《電動(dòng)力學(xué)》知識(shí)點(diǎn)歸納及典型例題分析(學(xué)生版)

1、電動(dòng)力學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納及典型例題分析、知識(shí)點(diǎn)歸納-cB燈x E =-知識(shí)點(diǎn)1 :一般情況下，電磁場(chǎng)的基本方程為: FD "-燈X H + J;（此為麥克斯 -孜D = P;'、 B = 0.韋方程組）；在沒(méi)有電荷和電流分布（0,J =0的情形）的自由空間（或均勻介質(zhì)）的電磁場(chǎng)方程為:'、E汨；:t* D = 0;（齊次的麥克斯韋方程組）知識(shí)點(diǎn)2:位移電流及與傳導(dǎo)電流的區(qū)別。答：我們知道恒定電流是閉合的：v J = 0.恒定電流在交變情況下，電流分布由電荷守恒定律制約，它一般不再閉合。一般說(shuō)來(lái)，在 非恒定情況下，由電荷守恒定律有cP、J0.甘現(xiàn)在我們考慮電流激發(fā)磁場(chǎng)的規(guī)律：

2、' B = %J. 取兩邊散度，由于 B三0 ,因此上式只有當(dāng)可7=0時(shí)才能成立。在非恒定情形下，一般有 i J =0，因而式與電荷守恒定律發(fā)生矛盾。由于電荷守恒定律是精確的普 遍規(guī)律，故應(yīng)修改 式使服從普遍的電荷守恒定律的要求。把式推廣的一個(gè)方案是假設(shè)存在一個(gè)稱(chēng)為位移電流的物理量Jd，它和電流J合起來(lái)構(gòu)成閉合的量J Jd =0,*并假設(shè)位移電流Jd與電流J 一樣產(chǎn)生磁效應(yīng)，即把 修改為 ' B二 J * Jd。此式兩邊的散度都等于零，因 而理論上就不再有矛盾。由電荷守恒定律'、J 0.電荷密度T與電場(chǎng)散度有關(guān)系式apv E =.兩式合起來(lái)；o得：燈 J + e0 =

3、0.與(* )式比較可得JD的一個(gè)可能表示式J D = ；0.盤(pán)位移電流與傳導(dǎo)電流有何區(qū)別：位移電流本質(zhì)上并不是電荷的流動(dòng)，而是電場(chǎng)的變化。它說(shuō)明，與磁場(chǎng)的變 化會(huì)感應(yīng)產(chǎn)生電場(chǎng)一樣，電場(chǎng)的變化也必會(huì)感應(yīng)產(chǎn)生磁場(chǎng)。 而傳導(dǎo)電流實(shí)際上是 電荷的流動(dòng)而產(chǎn)生的。知識(shí)點(diǎn)3:電荷守恒定律的積分式和微分式，及恒定電流的連續(xù)性方程。答：電荷守恒定律的積分式和微分式分別為:-cP：J *dsdVSV - lcPft恒定電流的連續(xù)性方程為：I= 0知識(shí)點(diǎn)4:在有介質(zhì)存在的電磁場(chǎng)中，極化強(qiáng)度矢量 p和磁化強(qiáng)度矢量M各的 定義方法；P與訂；M與j ； E、D與p以及B、H與M的關(guān)系。答：極化強(qiáng)度矢量p：由于存在兩類(lèi)電

