D115對坐標(biāo)曲面積分okppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 三、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法三、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系對坐標(biāo)的曲面積分 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 為前側(cè) 0 為右側(cè) 0 為上側(cè)

2、 0 為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè) 設(shè) 為有向曲面,)(yxSSyxS)(側(cè)的規(guī)定 指定了側(cè)的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xOy 面上的投影記為,0)(yxyxS)(的面積為則規(guī)定,)(yx,)(yx,0時(shí)當(dāng)0cos時(shí)當(dāng)0cos時(shí)當(dāng)0cos類似可規(guī)定zxyzSS)( ,)(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 1. 引例引例 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場為設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場為求單位時(shí)間流過有向曲面 的流量 . S分析分析: 假設(shè)假設(shè) 是面積為是面積為S 的平的平面面, 則流量法向量: 流速為常向量: ),(),(),(zy

3、xRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS nvSnv目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代變, 近似和, 取極限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS對穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 進(jìn)行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin設(shè), 那么 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè) 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個(gè)意分割和在局

4、部面元上任意取點(diǎn),0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd記作P, Q, R 叫做被積函數(shù); 叫做積分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若對 的任 則稱此極限為向量場 A 在有向曲面上對坐標(biāo)的曲面積2. 定義：定義：目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引例中, 流過有向曲面 的流體的流量為zyPddxzQdd稱為Q 在有向曲面 上對 z, x 的曲面積分;yxRdd稱為R 在有向曲面 上對 x, y 的曲面積分.稱為P 在有向曲面 上對 y, z

5、 的曲面積分;yxRxzQzyPdddddd若記 正側(cè)的單位法向量為令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 則對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 假設(shè),1kiiki 1之間無公共內(nèi)點(diǎn), 那么i且(2) 用 表示 的反向曲面, 那么SA dSASAddiSAdyxRxzQzyPddddddSnAdSA d目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法三、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法定理定理: 設(shè)光滑曲面設(shè)光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(

6、:取上側(cè),),(zyxR是 上的連續(xù)函數(shù), 那么yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd證證:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上側(cè),),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 假設(shè),),( , ),(:zyDzyzyxx則有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 假設(shè),),( , ),(:xzDxzxzyy則有xzzyxQdd),() , zxQxzD,(),(xzyxzdd(前正后負(fù))(右正左負(fù))說明

7、說明: 如果積分曲面 取下側(cè), 那么yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算計(jì)算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原點(diǎn)為中心, 邊長為 a 的正立方體的整個(gè)表面的外側(cè).解解: 利用對稱性.原式y(tǒng)xxzdd)(3 的頂部 ),(:2221aaayxz取上側(cè) 的底部 ),(:2222aaayxz取下側(cè)1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 把把 分為上下兩部分分為上下兩部分2211:yxz例例

8、2. 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分,ddyxzyx其中 為球面2x外側(cè)在第一和第八卦限部分. zyx1O12yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyx1O12yxDyxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上Szzyx2cosdd下Szzyx2cosdd例例3. 設(shè)設(shè)S 是球面是球面1222zyx的外側(cè) , 計(jì)算SxxzyI2c

9、osdd2解解: 利用輪換對稱性利用輪換對稱性, 有有Sxxzy2cosdd2SSzyxyxz22cosddcosddSzzyxI2cosdd12220d1cos1r rrr21220d14cos1rr 1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx202d20目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系,),( , ),(:yxDyxyxzz 對于有向曲面如果取上側(cè)則曲面在任意點(diǎn)),(zyx處的法向量為)cos,cos,(cos n其中,1cos22yxxzzz ,1cos22yxyzzz

10、 2211cosyxzz 而,cos dSdxdy ,cosdSdydz ,cos dSdzdx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因而，有 yxRdd SRdcos dxdyzzzzyxzyxRyxDyxxy2222111),(,(dxdyyxzyxRxyD),(,(即 yxRdd SRdcos cosSd目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果曲面 取下側(cè)，則曲面上任意一點(diǎn)處的單位法)cos,cos,(cos n向量為其中,1cos22yxxzzz ,1cos22yxyzzz 2211cosyxzz 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cosSd因而，有 yxRdd SRdcos dxdyzzzzyxzy

11、xRyxDyxxy)1(11),(,(2222dxdyyxzyxRxyD),(,(因而，無論曲面取哪側(cè)，我們總是有 yxRdd SRdcos 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 同理可得 zyPdd dSP cos xzQddSQdcos 因此有yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnSSA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxz111例例5. 設(shè)設(shè),1

12、:22yxz是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角, 計(jì)算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 221cosyxx例例6. 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分其中 解解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosOyxz2 原式 =)( x)(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋轉(zhuǎn)拋物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側(cè). )(2xz2211cosyx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原式 =

13、)( x)(2xzyxzddOyxz2)( xxyxD22241)(yx 原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)定義定義:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系兩類曲面積分及其聯(lián)系xziiiiSQ),( 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì):yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd聯(lián)絡(luò)聯(lián)絡(luò):yxRxzQz

14、yPddddddSRQPdcoscoscos目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 常用計(jì)算公式及方法常用計(jì)算公式及方法面積分第一類 (對面積)第二類 (對坐標(biāo))二重積分轉(zhuǎn)化(1) 當(dāng)yxDyxyxzz),( , ),(:時(shí)，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上側(cè)取“+”, 下側(cè)取“”)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 當(dāng)yzDzyzyxx),( , ),(: 時(shí)，zyxxzyzyxfSzyxfyzDzydd1),),(d),(22 zyzyzyxPzyzyxPyzDdd),),(dd),( （前側(cè)取

15、“+”, 后側(cè)取“”)(3) 當(dāng)zxDxzxzyy),( , ),(: 時(shí)，xzyyzxzyxfSzyxfzxDxzdd1),(,(d),(22 xzzxzyxQxzzyxQzxDdd),(,(dd),( （右側(cè)取“+”, 左側(cè)取“”)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. P227 題2提示提示: 設(shè)設(shè),),( ,0:yxDyxz那么 取上側(cè)時(shí),yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(0 取下側(cè)時(shí),yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(02. P244 題 13. P227 題3(3)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,),(Czyxf是平面1zyx在第四卦限部分的上側(cè) , 計(jì)算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(提示提示: 求出 的法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分P227 題題3(3). 設(shè)設(shè)作業(yè)作業(yè) P227 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2)SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,ddd