4, AB= 3, . OA=32+42 = 5, .AP = AB = 3, . PO = 2. 在 RtzPOC 中，PC = /OC2 + OP2 = 275, 1 - 1 _ .3PCOH = 2OC OP, . OH = OPOC 45 PC = 5 八 八 16 5 .BC = 2C

5、H= 5 , 2 5=, A H 4 ii 圖Z123 中考預(yù)測答圖 .BP=BCPC = - 5 類型之二 與切線的判定有關(guān)的計算或證明 【經(jīng)典母題】 ：如圖Z12-4, A是。外一點，AO的延長線交。O于點C,點B在圓 上，且AB=BC, /A= 300 ,求證：直線 AB是。O的切線. 證明：如答圖，連結(jié)OB, .OB = OC, AB=BC, ZA=30 , .zOBC= /C=/A= 30 , zAOB= /C+ /OBC = 60 . . zABO=180 -(/AOB+ZA)= 180 . ABXOB,又OB為。O半徑，；AB是。O的切線. 【思想方法】 證明圓的切線常用兩種方法

6、 “作半徑，證垂直或者“作垂 直，證半徑 【中考變形】 1. 2021黃石如圖Z12 5,。的直徑為AB,點C在圓周上(異于A, B), AD XCD. (1)假設(shè) BC = 3, AB = 5,求 AC 的值; (2)假設(shè)AC是/ DAB的平分線，求證：直線 解：:AB是。O直徑，C在。O上, .zACB=90 ,又BC = 3, AB = 5, -(60 由0)=90 , 圖 Z12-4 A 經(jīng)典母題答圖 CD是。O的切線. 圖 Z12-5 中考變形1答圖 由勾股定理，得AC = 4; (2)證明：如答圖，連結(jié)OC, .AC是/ DAB的平分線， .zDAC= /BAC, 又AD，DC,z

7、ADC：/ACB=90 , .ZADCS/ACB, .ZDCA=/CBA, 又. OA= OC, . .zOAC=/OCA, . zOAC+/OBC = 90 , .OCA+/ACD=/OCD=90 , 直線CD是。O的切線. 2. 2021 南充如圖 Z12 6,在 RtACB 中，/ACB = 90 ,以 AC 為直徑作。O 交AB于點D, E為BC的中點，連結(jié)DE并延長交AC的延長線點F. (1)求證：DE是。O的切線； (2)假設(shè)CF = 2, DF = 4,求。O直徑的長. 圖Z12 6 中考變形2答圖 【解析】(1)連結(jié)OD,欲證DE是。的切線，需證ODLDE,即需證/ODE =

8、90 ,怔ACB = 90 ,連結(jié)CD,根據(jù)“等邊對等角可知/ODE=/OCE = 90 ,從而得證； (2)在RtgDF中，利用勾股定理建立關(guān)于半徑的方程求解. 解：1證明：如答圖，連結(jié) OD, CD. .AC是。O的直徑，.ZADC = 90 . . zBDC= 90 .又 V E 為 BC 的中點, 1 . DE = 2BC= CE, - zEDC= / ECD. .OD = OC, .zODC=/OCD. zEDC+ /ODC=/ECD+/OCD= /ACB = 90 . .zODE = 90 , DE 是。O 的切線； (2)設(shè)。O 的半徑為 x.在 RtSDF 中，OD2+DF2

9、= OF2, 即x2 + 42=(x+ 2)；解得x=3.；OO的直徑為6. 【中考預(yù)測】 如圖Z12-7, AB是。O的直徑，點 C, D在。O上，/ A=2/BCD,點E 在AB的延長線上，/ AED=/ABC. (1)求證：DE與。O相切； (2)假設(shè) BF = 2, DF=V10,求。的半徑. 解：(1)證明：如答圖，連結(jié) OD. .AB是。O的直徑， .zACB=90 、 zA+/ABC = 90 . zBOD = 2/BCD, /A= 2/BCD, .zBOD=/A, . zAED=/ABC, .ZBOD+/AED=90 , .zODE = 90 ,即ODDE,DE 與。O 相切； (2)如答圖，連結(jié)BD,過點D作DHXBF于點H. . DE 與。O 相切，A ZACD+ /BCD=/ODB+/BDE = 90 . zACD=/OBD, /OBD=/ODB, . zBDE= / BCD, . zAED=/A