4、介質(zhì)：一類(lèi)介質(zhì)分子的正電中心和負(fù) 電中心不重和，沒(méi)有電偶極矩。另一類(lèi)介質(zhì)分子的正負(fù)電中心不重和， 有分子電 偶極矩，但是由于分子熱運(yùn)動(dòng)的無(wú)規(guī)性，在物理小體積內(nèi)的平均電偶極矩為零， 因而也沒(méi)有宏觀電偶極矩分布。在外場(chǎng)的作用下，前一類(lèi)分子的正負(fù)電中心被拉 開(kāi)，后一類(lèi)介質(zhì)的分子電偶極矩平均有一定取向性， 因此都出現(xiàn)宏觀電偶極矩分 布。而宏觀電偶極矩分布用電極化強(qiáng)度矢量 P描述，它等于物理小體積 V內(nèi)的總電偶極矩與V之比，P二弋.pi為第i個(gè)分子的電偶極矩，求和符號(hào)表示 對(duì)厶V內(nèi)所有分子求和。磁化強(qiáng)度矢量M :介質(zhì)分子內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)構(gòu)成微觀分子電流， 由于分子電流取向的無(wú)規(guī)性，沒(méi)有外場(chǎng)時(shí)一般不出現(xiàn)宏觀電

5、流分布。在外場(chǎng)作用下，分子電流出現(xiàn)有規(guī)則取向，形成宏觀磁化電流密度Jm。分子電流可以用磁偶極矩描述。把分子電流看作載有電 流i的小線圈，線圈面積為a，則與分子電流相應(yīng)的磁矩為：m = ia.介質(zhì)磁化后，出現(xiàn)宏觀磁偶極矩分布，用磁化強(qiáng)度M表示，它定義為物理小體積AV內(nèi)的總磁偶極矩與 V之比，p 八-P, j八 M,D 二；0E P,H 二旦M%知識(shí)點(diǎn)5:導(dǎo)體表面的邊界條件。答：理想導(dǎo)體表面的邊界條件為：n*E=O,巾它們可以形象地n=o（.inB = 0.丿表述為：在導(dǎo)體表面上，電場(chǎng)線與界面正交，磁感應(yīng)線與界面相切。知識(shí)點(diǎn)6:在球坐標(biāo)系中，若電勢(shì)不依賴(lài)于方位角=這種情形下拉氏方程的 通解。答：拉

6、氏方程在球坐標(biāo)中的一般解為：班anmRnpnm（co羽 Jcosmd+遲 CnmR-Rnrn_ pnm（cosT）sinm*n,m IR jn,m IR /式中anm,bnm,Cnm和d nm為任意的常數(shù)，在具體的問(wèn)題中由邊界條件定出。Pn" COST為締合勒讓德函數(shù)。若該問(wèn)題中具有對(duì)稱(chēng)軸，取此軸為極軸，則電勢(shì) 不依賴(lài)于方位角 '，這球形下通解為:an和bn是任意常數(shù)，由邊界條件確定 知識(shí)點(diǎn)7:研究磁場(chǎng)時(shí)引入矢勢(shì) A的根據(jù)；矢勢(shì)A的意義。答：引入矢勢(shì)A的根據(jù)是：磁場(chǎng)的無(wú)源性。矢勢(shì) A的意義為：它沿任一閉 合回路的環(huán)量代表通過(guò)以該回路為界的任一曲面的磁通量。只有 A的環(huán)量才有

7、物理意義，而每點(diǎn)上的A（x）值沒(méi)有直接的物理意義。知識(shí)點(diǎn)8:平面時(shí)諧電磁波的定義及其性質(zhì)；一般坐標(biāo)系下平面電磁波的表達(dá)式。 答：平面時(shí)諧電磁波是交變電磁場(chǎng)存在的一種最基本的形式。它是傳播方向一定的電磁波，它的波陣面是垂直于傳播方向的平面， 也就是說(shuō)在垂直于波的傳 播方向的平面上，相位等于常數(shù)。平面時(shí)諧電磁波的性質(zhì)：（1）電磁波為橫波，E和B都與傳播方向垂直；（2）E和B同相，振幅比為v;（3 E和B互相垂直，EX B沿波矢k方向。知識(shí)點(diǎn)9:電磁波在導(dǎo)體中和在介質(zhì)中傳播時(shí)存在的區(qū)別；電磁波在導(dǎo)體中的透 射深度依賴(lài)的因素。答：區(qū)別：（1）在真空和理想絕緣介質(zhì)內(nèi)部沒(méi)有能量的損耗，電磁波可以無(wú) 衰減地

8、傳播（在真空和理想絕緣介質(zhì)內(nèi)部）；（2）電磁波在導(dǎo)體中傳播，由于導(dǎo) 體內(nèi)有自由電子，在電磁波電場(chǎng)作用下，自由電子運(yùn)動(dòng)形成傳導(dǎo)電流，由電流產(chǎn) 生的焦耳熱使電磁波能量不斷損耗。因此，在導(dǎo)體內(nèi)部的電磁波是一種衰減波（在 導(dǎo)體中）。在傳播的過(guò)程中，電磁能量轉(zhuǎn)化為熱量。電磁波在導(dǎo)體中的透射深度依賴(lài)于：電導(dǎo)率和頻率。Bi、A卜y知識(shí)點(diǎn)10：電磁場(chǎng)用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)表示的關(guān)系式答：電磁場(chǎng)用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)表示的關(guān)系式為:知識(shí)點(diǎn)11:推遲勢(shì)及達(dá)朗貝爾方程。推遲勢(shì)為:Ax,t 嚴(yán)4兀，J 二 dv：t達(dá)朗貝爾方程為:：t!V*A-JoJp；0-0-：t知識(shí)點(diǎn)12:愛(ài)因斯坦建立狹義相對(duì)論的基本原理（或基本假設(shè)）是及其內(nèi)容。答

9、：（1）相對(duì)性原理：所有的慣性參考系都是等價(jià)的。物理規(guī)律對(duì)于所有慣 性參考系都可以表為相同的形式。 也就是不論通過(guò)力學(xué)現(xiàn)象，還是電磁現(xiàn)象，或 其他現(xiàn)象，都無(wú)法覺(jué)察出所處參考系的任何“絕對(duì)運(yùn)動(dòng)”。相對(duì)性原理是被大量 實(shí)驗(yàn)事實(shí)所精確檢驗(yàn)過(guò)的物理學(xué)基本原理。（2）光速不變?cè)恚赫婵罩械墓馑傧?對(duì)于任何慣性系沿任一方向恒為 c,并與光源運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。知識(shí)點(diǎn)13:相對(duì)論時(shí)空坐標(biāo)變換公式（洛倫茲變換式）和速度變換公式=yy答：坐標(biāo)變換公式（洛倫茲變換式）：zt 一二 Xcxvt廠21V二 y'1=z1V 't2 xc12 V2 cxyt洛倫茲反變換式：z速度變換公式:UxUx -v* Uy =

10、1 -VUxc21VUx2 c21 -2 cVUx知識(shí)點(diǎn)14：導(dǎo)出洛侖茲變換時(shí)，應(yīng)用的基本原理及其附加假設(shè)；洛侖茲變換同 伽利略變換二者的關(guān)系。答：應(yīng)用的基本原理為：變換的線性和間隔不變性?；炯僭O(shè)為：光速不變?cè)恚íM義相對(duì)論把一切慣性系中的光速都是 c作為 基本假設(shè)，這就是光速不變?cè)恚?、空間是均勻的并各向同性，時(shí)間是均勻的、 運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性。洛侖茲變換與伽利略變換二者的關(guān)系： 伽利略變換是存在于經(jīng)典 力學(xué)中的一種變換關(guān)系，所涉及的速率都遠(yuǎn)小于光速。洛侖茲變換是存在于相對(duì) 論力學(xué)中的一種變換關(guān)系，并假定涉及的速率等于光速。當(dāng)慣性系s'（即物體）運(yùn)動(dòng)的速度V I：c時(shí)，洛倫茲變換就轉(zhuǎn)化為

11、伽利略變換， 也就是說(shuō)，若兩個(gè)慣性 系間的相對(duì)速率遠(yuǎn)小于光速，則它以伽利略變換為近似。知識(shí)點(diǎn)15：四維力學(xué)矢量及其形式四維力學(xué)矢量為:（1）能量-動(dòng)量四維矢量（或簡(jiǎn)稱(chēng)四維動(dòng)量）p,丄W |（ 2）速度矢量: I c丿dx# + dxy,=U-丁二盲(3動(dòng)量矢量：P"mM(4)四維電流密度矢量：J-0U 丄 J-J,ic(5)四維空間矢量：x,!- x,ict (6)四維勢(shì)矢量：A»=Ia,丄申(7)反對(duì)稱(chēng)電磁場(chǎng)四維張量：P仝 (8)1 c丿訊旳汽四維波矢量：(.W) k u = k, i i » lc丿知識(shí)點(diǎn)16:事件的間隔：答：以第一事件P為空時(shí)原點(diǎn)(0, 0,

12、 0, 0);第二事件Q的空時(shí)坐標(biāo)為：(x,y,z,t),這兩事件的間隔為：2 2,2 2 2 2 2,2 2s c t - x - y - z c t - r 式中的r= . x2 y2 - z2為兩事件的空間距離。兩事件的間隔可以取任何數(shù)值。在此區(qū)別三種情況：(1) 若兩事件可以用光波聯(lián)系，有r = ct,因而s2 =0 (類(lèi)光間隔)；(2) 若兩事件可用低于光速的作用來(lái)聯(lián)系，有 r : ct，因而有s2 0 (類(lèi)時(shí)間 隔)；(a)絕對(duì)未來(lái)；(b)絕對(duì)過(guò)去。(3) 若兩事件的空間距離超過(guò)光波在時(shí)間t所能傳播的距離，有r ct，因而 有s2 <0 (類(lèi)空間隔)。知識(shí)點(diǎn)17：導(dǎo)體的靜電平

13、衡條件及導(dǎo)體靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面的邊界條件。 答：導(dǎo)體的靜電平衡條件：(1) 導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布在于導(dǎo)體表面上；(2) 導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零；(3) 導(dǎo)體表面上電場(chǎng)必沿法線方向，因此導(dǎo)體表面為等勢(shì)面。整個(gè)導(dǎo)體 的電勢(shì)相等。導(dǎo)體靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面的邊界條件：:-=常量;:n知識(shí)點(diǎn)18：勢(shì)方程的簡(jiǎn)化。答：米用兩種應(yīng)用最廣的規(guī)范條件：(1) 庫(kù)侖規(guī)范：輔助條件為；=0.(2) 洛倫茲規(guī)范：1 rYZ輔助條件為：A0.c2說(shuō)LaFA-W A )例如：對(duì)于方程組：c 'tc 't(適用于一2:PA 二.：t；0般規(guī)范的方程組）若采用庫(kù)侖規(guī)范，可得:2宀 1 : A 1 .,V A 2

14、22oJcctc &.V3*-*0 c A = 0)若采用洛倫茲規(guī)范，可得:2 2 A A - jAc2屮J宀一丄二c2漁2A g 0（此為達(dá)朗貝爾方程）知識(shí)點(diǎn)19：引入磁標(biāo)勢(shì)的條件。答：條件為：該區(qū)域內(nèi)的任何回路都不被電流所環(huán)繞，或者說(shuō)，該區(qū)域是沒(méi)j =0有傳導(dǎo)電流分布的單連通區(qū)域，用數(shù)學(xué)式表示為：jjH.dl-oil知識(shí)點(diǎn)20：動(dòng)鐘變慢：S'系中同地異時(shí)的兩事件的時(shí)間間隔，即s'系中同一地點(diǎn)X2二洛，先后（七2 - ti ）發(fā)生的兩事件的時(shí)間間隔t2 7在S系的觀測(cè):t2-t1 =(t2 - t1 )右 X2 -X1Cc2X2=Xit2 -t1-.2 (乜1上c1

15、2 cv-11)稱(chēng)為固有時(shí)，它是最短的時(shí)間間隔，t> At知識(shí)點(diǎn)21：長(zhǎng)度收縮（動(dòng)尺縮短）尺相對(duì)于s'系靜止，在s'系中觀測(cè)I，' =X2 - Xi'在S系中觀測(cè)t2 =ti即兩端位置同時(shí)測(cè)定' x2 - x1X2 Xi2 v2 c二 l0v2，'1 2 (x2- Xi = 1 0 , X2 1 xi = 1 )cIo稱(chēng)為固有長(zhǎng)度，固有長(zhǎng)度最長(zhǎng)，即Io I知識(shí)點(diǎn)22：電磁場(chǎng)邊值關(guān)系（也稱(chēng)邊界上的場(chǎng)方程）n (E2 - Ei) = 0,n (H 2 - H J -匚，n (D2 _Di)=；”，n * (B2 - Bi) =0.知識(shí)點(diǎn)24：電

16、磁波的能量和能流平面電磁波的能量為：w = ；E2兀'2a（氏 =B2平面電磁波的能流密度為:J (n E)='E2n.A能量密度和能流密度的平均值為:Bo2S =丄 Re(E*2-1w Eo2知識(shí)點(diǎn)25：波導(dǎo)中傳播的波的特點(diǎn): 電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H不同時(shí)為橫波。通常選一種波模為Ez=o的波，稱(chēng)為橫電波（TE）;另一種波模為Hz=0的波，稱(chēng)為橫磁波（TM） 知識(shí)點(diǎn)26：截止頻率 定義:能夠在波導(dǎo)內(nèi)傳播的波的最低頻率 wc稱(chēng)為該波模的截止頻率。兀I釘+m 計(jì)算公式：（m,n）型的截止頻率為：Wc,mn.丿ib.丿；若a>b,則TE®知識(shí)點(diǎn)28 :靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng):q。

17、（此為微分表達(dá)式）學(xué)習(xí)好資料歡迎下載相應(yīng)的截止波長(zhǎng)為：入c,10 =2a.（在波導(dǎo)中能夠通過(guò)的最大波長(zhǎng)為2a）'、E=0.B - 0；穩(wěn)恒磁場(chǎng)是無(wú)源有旋場(chǎng)：'（此為微分表達(dá)式），： B =° j.知識(shí)點(diǎn)29：相對(duì)論速度變換式:'dy' UyJ-V c2UydtdxdtdzUzdt1 - vux c2Ux V其反變換式根據(jù)此式VUx亡.1 -vux cUx求7y。Uz知識(shí)點(diǎn)30：麥克斯韋方程組積分式和微分式，及建立此方程組依據(jù)的試驗(yàn)定律。；E *dldsLS HB dl = % j 0 生 *ds答：麥克斯韋方程組積分式為:LS _H1EdsdVS-0

18、VB ds = 0'、E = Bct.；:E麥克斯韋方程組微分式為：'、B = J0j-0 0 - ct- pE二毎0申B二0依據(jù)的試驗(yàn)定律為：靜電場(chǎng)的高斯定理、靜電場(chǎng)與渦旋電場(chǎng)的環(huán)路定理、 磁場(chǎng)中 的安培環(huán)路定理、磁場(chǎng)的高斯定理。三、典型試題分析1、證明題:1、試由畢奧一沙伐爾定律證明Jo J x r73' ' 1 ' ,dv - J x 、dv又知：4nJ x' 1 = i 1 J x'，因此- r , rk0B 叭4兀% J x' dv' A -4 二 r4v'rA =0所以原式得證2、試由電磁場(chǎng)方程證明一般

19、情況下電場(chǎng)的表示式E.Gt證：在一般的變化情況中，電場(chǎng) E的特性與靜電場(chǎng)不同。電場(chǎng) E 方面受到電 荷的激發(fā)，另一方面也受到變化磁場(chǎng)的激發(fā)，后者所激發(fā)的電場(chǎng)是有旋的。因此 在一般情況下，電場(chǎng)是有源和有旋的場(chǎng)，它不可能單獨(dú)用一個(gè)標(biāo)勢(shì)來(lái)描述。 在變 化情況下電場(chǎng)與磁場(chǎng)發(fā)生直接聯(lián)系，因而電場(chǎng)的表示式必然包含矢勢(shì) A在內(nèi)。式代入一得用e+計(jì)0,該式表示矢量E+詈是無(wú)旋場(chǎng)，因此它可以用標(biāo)勢(shì)T苗述，E 丁 。因此，在一般情況下電場(chǎng)的表示式為:即得證3、試由洛侖茲變換公式證明長(zhǎng)度收縮公式I = I。.1 - v：。 c答：用洛倫茲變換式求運(yùn)動(dòng)物體長(zhǎng)度與該物體靜止長(zhǎng)度的關(guān)系。 如圖所示，設(shè)物 體沿x軸方向運(yùn)動(dòng)

20、，以固定于物體上的參考系為 7 0若物體后端經(jīng)過(guò)R點(diǎn)（第 一事件）與前端經(jīng)過(guò)P：點(diǎn)（第二事件）相對(duì)于二同時(shí)，貝U RP：定義為匕上測(cè)得的 物體長(zhǎng)度。物體兩端在3上的坐標(biāo)設(shè)為x；和X：。在二上Pi點(diǎn)的坐標(biāo)為Xi , P：點(diǎn) 的坐標(biāo)為x：,兩端分別經(jīng)過(guò)P；和P：的時(shí)刻為t； =t： o對(duì)這兩事件分別應(yīng)用洛倫茲變換式得X； -vt；,X：_ X： -vt：兩式相減，計(jì)及ti = t：, 有X： xi = XXr .式中X： -X；為E上測(cè)得的物體長(zhǎng)度I （因?yàn)樽鴺?biāo)X；和X：是在戈 上同時(shí)測(cè)得的），X： -X；'為L(zhǎng)上測(cè)得的物體靜止長(zhǎng)度I。由于物體對(duì)L靜止，所以對(duì)測(cè)量時(shí)刻t；和t：沒(méi)有任何限制

21、。由（*）式得l=l0J-爲(wèi) c4、試由麥克斯韋方程組證明靜電場(chǎng)與電勢(shì)的關(guān)系E -.答：由于靜電場(chǎng)的無(wú)旋性，得：E *d0設(shè)C；和C：為由P點(diǎn)到P：點(diǎn)的兩條不同路徑。C；與C：合成閉合回路，因此.Edl - . Edl =0c；C：即.Edl二.Edl因 此， 電 荷 由CiC：R點(diǎn)移至P：點(diǎn)時(shí) 電 場(chǎng)與對(duì)路它而只和兩端點(diǎn)有關(guān)勺把單位正電荷由P；點(diǎn)移至P：,電場(chǎng)E對(duì)它所作的功為：.E *dl,這功定義為P；點(diǎn)和P：點(diǎn)的電p；p：勢(shì)差。若電場(chǎng)對(duì)電荷作了正功，則電勢(shì)下降。由此， P：Ap=-.Edl由p；這定義，只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差才有物理意義，一點(diǎn)上的電勢(shì)的絕對(duì)數(shù)值是沒(méi)有物理意義的。相距為dl的兩點(diǎn)

22、的電勢(shì)差為 d -_Edl.由于尸半尸半尸半d =dx dy dz八dl，因此，電場(chǎng)強(qiáng)度 E等于電勢(shì)的負(fù)梯度 氷:y:zE -八:.5、試由恒定磁場(chǎng)方程證明矢勢(shì) A的微分方程' 2A -j答：已知恒定磁場(chǎng)方程' B = %J（1）（在均勻線性介質(zhì)內(nèi)），把BA（2）代入0得矢勢(shì) A的微分方程 -= J.由矢量分析公式：/占 A八、A -l2A.若取A滿足規(guī)范條件 M=0，得矢勢(shì)A的微分方'、2A - - J.'、M = 06試由電場(chǎng)的邊值關(guān)系證明勢(shì)的邊值關(guān)系；2 -1 - -；2的 1潮證：電場(chǎng)的邊值關(guān)系為：肇2-勺）-0,（$ ），（*）式可寫(xiě)為D2n-D1n=

23、g）n （D2 Dj ）=6（* ）式中n為由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線。利用D = E及E =，可用標(biāo)勢(shì)將 表為:勢(shì)的邊值關(guān)系即得證7、試由靜電場(chǎng)方程證明泊松方程、2 ：zP X E = 0 答：已知靜電場(chǎng)方程為:、；并知道E = -W.（3）在均勻各向同性線y *d = p.（2）p性介質(zhì)中，D二；E，將（3）式代入（2）得，為自由電荷密度。z于是得到靜電勢(shì)滿足的基本微分方程，即泊松方程。8、試由麥克斯韋方程證明電磁場(chǎng)波動(dòng)方程。答：麥克斯韋方程組'、E(x)二、E(x)二汩xft表明，變化的磁場(chǎng)可以激發(fā)'、Bxi=O Bx - 'oj X ；0%主仝t電場(chǎng)，而變化的電場(chǎng)

24、又可以激發(fā)磁場(chǎng)，因此，自然可以推論電磁場(chǎng)可以互相激發(fā)， 形成電磁波。這個(gè)推論可以直接從麥克斯韋方程得到， 在真空的無(wú)源區(qū)域，電荷 密度和電流密度均為零，在這樣的情形下，對(duì)麥克斯韋方程的第二個(gè)方程取旋度 并利用第一個(gè)方程'得到-2E(x)卡'再把第四個(gè)方程對(duì)時(shí)間求2導(dǎo)，得到 = ；0%匚専，從上面兩個(gè)方程消去 A，得到汛汛a1燈 E（X ）名o %0這就是標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)方程對(duì)應(yīng)的波的速度是9、試由麥克斯韋方程組證明電磁場(chǎng)的邊界條件n E2 一 E1 =O;n D2 一 D<j =； n B2 一 B1 = O.D ds 二 EVSV解：即：Sn D2ASn D S.n D? D

25、i = - fD2n 一 Din 二-對(duì)于磁場(chǎng)B，把：B，ds =0應(yīng)用到邊界上無(wú)限小的扁平圓柱高斯面上，重復(fù)以S上推導(dǎo)可得：B2n -Bin即：n B2 -Bi =0作跨過(guò)介質(zhì)分界面的無(wú)限小狹長(zhǎng)的矩形積分回路，矩形回路所在平面與界面垂直，矩形長(zhǎng)邊邊長(zhǎng)為l，短邊邊長(zhǎng)為劇'。因?yàn)镋 dO，作沿狹長(zhǎng)矩形的E的路徑積分。由于=l'比厶I小得多，當(dāng)-d' > 0時(shí)，E沿厶|'積分為二級(jí)小量，忽 略沿'I'的路徑積分，沿界面切線方向積分為：E2“l(fā)-E1t詔=0即：E2t - Eit - 0, * 。 *可以用矢量形式表示為：E Ei t = 0 式

26、中t為沿著矩形長(zhǎng)邊的界面切線方向單位矢量。II令矩形面法線方向單位矢量為t，它與界面相切，顯然有 t=n t #將#式代入式，貝UE E1 n t' = 0, $ ，利用混合積公式A B C =C A B，改寫(xiě)#式為：t ' '-E E1 n】=0此式對(duì)任意t'都成立, 因此 E2 -Ei n =0,此式表示電場(chǎng)在分界面切線方向分量是連續(xù)的。10、試由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出亥姆霍茲方程 ' 2E k20 答：從時(shí)諧情形下的麥?zhǔn)戏匠探M推導(dǎo)亥姆霍茲方程。在一定的頻率下，有Ef x t E(x 匕3D=eE,B = 4H，把時(shí)諧電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)方程：丿一 I廠

27、，代入麥?zhǔn)螧(x,t)=B(xe bl 右BV x e =廿方程組 江H =巴ctP D = 0,可 B =0.消去共同因子ewt后得N x H = iwE 'E =0, H =0.在此注意一點(diǎn)在w = 0的時(shí)諧電磁波情形下這組方程不是獨(dú)立的。取第一式的散度，由于八 E =0，因而H =0，即得第四式。同樣，由第二式可導(dǎo)出第三式。在 此，在一定頻率下，只有第一、二式是獨(dú)立的，其他兩式可由以上兩式導(dǎo)出。取第一式旋度并用第二式得:廠:E二w2，E由可“可x E )=可(可E )可2E =可2E，上式變?yōu)?#39; 2 2N2E +k2E =0,k = wj曲.此為亥姆霍茲方11、設(shè)A和是滿

28、足洛倫茲規(guī)范的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì),現(xiàn)引入一矢量函數(shù)Z x,t (赫- d 7茲矢量)，若令，八z,證明A= <.c2員證明：A和滿足洛倫茲規(guī)范，故有.：t=0.-=_'、Z代入洛倫茲規(guī)范，有:1 cZ(C2 ct1 1 - -'、M 2Z =0,即；CctA十c ；:t2、 計(jì)算題:1、真空中有一半徑為Ro接地導(dǎo)體球，距球心為a a Ro處有一點(diǎn)電荷Q,求 空間各點(diǎn)的電勢(shì)。解：假設(shè)可以用球內(nèi)一個(gè)假想點(diǎn)電荷 Q'來(lái)代替球面上感應(yīng)電荷對(duì)空間電場(chǎng)的作,II用。由對(duì)稱(chēng)性，Q應(yīng)在OQ連線上。關(guān)鍵是能否選擇Q的大小和位置使得球面上=0的條件使得滿足?考慮到球面上任一點(diǎn)P。邊界條件要求

29、 -= 0.式中r為Q到P的距離,rr為Q到P的距離。因此對(duì)球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有IQ二常數(shù)。（1）由圖可看Q出，只要選Q的位置使 OQ POPQ,則匹二常數(shù)。（2）r a設(shè)Q'距球心為b角形相似的條件為=°,或b二電.3由（1）和（2）式求出Ro aa°Q.(4) (3)和(4)式確 a定假想電荷Q'的位置和大小。由Q和鏡象電荷Q'激發(fā)的總電場(chǎng)能夠滿足在導(dǎo)體面上=0的邊界條件，因此是空間中電場(chǎng)的正確解答。球外任一點(diǎn)p的電勢(shì)是：-D Q/11 Q RoQ =4叭r ar'4叭RoQa2 -2RacosR2 b2 -2Rbcos式中r為由Q到P點(diǎn)的

30、距離，r'為由Q'到P點(diǎn)的距離，R為由球心O到P點(diǎn)的距離,二為OP與0Q的夾角。4、電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內(nèi)，求各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，并由此直接計(jì)算 電場(chǎng)的散度。解：作半徑為r的球（與電荷球體同心）。由對(duì)稱(chēng)性，在球面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度有相同的數(shù)值E，并沿徑向。當(dāng)r a時(shí)，球面所圍的總電荷為 Q，由高斯定理得E ds =4二r2E因而e Q 2,寫(xiě)成矢量式得4 二；0 rQrE=.若r : a,則球面所圍電荷為:344 3 Q Qrrrz-334 3 a3a3應(yīng)用高斯定理得:Qr3；°a3由此得一為a*現(xiàn)在計(jì)算電場(chǎng)的散度。當(dāng)r a時(shí)E應(yīng)取式，在這區(qū)域r = 0，由直接計(jì)算可得；r=0, r 7因而Qri Ei 3 = 0. r a4二；0r當(dāng)r : a時(shí)E應(yīng)取*式，由直接計(jì)算得 ' E社 r冬二一.r ： a4腮0a4腮0a補(bǔ)10、靜止長(zhǎng)度為lo的車(chē)廂，以速度v相對(duì)于地面S運(yùn)行，車(chē)廂的后壁以速度為Uo 向前推出一個(gè)小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。解：S系的觀察者看到長(zhǎng)度為1。.1二2的車(chē)廂以v